formali
D’ora in avanti, per denotare le serie formali useremo la notazione diadica, ossia K((2∆)), introdotta nei paragrafi precedenti.
Lo scopo di questo paragrafo `e dare la dimostrazione del teorema seguente: 3.3.1 Teorema. Se (R, 2x) `e un campo esponenziale, allora esiste ∆, sot-
togruppo di (R, +, <), per cui 2∆ `e una sezione completa di R, ed esiste un’immersione ϕ che verifica:
2. ϕ(∆)⊆K((2∆>0)) =
def {
P
i<αai2δi : α ordinale, ai∈K, δi∈∆ δi > 0};
Strategia dimostrativa per il teorema 3.3.1: il passo fondamen- tale consiste nel dimostrare che, partendo da un’immersione gi`a esistente
ϕ definita su un sottocampo A di R, che verifichi ϕ : A,→K((2∆0)), dove
∆0⊂A gruppo abeliano con le caratteristiche descritte in 3.1.4 e tale che ϕ(∆0)⊆K((2∆0>0)) e 2∆0⊆2∆ `e una sezione completa di A, `e possible esten-
dere tale immersione fino a definirla su tutto R.
Pi`u precisamente, s’inizia con A coincidente con una copia isomorfa di K contenuta in R (proposizione 1.3.8) e ∆0 = {0}. Infatti A `e il campo gene-
rato da K e da 2∆0, che inizialmente `e 1; ed `e, quindi, reale chiuso e t-chiuso.
Ad ogni passo, si prende in considerazione un nuovo elemento y∈R\A e si estende l’isomorfismo ad A(y) ragionando sullo sviluppo di y su A rispetto a ∆0.
Per far questo, `e necessario verificare che il nuovo campo che immergiamo `e reale chiuso e t-chiuso.
Per quanto riguarda la chiusura per troncamento, questa `e garantita dai seguenti risultati, che non sono altro che la riformulazione nel nuovo campo K((2∆)) dei risultati ottenuti in precedenza in K((tG)) (1.2.3, 1.2.4, 1.2.3,
1.2.6):
3.3.2 Teorema. Il sottoanello di K((2∆)) generato da K e dall’insieme 2∆= {2g−
: g∈G}, cio`e K[2∆], `e chiuso per troncamento.
3.3.3 Lemma. Sia M⊂K((2∆)) un anello t-chiuso. Sia y∈K((2∆))\M. Se ogni suo troncamento appartiene a M, allora M[y] `e t-chiuso.
3.3.4 Lemma. Se M⊂K((2∆)) `e un anello t-chiuso e R `e il campo delle frazioni di M, allora R `e t-chiuso.
Combinando i due lemmi appena enunciati, otteniamo la dimostrazione del seguente risultato:
3.3.5 Lemma. Sia R⊂K((2∆)) sottocampo t-chiuso. Sia y∈K((2∆))\R tale che ogni suo troncamento x/y, appartiene a R. Allora R(y) `e t-chiuso.
3.3.6 Lemma. R⊂K((2∆)) un campo t-chiuso contenente K(2∆). Allora eR, chiusura algebrica di R in K((2∆)), `e t-chiusa.
Quindi, in particolare, la chiusura reale di un campo chiuso per tronca- mento `e ancora chiusa per troncamento.
Passiamo, ora, ad occuparci della chiusura reale: 3.3.7 Lemma. Sia A⊂R con le seguenti propriet`a:
1. ∆0⊂A;
2. esiste l’immersione ϕ : A,→K((2∆0)) t-chiusa;
3. ϕ(∆0)⊆K((2∆0));
4. 2∆0 `e una sezione completa di A.
Indichiamo con ¯A la chiusura reale di A. Allora ¯A verifica le propriet`a 1,2,3,4.
Dimostrazione: per prima cosa, evidenziamo il fatto che, considerando
la chiusura reale, ∆0 rimane inalterato. Dunque anche la sezione rimane
inalterata. Resta da controllare che ¯A `e t-chiuso ma questo deriva dai lemmi
dati in precedenza, in particolare dal lemma 3.3.6.
