Il posizionamento relativo

Per il posizionamento relativo si intende quello eseguito con due o più ricevitori, che vedono contemporaneamente gli stessi satelliti, determinandone la posizione relativa, ovvero le differenze di coordinate (baseline).

La baseline è un vettore alle cui componenti unisce i due vertici, su cui stazionano contemporaneamente i due ricevitori. Per il posizionamento relativo si deve tener conto delle altezze strumentali delle antenne.

Figura 38 - Modello schematico di una baseline tra due ricevitori [18]

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Il posizionamento relativo può essere fatto sia sulle misure di codice sia sulle misure di fase, ma generalmente si fa solo sulle misure di fase, perché, rispetto al pseudorange (misure di codice), sono più accurate e portano errori strumentali millimetrici.

L’equipaggiamento, per il posizionamento relativo mediante misure di codice e di fase, deve essere composto da almeno due ricevitori a singola o doppia frequenza e di un software per il post-processamento.

Il vettore base o baseline calcola la posizione di un punto B (vedi Figura 38), partendo dalle coordinate di un punto A, note, nel modo seguente:

∆X= XB-XA

∆Y= YB-Ya

∆Z= ZB-ZA (6)

Questo tipo di posizionamento con le misure di codice e le misure di fase può assumere la forma di posizionamento statico relativo, con sessioni lunghe di acquisizione dati o posizionamento statico rapido relativo, per distanze minori di 20 km.

Essendo delle misure effettuate con almeno due ricevitori, si possono costruire combinazioni lineari chiamate differenze, che possono essere: singole, doppie o triple, che in base ai modelli matematici basilari sono in grado di eliminare i bias comuni nei due ricevitori.

Con le singole differenze, in quanto i due ricevitori vedono contemporaneamente lo stesso satellite, si possono scrivere due equazioni delle misure di fase, una per ogni ricevitore, da cui si elimina il contributo di errore legato all’asincronismo dell’orologio del satellite, in quanto comune per i due ricevitori. Il vantaggio è che una buona parte delle cause degli errori sono eliminate o ridotte, però c’è lo svantaggio che si può stimare solo una posizione relativa e gli errori dell’orologio del ricevitore non può essere eliminati.

Figura 39 - Modello schematico di posizionamento relativo con le singole differenze [21]

Φ (𝑡)𝜆 = 𝜌 (𝑡) − 𝑁 𝜆 − 𝑓 𝛿 (𝑡) + Δ𝐼 (𝑡) + Δ𝑇 (𝑡) + Δ𝐸 (𝑡) (7)

Ove: 𝜌 – il vettore che unisce i vertici A e B;

𝑁 – vettore base contiene l’ambiguità di fase;

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Δ𝐼 – parte residua dei bias ionosferici;

Δ𝑇 – parte residua dei bias troposferici;

Δ𝐸 - parte residua dei bias

“I bias spazialmente correlati possono essere considerati praticamente equivalenti per pasi non eccedenti i 10-15 km circa, il loro residuo in questo caso si annulla e la Φ (𝑡)𝜆 = 𝜌 (𝑡) − 𝑁 𝜆 − 𝑓 𝛿 (𝑡) + Δ𝐼 (𝑡) + Δ𝑇 (𝑡) + Δ𝐸 (𝑡) (7) diventa” [18]:

Φ (𝑡)𝜆 = 𝜌 (𝑡) − 𝑁 𝜆 − 𝑓 𝛿 (𝑡) (8) Con le doppie differenze, i due ricevitori vedono contemporaneamente due satelliti, che hanno le stesse frequenze del segnale, si possono scrivere due equazioni alle singole differenze, in questo modo eliminandosi gli errori legati agli orologi dei ricevitori, ad eccezione della costellazione GLONASS, dove questi errori non vengono eliminati, in quanto comuni nelle due equazioni.

Figura 40 - Modello schematico di posizionamento relativo con le doppie differenze [18]

Φ (𝑡)𝜆 =1

𝜆𝜌 (𝑡) − 𝑁 𝜆 − 𝑓 𝛿 (𝑡) + Δ𝐼 (𝑡) + Δ𝑇 (𝑡) + Δ𝐸 (𝑡)

Φ (𝑡)𝜆 = 𝜌 (𝑡) − 𝑁 𝜆 − 𝑓 𝛿 (𝑡) + Δ𝐼 (𝑡) + Δ𝑇 (𝑡) + Δ𝐸 (𝑡) (9)

“Si assume l’ipotesi che le frequenze dei segnali sono uguali 𝑓 𝛿 (𝑡) = 𝑓 𝛿 (𝑡), e sottraendo le due singole differenze si ottiene – con la stessa ipotesi , ovvero una base di lunghezza 10-15 km” [18]:

Φ (𝑡)𝜆 = 𝜌 (𝑡) − 𝑁 𝜆 (10)

L’elaborazione delle doppie differenze ha un’accuratezza intorno ad 1 cm, in post-processamento, per il posizionamento statico a sessioni lunghe di misura e per il posizionamento statico rapido con baseline minori di 20 km.

