Il diodo di Chua

Il diodo di Chua rappresenta il cuore di tutto sistema, quello che ne rende caotico il suo comportamento. È realizzato mediante amplificatori operazionali collegati opportunamente di cui riportiamo brevemente il punti salienti del loro funzionamento. U1 +Vcc -Vcc Vin- Vin+ Vout

Figura 2-0-4 Amplificatore operazionale

Si definisce Amplificatore Operazionale un dispositivo elettronico con due morsetti di ingresso , chiamati rispettivamente ingresso invertente ed ingresso non-invertente ed un morsetto di uscita la cui caratteristica di

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( ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧− , ≤− , | | ≤ − + , ≥ +

Le tensioni , , ± , sono riferite a massa ed = ( − )

.

è la tensione in corrispondenza della quale l’uscita satura. Essa dipende sia dal particolare circuito in cui è inserito il dispositivo ma soprattutto dalla tensione di alimentazione dell’operazionale ± .

La regione in cui ( ) = e quindi vi è diretta proporzionalità tra la tensione applicata e la tensione di uscita è detta regione di linearità ed il parametro è detto guadagno open loop.

Nel caso ideale questo dispositivo presenta una impedenza di ingresso infinitamente grande, una impedenza di uscita rigorosamente nulla, ed un guadagno infinitamente grande.

Con queste posizioni possiamo assumere nulle anche le correnti in ingresso all’amplificatore operazionale.

Passiamo ora alla descrizione del componente più importante di tutto il sistema. Come già detto precedentemente, dobbiamo realizzare un dispositivo lineare a tratti a cinque spezzate. Poiché alcuni di questi tratti hanno una pendenza negativa e quindi il loro comportamento è del tipo a resistenza negativa, dobbiamo dapprima capire come realizzare un bipolo che possa presentare un simile comportamento.

Ricordiamo brevemente il concetto di resistenza differenziale.

Supponiamo di avere un bipolo con una certa caratteristica tensione-corrente non necessariamente lineare, sia essa ad esempio quella mostrata in figura

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Figura 2-0-5 Caratteristica I-V di un bipolo non lineare

In generale, in un tipo di bipolo come questo, la corrente che in esso fluisce è una funzione piuttosto complicata della tensione applicata ai suoi capi, si pensi ad esempio alle lampade a scarica oppure al diodo Esaki.

In questo caso non è più possibile parlare di resistenza del bipolo, ma quello che si può fare è mettersi in un punto preciso della caratteristica ad esempio il punto Q e considerare intorno ad esso una variazione ∆ della tensione applicata e leggere la corrispondente variazione di corrente che essa provoca ∆ .

Si definisce resistenza differenziale il seguente limite: lim ∆ → ∆ ∆ = ∂V ∂I

ovvero non è altro che la derivata della tensione rispetto alla corrente nel punto considerato.

Se la caratteristica del bipolo non è monotòna allora può accadere che tale limite risulti negativo per alcuni valori di tensione e corrente e quindi questo significa

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che ad un aumento della tensione applicata si verifica una diminuzione della corrente. Allora in questo caso diciamo che il bipolo presenta una resistenza differenziale negativa.

Tale comportamento è anche quello del Diodo di Chua.

Sono molte le tecniche che consentono di avere bipoli con tale caratteristica. Una della più semplici è quella di utilizzare proprio gli amplificatori operazionali. Eccone un esempio: R1 R2 R3 V I V0

Figura 2-0-6 Realizzazione di una resistenza negativa

L’analisi del sistema si effettua in condizioni di idealità ovvero considerando nulle le correnti all’ingresso dell’amplificatore operazionale ed un guadagno open loop infinito.

Sotto queste ipotesi la corrente i si scrive come:

= −

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+[ + (1 + )]

( + )

dove è la differenza di tensione tra il morsetto non invertente e quello invertente.

Considerando → ∞ ed = si ottiene:

= − 1

e quindi proprio una caratteristica lineare a resistenza negativa.

Nell’analisi non abbiamo tenuto conto degli effetti di saturazione che però ora non possiamo più trascurare. Infatti ci dobbiamo aspettare che non è possibile variare a piacimento la tensione di ingresso ottenendo una qualsivoglia corrente i ma ad un certo punto interverrà il fenomeno di saturazione dell’amplificatore operazionale.

Consideriamo ad esempio la saturazione positiva = + . Otteniamo quindi:

= − (+ )

che rappresenta un tratto a pendenza positiva traslato rispetto all’origine.

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Questo mostra anche che al crescere della tensione di ingresso V il sistema si comporta come un resistore passivo.

Sostituendo = , = si ottiene: = [ + (1 + )] ( + ) Che diventa = +

quando il guadagno ad anello aperto è molto grande,al limite infinito.

La caratteristica del Diodo di Chua utilizzato nell’esperimento è invece costituita da cinque tratti.

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U1 R1 R2 R3 V I U2 R4 R5 R6

Figura 2-0-7 Diodo di Chua a cinque tratti

La caratteristica complessiva è semplicemente la somma delle singole caratteristiche dal momento che entrambi i dispositivi sono controllati in tensione e quindi, essendo collegati in parallelo, le loro correnti si sommano algebricamente.

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Le pendenze dei tratti della caratteristica del dispositivo sono date dalle seguenti relazioni:

= − 1 − 1

= − 1 − 1

= − 1 + 1 mentre i punti di breakpoint sono dati da:

=

+ =

+

Il circuito di Chua realizzato per le prove sperimentali è quello mostrato in figura 2-11. Come già accennato prima, questo circuito si basa sulla versione messa a punto da Kennedy molto utilizzata a causa della sua facile realizzazione, basso costo dei componenti, robustezza, ripetibilità.

Sulla sinistra della figura si può notare l’induttore, mentre a destra il diodo di Chua.

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Figura 2-0-9 Oscillatore di Chua completo (versione di Kennedy).

Riportiamo una tabella con i valori dei componenti utilizzati nella realizzazione del circuito sperimentale di figura 2-9

Parametro Valore nominale Tolleranza Valore

misurato

Incertezza Unità misura

C2 100 5% 103 0,2% nF C1 10 5% 10,1 0,2% nF C3 1 5% 1 0,2% µF R7 1,8 1% 1.79 0,5% KΩ R1 3,3 1% 3,28 0,5% KΩ R2 22 1% 22,02 0,5% KΩ R5 22 1% 22,02 0,5% KΩ R6 220 1% 220,2 0,5% Ω R3 220 1% 220,2 0,5% Ω R4 2,2 1% 2,2 0,5% KΩ R10 1 1% 0,998 0,5% KΩ R11 1 1% 0,998 0,5% KΩ R9 330 1% 329 0,5% Ω R8 53,7 1% 55,8 0,5% Ω

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