2
Come abbiamo visto, ad ogni passo della dimostrazione abbiamo A un sottocampo reale chiuso di R, ∆0⊂A, 2∆0 sezione completa di A e l’immer-
sione parziale
ϕ : A,→K((2∆0)) tale che ϕ(∆
0)⊆K((2∆0>0)).
Qui di seguito vediamo `e la strategia con cui costruiremo l’immersione del campo esponenziale (R, 2x) nel campo di serie formali K((2∆)).
3.3.8 Lemma. Sia (R, 2x) un RCE e sia A un RCF tale che K(2∆0)⊂A⊂R.
Consideriamo 2∆0 una sezione completa di A, ∆
0⊂A, e supponiamo di avere un’immersione t-chiusa
ϕ : A,→K((2∆0))
tale che ϕ(∆0)⊆K((2∆0>0)). Allora, preso y∈R\A, `e possibile estendere l’im- mersione ϕ a A0⊇A(y) in modo tale che ϕ rimanga una mappa t-chiusa e A0
abbia le stesse propriet`a di A.
Dimostrazione: per comodit`a, nel corso della dimostrazione si identifica A con ϕ(A)⊂K((2∆0)), ossia A⊂R∩K((2∆0)).
Sia Pi<αai2δi = svA(y) lo sviluppo massimale di y su A rispetto a ∆0. Si
possono presentare i seguenti due casi:
caso 1. svA(y)6∈A. Allora l’immersione si estende a A(y) mandando y in
P
i<αai2δi = z. Quindi A(y)∼=A(z)⊆K((2∆0)) `e t-chiuso (lemma 3.3.5);
caso 2. Pi<αai2δi∈A. Si ponga y0 = y −
P
i<αai2δi in R. Risulta che y0 non
`e confrontabile con 2∆0 cio`e y0 = o(1)2δi per ogni i < α. Estendiamo,
dunque, la sezione 2∆0 ad un opportuno 2∆1 contenente |y0| ed esten-
diamo di conseguenza l’immersione ϕ ad A(y) in K((2∆1)), mandando
y in z =Pi<αai2δi+ ε2δ
1
dove 2δ1
= |y0| e ε `e il segno di y0. In questo
modo A(y)∼=A(z)⊆K((2∆1)) rimane ancora chiusa per troncamento.
Il secondo caso ha bisogno di alcune precisazioni in quanto l’estensione del- l’immersione non si pu`o ritenere conclusa con la sola immersione di y e di y0.
Infatti che deve essere soddisfatta l’ulteriore ipotesi che ∆1⊂A(y). Quando
si aggiunge y ad A nel modo descritto nel caso 2, otteniamo un nuovo ele- mento δ1 che non appartiene a ∆
0. Per questo dobbiamo estendere ∆0 a ∆1
in modo tale che quest’ultimo goda di tutte le propriet`a di cui godeva ∆0.
Di conseguenza, dobbiamo estendere la sezione.
a) Sia
log y = σ + εy1 lo sviluppo di log y su A con σ∈A, y1 = 2δ
1
non confrontabile con 2∆0
e ε = ±1 scelto in maniera tale che y1 sia positivo. Allora y1 `e infinito rispetto ad A come y. Ripetendo questo procedimento per ogni n∈N, possiamo trovare una successione (yn)n∈N dove i corrispondenti σn, εn
e yn sono scelti nello stesso modo in cui sono stati presi σ, ε e y1 nel primo caso.
b) 2∆0∪{y
n: n∈N} genera una sezione 2∆1 in modo tale che ∆1 sia ge- nerato da ∆0∪{δn : n∈N} dove 2δ
n
= |yn| per ogni n∈N, ossia ∆1 =
∆0⊕n∈NQδn. Inoltre `e possibile estendere ϕ in modo tale che ϕ(∆1)⊆K((2∆1>0)).
Dimostrazione:
a) Se y `e infinito, anche logy lo `e. Dal momento che σ + εy1 `e lo sviluppo di
logy su A e y1 non `e confrontabile con la sezione, cio`e y1 = o(1)2δi per
ogni δi∈2∆0, allora y1 = 2δ
1
con δ1 < δ
i ∀δi∈∆0.