Con l’elaborazione delle doppie differenze rimangono gli errori legati all’ambiguità di fase, che sono indipendenti dal tempo.

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L’eliminazione degli errori legati all’ambiguità di fase si realizza con le triple differenze che, con il suggerimento di Reimondi (1984), si va a differenziare due doppie differenze in due epoche diverse.

Φ (𝑡 )𝜆 =1

𝜆𝜌 (𝑡 ) − 𝑁 𝜆 Φ (𝑡 )𝜆 =1

𝜆𝜌 (𝑡 ) − 𝑁 𝜆

𝛷 (𝑡 )𝜆 − 𝛷 (𝑡 )𝜆= 𝜌 (𝑡 ) − 𝜌 (𝑡 ) (11)

Il posizionamento relativo può essere:

 Posizionamento statico relativo – dove i due ricevitori per tutto il tempo di acquisizione dati, stazionano sui vertici. Per quanto riguarda la singola differenza, il posizionamento avviene con almeno due epoche di misura, ad eccezione di GLONASS, dove, per ragioni di incognite relative ai bias in più rispetto alle altre costellazioni, si richiedono le epoche di misura in più, sufficienti per stimare le incognite in più. Per le doppie differenze, si scrivono le equazioni come descritto in precedenza, per un minimo di 4 epoche di misure e 2 satelliti. Siccome le equazioni devono essere linearmente indipendenti, si ha un satellite di riferimento e per gli altri si differenziano le misure rispetto ad esso. Come per le singole differenze, per la GLONASS c’è bisogno di più epoche di misura, in quanto le bias sono di più. Per le triple differenze, sono necessarie due epoche di misura, in quanto le incognite sono le coordinate del vertice

 Posizionamento cinematico relativo – è quel posizionamento relativo dove un ricevitore rimane fisso su un vertice e l’altro in movimento, con la determinazione della posizione ad ogni epoca di misura. Siccome le differenze single, doppie e triple determinano la distanza geometrica (range), in questo tipo di posizionamento saranno variabile nel tempo, quindi nelle equazioni compariranno tre incognite, relative al ricevitore mobile, per ogni epoca. Dalle incognite si elimina l’ambiguità di fase con l’operazione di inizializzazione, che consiste nel miglioramento di una posizione approssimata di codice usando le tecniche dei minimi quadrati o filtro di Kalman.

Quando le coordinate del ricevitore mobile sono note rispetto ad un’epoca di riferimento, allora si possono usare anche le triple differenze, anche se in pratica sono poco usate, perché la posizione di riferimento cambia ogni epoca. Per poter eseguire il posizionamento cinematico relativo è necessario la visibilità di almeno quattro satelliti.

E’ molto importante determinare la posizione iniziale del ricevitore mobile, perché sarà presa come posizione di riferimento e la baseline relativa a questa posizione di partenza Si chiamerà “starting vector”, che viene determinata in maniera statica.

Un buon pretrattamento dei dati, che elimina i dati anomali assicura una buona soluzione con questo tipo di posizionamento.

Il trattamento die dati è possibile in due modi: a singola base, il modo più usato dai software di trattamento, per i suoi buoni risultati e la sua semplicità; e a multi-base, essendo

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un approccio più rigoroso tenendo conto della geometria globale del problema, però è poco utilizzato, in quanto pochi software sono a disposizione.

Il posizionamento relativo singola base – si costruiscono le singole differenze fra i file di dati per calcolare le basi, per poi decidere quali di esse considerare nel trattamento, dove la soluzione è approssimata e dedotta con pseudorange sul codice. Trattamento dati alle doppie differenze non fissa l’ambiguità, e le coordinate del vettore baseline vengono determinate con un processo iterativo. L’ambiguità di fase viene determinata per intero e sono in genere numeri interi, che andranno fissati agli interi più prossimi. “Per fare questo, il programma di calcolo ispeziona le deviazioni standard dei parametri “ambiguità” verificando che siano piccole frazioni di ciclo. Il fissaggio corretto dell’ambiguità è indicato dal fattore di qualità RATIO”. [18] Con le coordinate approssimate ottenute con le singole differenze si esegue il trattamento dati con le equazioni alle differenze terze, che non necessita la conoscenza dell’ambiguità di fase iniziale per determinare le componenti del vettore baseline nel sistema di riferimento geocentrico WGS84.

