Implementazione dell'algoritmo di ottimizzazione

La risoluzione di problemi non lineari può avvenire con diversi algoritmi, tra cui anche euristici.

Nel lavoro di tesi si utilizza uno dei metodi classici, noto come interior-point [51].

L'implementazione avviene in Matlab attraverso la funzione fmincon ed è adatta a problemi non lineari con vincoli che possono essere risolti con vari metodi settabili nelle opzioni della funzione.

Con il metodo di default interior-point si trasforma la funzione obiettivo con una nuova funzione, che utilizza variabili slack per risolvere il problema con vincoli di uguaglianza invece che di disuguaglianza.

La ricerca delle soluzioni approssimate avviene con un processo iterativo che può utilizzare, in base all'evoluzione del processo di calcolo, due tipi di incrementi sulle variabili del problema ad ogni iterazione:

 Newton step: utile a risolvere le equazioni Karush–Kuhn–Tucker (KKT) alle derivate prime;

 Coniugate gradient step (CG): utile alla esplorazione delle soluzioni in un certo spazio definito "trust-region" attraverso la variazione del gradiente (matrice Hessiana) alle derivate seconde.

𝒙_𝟎 𝛾 _%, , 𝐺 _, , 𝐶 _, , 𝑁𝑂𝐶𝑇 (3.56)

𝒍𝒃 𝛾 _%, 𝐺 , 𝐶 , 𝑁𝑂𝐶𝑇 (3.57)

𝒖𝒃 𝛾 _%, 𝐺 , 𝐶 , 𝑁𝑂𝐶𝑇 (3.58)

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Ogni variazione simultanea delle variabili provoca una variazione del valore della funzione obiettivo. Dunque, il processo iterativo si arresta quando le variazioni della funzione obiettivo sono inferiori ad un certo valore di tolleranza fissato.

La funzione di ottimizzazione implementata per ogni configurazione, non è altro che la funzione di calcolo del modello previsionale senza ottimizzazione, ma con le variabili incognite x piuttosto che quelle iniziali x0.

Test di risposta dell'algoritmo alle non linearità

Per verificare la risposta dell'algoritmo, con tutte le impostazioni di default, si sono effettuati più test di prova sia su un gruppo di 4 impianti, aventi circa la stessa potenza nominale, utilizzando la funzione obiettivo dell'Equazione 3.54 e sia su un singolo impianto:

 Test-1: realizzato su un singolo impianto, con valori iniziali e vincoli coerenti al significato fisico e ai riferimenti bibliografici;

 Test-2: realizzato su un gruppo di impianti, con valori iniziali e vincoli coerenti al significato fisico e ai riferimenti bibliografici;

 Test-3 e Test-4: realizzati su un gruppo di impianti, con diversi valori di irradianza limite e dei vincoli.

Per ogni configurazione del modello, al termine del processo iterativo si sono ottenute le variabili del problema contenute in Tabella 3.9, in cui si riportano solo le cifre più significative.

Si osserva che:

 il Test-1 fornisce risultati che possono avere un significato fisico accettabile, infatti i valori sono coerenti con i vincoli imposti;

 con il Test-2 ci si aspetta che i risultati siano simili a quelli del Test-1, cosa che invece non accade. Si osserva che l'irradianza limite segue il valore iniziale, mentre il coefficiente termico segue il vincolo superiore. Entrambi gli effetti possono compromettere l'affidabilità dell'algoritmo;

 i Test-3 Test-4 confermano i risultati qualitativi del test precedente. In particolare, con il Test-4 si realizza uno "stress-test", che evidenzia il problema di convergenza delle soluzioni.

Per evitare di influenzare la ricerca delle soluzioni, si "rilassa" abbondantemente il vincolo sul coefficiente di adattamento; teoricamente dovrebbe essere un vincolo totalmente libero tra zero e infinito. Infatti vincolare questa variabile significherebbe rendere priva di

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significato pratico la definizione di questo coefficiente, che deve essere un

"compensatore".

