Il modello di crescita esogena di Solow-Swan

La teoria neoclassica della crescita, compatibilmente con quanto descritto nel paragrafo precedente, gioca un ruolo dominante nello scacchiere del pensiero economico contemporaneo. Difatti, dall’insediamento dei governi conservatori di Ronald Reagan negli Stati Uniti e di Margaret Thatcher in Gran Bretagna negli anni ’80, lo schema teorico neoclassico ha indirizzato quasi tutte le scelte di politica economica dei Paesi industrializzati e in via di sviluppo.

La peculiarità principale di tale approccio è la concentrazione dell’intera analisi su un solo aspetto del sistema economico: la struttura produttiva e i fattori di produzione disponibili (Brancaccio 2010). Un’analisi che si innesta sul tronco della nota legge di Say (1803), secondo cui l’offerta di merci e servizi crea automaticamente la propria domanda, senza alcun bisogno di intervento esterno. Il principio è il seguente: dato che

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la produzione genera un reddito equivalente per tutti coloro i quali hanno partecipato alla produzione, esso verrà speso interamente per l’acquisto di beni e servizi. Sulla base di tale ipotesi sono stati sviluppati tutti i modelli di crescita di matrice neoclassica, tra i quali spicca quello elaborato indipendentemente da Swan (1956) e soprattutto da Solow (1956), secondo cui il livello del prodotto aggregato è definito dall’accumulazione dello stock complessivo di capitale, dal saggio di crescita della popolazione e dal progresso tecnologico. In particolare, Solow40 _{fa partire la sua analisi dai contributi complementari}

di Harrod (1939) e Domar (1946), che costruiscono un modello di crescita basato sul ruolo propulsivo degli investimenti nel processo di crescita e di sviluppo. Tuttavia, pur riconoscendo l’importanza di quest’ultimi nei processi di convergenza reddituale fra Paesi sviluppati e in via di sviluppo, i due studiosi non affrancano il sistema dalla possibilità di squilibri e crisi sistemiche. In particolare, a causa delle basse aspettative degli imprenditori sui profitti, gli impieghi in investimenti potrebbero non eguagliare gli impieghi in risparmi, col risultato di allontanare il sistema dal suo sentiero di crescita di equilibrio e di accentuare le divergenze reddituali.

Solow rifiuta questa eventualità, includendo nel modello due specificazioni: la possibilità di fluttuazioni nel rapporto capitale/prodotto, determinato a sua volta dalla disponibilità pro-capite di capitale nell’economia; e l’assunzione del lavoro a fattore di produzione. Inoltre, Solow abbraccia l’ipotesi di rendimento marginale decrescente del capitale quando gli altri fattori sono considerati fissi (in questo caso il lavoro), negando che il saggio di variazione del risparmio possa avere un qualsivoglia significativo effetto di lungo periodo sulla crescita dell’economia.

Il modello solowiano può essere sviluppato facendo dipartire l’analisi da una situazione di piena occupazione, con sistema economico caratterizzato da chiusura agli scambi internazionali e da assenza della pubblica amministrazione, tale che la condizione generale di equilibrio fra produzione aggregata (Y) e spesa aggregata (C+I) sarà data da:

𝑌 = 𝐶 + 𝐼41 _[1]

40 _Ivi.

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Nello specifico, Solow42 _{considera la seguente funzione aggregata di produzione Cobb-}

Douglas43_:

𝑌 = 𝐴(𝐾𝛼𝐿𝛽) [2]

 dove Y rappresenta il prodotto, ovvero la produzione totale;  K lo stock di capitale fisico totale;

 L il fattore lavoro;

 A un multi-fattore di produttività o grado di produttività della tecnologia implementata;

 𝛼 e 𝛽 , entrambi minori di 1, indicano i rendimenti marginali di ciascun fattore produttivo; mentre l’equivalenza 𝛼 + 𝛽 = 1 indica rendimenti costanti di scala a livello aggregato.

La funzione aggregata di produzione può essere, dunque, interpretata come una relazione tecnica, che ci informa come, a partire dall’impiego di una serie di fattori produttivi, gli input, si produca un determinato bene finale, l’output. Tali input possono essere utilmente classificati in base alla loro cumulabilità: in particolare, gli impianti, i macchinari e le attrezzature (che formano il capitale) rientrano nei fattori accumulabili mentre il lavoro nei fattori non suscettibili di accumulazione. E ogni livello di output può essere ottenuto attraverso infinite combinazioni di queste due classi di fattori produttivi. Prima di procedere alla dimostrazione analitica del modello, dobbiamo introdurne le principali ipotesi di base, così riassumibili:

I. i due fattori di produzione sono indispensabili alla produzione, per cui 𝐹(𝐾, 0) = 0 e 𝐹(0, 𝐾) = 0;

42 _Ivi.

43 _{Le funzioni di tipo Cobb-Douglas sono utilizzate per rappresentare tipologie di produzioni che} prevedono la possibilità di variazioni relative nell’impiego dei singoli fattori di produzione. Le principali proprietà di queste funzioni sono: rendimenti di scala costanti nel caso in cui (𝛼 + 𝛽) = 1; isoquanti convessi strettamente verso l’origine degli assi; elasticità fra i fattori produttivi pari a 1; e rendimenti marginali dei fattori produttivi sempre decrescenti (Cobb e Douglas 1928).

