1.2 Il modello del film fluido
2.1.2 Il metodo dei volumi finiti per problemi di diffusione e conve-
Per i problemi in cui il flusso del fluido gioca un ruolo importante bisogna prendere in considerazione gli effetti della convezione. In natura la convezione si trova sempre insieme alla diffusione in questo paragrafo si vuole mostrare un metodo per risolvere casi di convezione e diffusione combinati.
div (ρuφ) = div (Γgradφ) + Sφ (2.15)
Integrando formalmente su un volume di controllo si ottiene: Z A n · (ρφu) dA = Z A n · (Γgradφ) dA + Z CV SφdV (2.16)
2.1 – Il metodo dei volumi finiti
Questa equazione rappresenta un bilancio di flusso nel volume di controllo. Il primo membro d`a il flusso convettivo netto, il secondo contiene il flusso diffusivo e la quantit`a generata o distrutta della propriet`a φ nell’unit`a di tempo.
Il problema pi`u grosso nella discretizzazione dei termini convettivi `e il calcolo del valore della propriet`a trasportata φ sulle facce del volume e il suo flusso convettivo sulle superfici di contorno. Mentre i processi diffusivi influenzano la propriet`a φ lungo i suoi gradienti in ogni direzione, la convezione fa sentire la sua presenza solo nella direzione del flusso. Questa differenza cruciale costringe a imporre un limite superiore alle dimensioni di griglia, in modo strettamente dipendente dalla forza relativa tra diffusione e convezione.
Consideriamo per esempio un caso di convezione-diffusione stazionaria monodi- mensionale in assenza di termini sorgenti:
∂ ∂x(ρuφ) = ∂ ∂x Γ∂φ ∂x (2.17) Aggiungiamo quindi l’equazione che esprime la conservazione della massa, o equazione di continuit`a:
∂ρu
∂x = 0 (2.18)
Consideriamo inoltre il volume di controllo mostrato in figura 2.3:
Figura 2.3. Schematizzazione delle velocit`a nel volume di controllo
L’integrazione dell’equazione 2.17 fornisce: (ρuAφ)e− (ρuAφ)w = ΓA∂φ ∂x e − ΓA∂φ ∂x w (2.19) Mentre l’equazione di continuit`a diventa:
(ρuA)e− (ρuA)w = 0 (2.20) Per ottenere delle equazioni discretizzate bisogna approssimare l’equazione 2.19. Definiamo intanto due nuove variabili:
F = ρu
D = Γ
δx (2.21)
I valori di queste due variabili sulle facce del volume possono essere scritti cos`ı: Fw = (ρu)w Fe= (ρu)e Dw = Γw δxW P De= Γe δxP E (2.22) Ipotizzando per semplicit`a di avere aree delle facce uguali su tutto il dominio di definizione possiamo quindi scrivere:
Feφe− Fwφw = De(φE − φP) − Dw(φP − φW) (2.23)
e per l’equazione di continuit`a:
Feφe− Fwφw = 0 (2.24)
Per ora consideriamo il campo di velocit`a in qualche modo gi`a noto: in realt`a per determinarlo bisogner`a scrivere le equazioni di trasporto delle variabili di velocit`a su una griglia sfasata e risolverle in modo analogo a quanto stiamo facendo ora. Occorre a questo punto calcolare i valori della variabile phi sulle facce e e w. Anche in questo caso `e possibile utilizzare il metodo del central differencing che nel caso di griglia uniforme fornisce:
φe= (φP + φE) /2
φw = (φW + φP) /2 (2.25)
Sostituendo tali valori nell’equazione principale si ottiene:
Dw− Fw 2 + De− Fe 2 φP = Dw− Fw 2 φW + De− Fe 2 φE (2.26)
2.1 – Il metodo dei volumi finiti
aPφP = aWφW + aEφE (2.27)
Si pu`o facilmente riconoscere come l’equazione discretizzata per i fenomeni convettivi- diffusivi abbia la stessa forma generale di quella per i soli fenomeni diffusivi.
Per valutare quale `e il peso relativo dei fenomeni diffusivi e convettivi nelle equazioni di un flusso fluido si definisce un numero adimensionale, il numero di Peclet:
P e = F
D =
ρu
Γ/δx (2.28)
Consideriamo due casi estremi per mettere in evidenza il significato di tale numero:
Figura 2.4. Numero di Peclet
I due casi estremi sono:
• pura diffusione (P e = 0); • pura convezione (P e → ∞).