Per com’`e definito ∆0 a partire dal gruppo di valutazione, possiamo
esprimere la propriet`a di sopra nel linguaggio delle valutazioni nel modo seguente: v(y1)6∈v(A). Si conclude che y1 `e infinito.
A questo punto si verifica facilmente che tutto ci`o che `e valido per y `e valido anche per y1, quindi si genera una successione (yn)n∈N tale che
per ogni n∈N log yn = σn+ εnyn+1.
b) (δn)
n∈N`e una successione decrescente. Tutti i termini di tale successione
sono maggiori di zero e infiniti rispetto ad A dal momento che per ogni
n∈N 2δn
= |yn| dove tale |yn| `e infinito, per quanto detto nel punto a).
Facendo ancora riferimento al punto precedente, otteniamo
δn= σ
n+ ε2δ
n+1
per ogni n∈N, dove σn sono quelli calcolati in a) e dove δn+1 `e minore
Quindi, dal momento che σn =
P
i<αnai2
δi∈A con σ
n > 0 ed essendo
δi > δn+1 > 0 per ogni i < αn, si conclude che σn∈K((2∆0>0)).
Dobbiamo, adesso definire l’immersione.
ϕ : A(yi : i∈N),→K((2∆1))
in modo tale che ϕ(∆1)⊆K((2∆1>0)). Poniamo ϕ : y7→X i<αai2 δi + ε2δ1 e ϕ : δn7→σn+ εn2δn+1 per ogni n∈N.
Da notare che, per come `e stata definita l’immersione ϕ si mantiene anche la struttura di campo ordinato.
Inoltre, dal momento che vogliamo immergere A0 = A(y
i : i∈N) come
campo ordinato, ossia
A0 = {Xn i=1x( Ym j=1y qj,i j ) : x∈A, qj,i∈Q} definiamo ϕ(xYm j=1y qj j ) = ϕ(x) Ym j=1ϕ(y qj j ) = ϕ(x) Ym j=1ϕ(yi) qi
Notiamo che ϕ(δn)∈K((2∆1>0)), visto che per ogni n∈N,
ϕ(σn+ εn2δ
n+1
)∈K((2∆1>0))
Occorre, infine, dimostrare che ϕ `e ben definita. Per far ci`o dimostri- amo la seguente affermazione:
Dimostrazione Claim: supponiamo, per assurdo, di avere δm =Xn
i=m+1qiδ i+ a
con a∈∆0 e qi∈Q.
Per quanto detto in precedenza, δm = σ
m+ εm2δ m+1 , quindi si ha Xn i=m+1qiδ i+ a = σ m+ εm2δ m+1 da cui εm2δ m+1 = log a − σm+ X qiδi Poniamo a − σm = P
i<αai2δi. Per com’`e costruita la successione e per
l’ipotesi di partenza, si ottiene che, per ogni i≥m + 1
δm+1≤max(δα, (δi)i∈N)
Ma δm+1 < δi per ogni i∈N, quindi δm+1 = δ
α e questo `e assurdo, dal
momento che δm+1 non `e confrontabile con ∆
0.
2
Dunque 2∆1 generato da 2∆0∪{y
n : n∈N} `e una sezione e ∆1 generato
da ∆0∪{δn : n∈N} `e un sottogruppo abeliano di (R, +) ed uno spazio
vettoriale su Q. Inoltre si ha che ϕ(∆1)⊆K((2∆1>0)).
2
Con la dimostrazione del lemma 3.3.9 si conclude anche la dimostrazione del lemma 3.3.8.
Possiamo adesso concludere la dimostrazione del teorema 3.3.1, che era lo scopo di questo paragrafo.
Dimostrazione del teorema 3.3.1: iterando il procedimento svolto nella
dimostrazione precedente fino ad ottenere tutto R, si ottiene un’immersione
ϕ : R ,→ K((2∆)) con ϕ(R) t-chiuso e ϕ(∆)⊆K((2∆>0)). Dunque abbiamo
ottenuto la tesi del teorema.
2