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II. i rapporti capitale/lavoro e lavoro/capitale sono sempre modificabili, quindi esiste perfetta sostituibilità fra i fattori produttivi;

III. il saggio di variazione dell’occupazione è una funzione lineare e costante del tasso di crescita esogeno della popolazione (n);

IV. il tasso di crescita del capitale è funzione degli investimenti e del tasso di deprezzamento del capitale stesso;

V. la funzione di produzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti, sicché se entrambi i fattori di produzione aumentano contestualmente del 5%, anche il prodotto finale subirà un incremento del 5%;

VI. la produttività marginale di ciascun fattore è positiva, ma decresce all’aumentare delle quantità del fattore medesimo; quindi, ipotizzando di mantenere costante l’impiego di uno dei fattori, se si incrementa l’utilizzo dell’altro, il prodotto finale aumenta ma in misura meno che proporzionale rispetto all’incremento iniziale della quantità del fattore.

In particolare, Solow44 _{nota che un aumento del prodotto può essere ottenuto facendo}

leva su tre variabili incluse nel modello:

I. un aumento di K. Un incremento del fattore capitale consente di ottenere un aumento contestuale del prodotto (Y) e della produttività del lavoro (Y/L);

II. un aumento di L. Un incremento del fattore lavoro permette un incremento del prodotto (Y), ma a causa dei rendimenti marginali decrescenti, tale apporto determina una diminuzione della produttività del lavoro (Y/L);

44 _Ivi.

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III. un aumento di A. Un incremento del grado di tecnologia produttiva permette di aumentare la produttività del lavoro (Y/L) e conseguentemente il prodotto totale (Y).

Quindi, gran parte dell’analisi sembra concentrarsi sugli effetti che attengono la produttività del lavoro; in ragione di questa importante considerazione, possiamo riscrivere l’equazione [2] risolvendola per la crescita del prodotto pro-capite:

𝑄/𝐿 = 𝐴(𝐾𝛼𝐿𝛽−1) = 𝐴𝐾𝛼/𝐿1−𝛽 [3]

Ipotizzando che (𝛼 + 𝛽) = 1,avremo necessariamente che𝛼 = 1 − 𝛽. Quindi:

𝑄 = 𝐴𝐾𝛼_/𝐿𝛼_{= 𝐴(𝐾/𝐿)}𝛼 _[4]

E sostituendo a ciascuna variabile i rispettivi parametri pro-capite, così come riportati nell’equazione [5] e [6]:

𝑞 = 𝑄/𝐿 [5]

𝑘 = 𝐾/𝐿 [6]

Otteniamo la seguente equivalenza:

𝑞 = 𝐴𝑘𝛼 [7]

Quindi, il prodotto pro-capite viene fatto dipendere dal progresso tecnologico e dall’accumulazione di capitale, ovvero dall’interazione di questi due fattori. Quindi, maggiore sarà l’investimento in capitale fisico e il livello del progresso scientifico e tecnologico, più elevato sarà l’output finale prodotto dal sistema economico. Ma per meglio comprendere come il modello funziona quando la crescita è guidata

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dall’accumulazione di capitale e dall’innovazione tecnologica, è necessario completarlo con due ulteriori specificazioni:

I. la funzione di risparmio, ovvero quanta parte del reddito è accantonata dagli agenti economici. Formalizzando, dato che il risparmio rappresenta una frazione del reddito, avremo:

𝑠 = 𝜗(𝑞) [8]

 dove s rappresenta il risparmio pro-capite;  e 𝜃 un parametro numerico tale che 0 < 𝜗 < 1.

II. e la condizione di equilibrio. Se è vero che l’accumulazione di capitale è condizione necessaria per la crescita, l’economia si svilupperà secondo un equilibrio uniforme solo se i risparmi riescono a compensare il tasso di deprezzamento reale del fattore capitale. Ipotizzando per semplicità un tasso di deprezzamento del 100%, la condizione di equilibrio che completa il modello sarà data dalla seguente equivalenza:

𝑠 = 𝑘 [9]

Adesso, sviluppiamo invece un esempio numerico che possa chiarirne la meccanica. Innanzitutto, sostituiamo A = 300 e α = 0,5 nell’equazione [7]:

𝑞 = 300𝑘0,5 [10]

Inoltre, assumendo che al tempo 𝑡1 la quantità di capitale introdotta sia pari a 200, q

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del 20% (ovvero 𝜗 = 0,2) e implementando il valore del prodotto pro-capite nella funzione di risparmio, otteniamo:

𝑠 = 848,53 [11]

Quindi, dato che in equilibrio vale 𝑠 = 𝑘 , il capitale subirà un incremento netto di 648,53, passando da 200 a 848,53. Ne consegue che al tempo 𝑡2 il prodotto pro-capite

sarà equivalente a:

𝑞 = 300(848,53)0,5 = 8.738,86 [12]

La procedura descritta può essere ulteriormente sviluppata; a riguardo, nella tabella 1.1 abbiamo riportato i valori del modello fino al tempo 𝑡10. Osservandoli, notiamo

chiaramente che gli incrementi successivi del prodotto pro-capite tendono a diminuire progressivamente nel tempo, passando da un valore di 4.496,22 al tempo 𝑡2 a un valore

di 50,59 al tempo𝑡10. Si tratta di un risultato coerente con l’ipotesi di rendimento

marginale decrescente dei fattori produttivi.