Il posizionamento relativo multi-base – per arrivare ad una soluzione ad ambiguità fissata, le procedure sono le stesse, viste per la singola stazione, con il cambio solo della matrice disegno, assumendo la forma e la dimensione in funzione dello schema che si considera.

Figura 41 - Modello schematico di un posizionamento multi base [18]

Φ (𝑡)𝜆 = 𝜌 (𝑡) − 𝑁 𝜆 + Δ𝐼 (𝑡) + Δ𝑇 (𝑡) + Δ𝐸 (𝑡) Ove: 𝜌 – il vettore che unisce i vertici A e B;

𝑁 – vettore base contiene l’ambiguità di fase;

Δ𝐼 – parte residua dei bias ionosferici;

Δ𝑇 – parte residua dei bias troposferici;

Δ𝐸 - parte residua dei bias [18] (6) La (6) rappresenta l’equazione di calcolo per il posizionamento multi-stazione per le misure di fase. La (7) rappresenta l’equazione di calcolo per le misure di codice, che può essere scritta in modo analogo come per le misure di fase:

R (𝑡) = 𝜌 (𝑡) − Δ𝐼 (𝑡) + Δ𝑇 (𝑡) + Δ𝐸 (𝑡) (7)

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= − + ;

= − + ;

= − + . (8)

Le equazioni (8) rappresentano i coefficienti linearizzati delle doppie differenze per il rover R. A,B sono le stazioni base.

𝑛 − 1 (𝑛 + 𝑛 − 1)𝑛 + 3𝑛 (9) Ove:

- 𝑛 – numero di satelliti;

- 𝑛 – numero di stazioni base;

- 𝑛 – numero di stazioni rover;

L’espressione (8) rappresenta il numero di equazioni per il posizionamento relativo multibase.

Il posizionamento multi base presenta il vantaggio che offre una soluzione finale completa senza la necessità di compensare la rete di baseline. Presenta lo svantaggio di un impegno di calcolo.

“Per il trattamento “singola base” occorre compensare la rete GPS costituita dai vettori calcolati, secondo un modello stocastico che deriva dalla loro matrice di varianza covarianza. La compensazione della rete viene effettuata con in procedimento dei minimi quadrati” [18].

I ricevitori a singola frequenza hanno un costo minore (massimo 5000 euro), ma hanno notevoli limitazioni nell’impiego: necessitano sessioni più lunghe di misura, le loro baseline hanno la massima lunghezza di 10 km, hanno minore efficienza nel posizionamento relativo statico rapido. Questi ricevitori permettono una visualizzazione grafica della posizione e della navigazione, forniscono le coordinate in vari datum, possono contenere nella memoria le cartografie, indicando la posizione dei vari punti richiesti dall’utente, ma, non permettono la memorizzazione dei dati grezzi di codice e di fase.

Figura 42 - Esempio di un ricevitore a singola frequenza [23]

I ricevitori a doppia frequenza sono più costosi rispetto a quelli mono frequenza (da 8000 a 15000 euro), oltre a ricevere il segnale su doppia frequenza, sono anche multi costellazione GNSS, possono raggiungere una precisione centimetrica, possono essere dotati

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di antenna interna per GIS e navigazione e antenna esterna con la possibilità di collegamento alla rete locale GNSS tramite un modem interno, sono dotati di memoria interna, possono avere la fotocamera digitale e una bussola integrate, possono essere connessi con la tecnologia wireless, LAN e Bluetooth. Hanno il vantaggio che possono essere utilizzati anche come ricevitore statico per la post-elaborazione. I ricevitori a doppia frequenza sono i più efficienti e versatili.

Figura 43 - Esempio di un ricevitore a doppia frequenza [23]

Oltre ai diversi ricevitori, si utilizzano diverse antenne:

 Antenne geodetiche, che sono spesso in dotazione ai ricevitori geodetici, sono multi costellazione, in grado di ricevere i segnali da più costellazioni su diverse frequenze: L1, L2 e L5.

 Antenne a singola frequenza – con un costo compreso fra 500 e 1000 euro, in grado di ricevere il segnale su una frequenza L1, che di solito, per quanto riguarda il monitoraggio, seguono gli standard degli strumenti topografici.

 Antenne a singola frequenza – Patch. Avendo le dimensioni molto ridotte, questi tipi di antenne trovano impiego nella navigazione attraverso la telefonia cellulare e per i ricevitori a singola frequenza con precisioni ridotte (fino a qualche metro), avendo un costo ridotto.