Nel caso di pura diffusione il fluido `e stagnante e i contorni delle linee a costante sono delle circonferenze concentriche in P, inoltre la diffusione si sparge in uguale misura in tutte le direzioni. Le caratteristiche al nodo east saranno influenzate sia da quelle del nodo che lo precede che da quelle del nodo successivo. Al crescere di Pe i contorni delle linee a costante cominciano a cambiare forma diventando da circolari ellittiche, spandendosi maggiormente nella direzione del flusso. In caso di pura convezione (P e → ∞) i contorni ellittici si stendono completamente nella direzione del flusso e la propriet`a φ di un generico punto P influisce immediatamente sul valore corrispondente del punto successivo nella direzione del flusso.
Nel modello di film fluido finora sviluppato i fenomeni diffusivi nella direzio- ne del flusso vengono completamente trascurati, essendo irrilevanti nei confronti di quelli diffusivi nella direzione ortogonale o nei confronti dei fenomeni convettivi. Ci troviamo quindi di fronte a numeri di Peclet tendenti ad infinito: per tali valori il metodo di discretizzazione central differencing appare inadeguato, mentre `e indi- cato maggiormente il metodo della “cella donatrice” o comunemente detto metodo upwind.
Il central differencing, infatti, non riesce ad identificare la direzione del flusso e il valore della propriet`a φ sulla faccia west `e sempre influenzato sia da φP che da
φW. In un flusso fortemente convettivo da west a east la faccia west dovrebbe sentire
molto di pi`u l’influenza del nodo W piuttosto che del nodo P.
Il metodo upwind di discretizzazione tiene in considerazione la direzione del flus- so quando determina il valore di φ sulla faccia di una cella: esso viene preso uguale al valore della cella che lo precede nella direzione del flusso.
Figura 2.5. Flusso in direzione positiva
Quando il flusso `e diretto lungo la direzione positiva, uw > 0,ue > 0con il metodo
upwind si ha:
φw = φW
φe = φE (2.29)
2.1 – Il metodo dei volumi finiti
FeφP − FwφW = De(φE− φP) − Dw(φP − φW) (2.30)
Si ottiene quindi:
[(Dw+ Fw) + De+ (Fe− Fw)] φP = (Dw+ Fw) φw+ DeφE (2.31)
L’equazione 2.31 pu`o essere riscritta in forma pi`u semplice cos`ı:
aPφP = aWφW + aEφE (2.32)
che calcolata per tutti i nodi del dominio di definizione fornisce un sistema lineare di equazioni algebriche chiuso.
Il ragionamento `e analogo quando il flusso `e diretto lungo la direzione negativa.
Figura 2.6. Flusso in direzione negativa
Il metodo della cella donatrice `e consistente, limitato e tiene conto della direzione del flusso, ma soffre di un fenomeno particolare detto falsa diffusione.
Esso si verifica quando il flusso `e diretto nella direzione diagonale rispetto a quelle degli assi: per limitare tale tipo di errore occorre creare delle griglie pi`u fitte, in modo compatibile comunque con la potenza computazionale della macchina che si ha a disposizione.
In alternativa ai metodi di discretizzazione central differencing e upwind `e pos- sibile usare un metodo ibrido, che sfrutti le potenzialit`a del primo per bassi numeri
di Peclet e tenga in conto della direzionalit`a del flusso, nel caso in cui il rapporto tra trasporto convettivo e diffusivo sia alto, utilizzando l’upwind.
Nelle equazioni che governano il film fluido non c’`e accoppiamento tra pressione e densit`a: l’ipotesi fondamentale `e quella di fluido incomprimibile, anche se for- malmente l’equazione di continuit`a `e scritta in modo tale da avere una “virtuale comprimibilit`a”. Le dimensioni di cella presenti usualmente nel codice KIVA nelle simulazioni motoristiche sono maggiori delle usuali altezze di filmfluido, quindi al- l’interno di ogni volume di controllo la variazione dello spessore del film corrisponde ad una variazione della massa totale presente in esso. Tale comprimibilit`a `e solo virtuale ed in fase di implementazione occorre prendere le dovute precauzioni nel momento in cui bisogner`a accoppiare pressione e densit`a.
In generale il flusso di un fluido pu`o essere non stazionario, in tal caso bisogner`a prendere bene in considerazione come la variabili variano nel tempo.
L’integrazione di una equazione non stazionaria pu`o essere implicita o esplicita: • in un’integrazione implicita ad ogni passo le variabili vengono calcolate in
funzione dei valori attuali;
• in una integrazione esplicita le nuove variabili vengono calcolate in funzione dei valori dei parametri al passo precedente.