Tabella 1.1 Esempio empirico sul funzionamento del modello di Solow-Swan.

Periodo k s q Variazione di q 𝑡1 200 848,53 4.242,64 0 𝑡₂ 848,53 1.747,77 8.738,86 4.496,22 𝑡₃ 1.747,77 2.508,38 12.541,91 3.803,05 𝑡₄ 2.508,38 3.005,02 15.025,12 2.482,21 𝑡5 3.005,02 3.289,09 16.445,43 1.420,31 𝑡₆ 3.289,09 3.441,03 17.205,17 759,74 𝑡₇ 3.441,03 3.519,62 17.598,10 392,93 𝑡8 3.519,62 3.559,58 17.797,91 199,81 𝑡₉ 3.559,58 3.579,73 17.898,67 100,76 𝑡₁₀ 3.579,73 3.589,85 17.949,26 50,59

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E quindi chiaro che il prodotto convergerà prima o poi verso uno steady state, o condizione di equilibrio, che possiamo calcolare avvalendoci dell’equivalenza [9] fra risparmio e stock di capitale. Difatti, sostituendo in quest’ultima le equazioni [8] e [10], otteniamo:

𝑘0,5 = 60 [13]

Da cui, elevando al quadrato entrambi i membri, ricaviamo uno stock di capitale di equilibrio di 3.600, che sostituito nella funzione di produzione generale [10] ci dà:

𝑞 = 300(3.600)0.5 = 18.000 [14]

Quindi, il valore minimo del risparmio capace di assicurare la compensazione del deprezzamento reale dello stock di capitale sarà uguale a 3.600. Si tratta di un elemento

chiave del sistema, che porta Solow a elaborare la c.d. teoria della β-convergenza. Secondo Solow, indipendentemente dal loro punto di partenza storico, le diverse

economie convergono tutte verso situazioni di steady state o stato uniforme, in cui le divergenze in termini di crescita tendono progressivamente a ridursi. In particolare, regioni con livelli di reddito pro-capite più basso tendono a crescere a un ritmo più rapido rispetto a quelle con livelli reddituali maggiori. E i saggi di crescita saranno tanto maggiori quanto più profonda è la distanza dal tasso di crescita uniforme. Una dinamica assicurata dalla perfetta sostituibilità e mobilità del capitale e del lavoro, che tenderanno a dirigersi nelle aree in cui sono relativamente più scarsi, ovvero laddove la loro remunerazione risulterà più elevata.

Quindi, Solow rifiuta categoricamente la possibilità che il sistema capitalistico possa essere soggetto a crisi sistemiche, al più saranno possibili squilibri transitori. In particolare, nel breve periodo la perfetta sostituibilità fra fattori produttivi permetterà di compensare eventuali variazioni negative a carattere unilaterale. In altre parole, sarà possibile far fronte a un basso tasso di capitalizzazione ricorrendo a un maggior impiego del fattore lavoro e viceversa. Nel lungo periodo, invece, il tasso di crescita di equilibrio

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potrà essere ottenuto solo grazie a variazioni positive del progresso tecnico (in sostanza il miglioramento dell’efficienza produttiva), che tuttavia è considerato una variabile esogena del sistema; difatti, secondo Solow le imprese non pagano alcun costo per la relativa implementazione, né vi sono differenze significative fra Paesi, in quanto le conoscenze scientifiche sono facilmente trasferibili. Inoltre, dato che l’offerta genera la propria domanda in modo automatico e continuo, non vi potranno essere squilibri nei conti con l’estero; se si escludono divergenze temporanee, il saldo delle partite correnti tenderà sempre al pareggio e gli squilibri fra Paesi saranno scongiurati.

Quindi, tale assioma si limita a riconoscere alle conoscenze tecnologiche un ruolo primario, seppur esogeno, nell’espansione del sistema, ma non fornisce una spiegazione circa i differenziali di produttività e di crescita fra Paesi sviluppati e in via di sviluppo. Infine, il modello di Solow-Swan può anche essere rappresentato graficamente come segue, ponendo semplicemente sull’asse delle ascisse il capitale per addetto e su quello delle ordinate il prodotto per addetto.

Grafico 1.1. Rappresentazione grafica del modello di crescita esogena di Solow-Swan.

Invest., Deprez. e Output (pro-capite)

Output: q 𝑞∗ 𝑞₀ Deprezzamento: δk Investimenti: sY 𝑘0 𝑘∗ Capitale k

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1.2.2 I MODELLI DI CRESCITA ENDOGENA TRAINATI DAL PROGRESSO TECNOLOGICO E