Tabella 3.9 – Risultati del processo di ottimizzazione su un gruppo di 4 impianti per vari test

Tra tutti gli infiniti test realizzabili, questi quattro mettono già in mostra i problemi di convergenza tipici dei problemi di ottimizzazione non lineare. Tuttavia, questi non si presentano nel caso di ottimizzazione su un singolo impianto, che non è il criterio di ottimizzazione utilizzato nel lavoro di tesi.

Si osserva che il parametro che domina il processo di convergenza è l'irradianza limite, lo si può pertanto definire come parametro "critico".

Ha senso dunque valutare quale è la tendenza delle soluzioni al variare del parametro di irradianza limite, realizzando un'analisi a gruppi (Clustering).

Test Valori iniziali e vincoli Configurazione 𝒙 𝜸_{𝑻 %} , 𝑮_𝟎 , 𝑪_𝑨 , 𝑵𝑶𝑪𝑻

1

𝒙_𝟎 0.5 , 17.7 , 1 , 47 NOCT 3 parametri 0.44 , 17.7 , 0.997,

𝒍𝒃 0.61 , 10 , 0.7 , 43 VENTO 3 parametri 0.44 , 17.7 , 0.958,

𝒖𝒃 0.30 , 50 , 1.1 , 50 NOCT 4 parametri 0.44 , 17.7 , 0.997 , 47

2

𝒙_𝟎 0.5 , 17.7 , 1 , 47 NOCT 3 parametri 0.30 ,17.7 ,0.971,

𝒍𝒃 0.61 , 10 , 0.7 , 43 VENTO 3 parametri 0.48 , 17.7 , 1.05,

𝒖𝒃 0.30 , 50 , 1.1 , 50 NOCT 4 parametri 0.31 ,17.7 , 0.944 , 47

3

𝒙_𝟎 0.5 , 35 , 1 , 47 NOCT 3 parametri 0.17 ,35 , 0.988,

𝒍𝒃 0.61 , 10 , 0.01 , 43 VENTO 3 parametri 0.16 , 35 , 0.972,

𝒖𝒃 0.10 , 50 , 10 , 50 NOCT 4 parametri 0.12 ,35 , 0.985 , 47

4

𝒙_𝟎 0.5 , 35 , 1 , 47 NOCT 3 parametri 0.49 ,35 , 0.883,

𝒍𝒃 0.61 , 10 ,0.01 , 43 VENTO 3 parametri 0.45 , 35 , 0.899,

𝒖𝒃 0.50 , 50 , 10 , 50 NOCT 4 parametri 0.11 ,35 ,0.940 , 47.1

130 Clustering delle soluzioni

In base alle considerazioni sulle non linearità osservate dai test, si decide di realizzare una analisi a gruppi, che vengono definiti cluster e che in questo caso sono le:

 soluzioni del Modello NOCT a 3 parametri;

 soluzioni del Modello con velocità del vento a 3 parametri;

 soluzioni del Modello NOCT a 4 parametri.

Per ogni cluster, si realizzano le seguenti analisi:

1. osservazione della convergenza delle soluzioni al variare dell'irradianza limite nell'intervallo definito dal vincolo:

𝐺 _, 𝐺 𝐺 10 50 W/m

2. verifica dello spostamento delle soluzioni del coefficiente termico al variare del limite superiore del vincolo:

𝛾 _% 𝛾 _% 𝛾 _% 0.05 0.30 %/°C

con vincolo inferiore:

𝛾 _% 0.61 %/°C

Si riportano entrambe le analisi in Figura 3.30. Ai fini di rendere il grafico leggibile, si riportano solo le soluzioni del Modello NOCT ottimizzato a 3 parametri.

Figura 3.30 – Analisi delle soluzioni del problema di ottimizzazione per il Modello NOCT a 3 parametri, per un gruppo di impianti

Dalla prima analisi si osserva che per dati valori di riferimento dell'irradianza limite:

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 la risposta dell'irradianza limite all'algoritmo è circa lineare e ci sono pochi punti lontani dalla linearità;

 la risposta del coefficiente di adattamento è fortemente correlata a quella dell'irradianza limite, ma i valori sono molto vicini all'unità come atteso;

 la risposta del coefficiente termico è aleatoria ed è approfondita nella seconda analisi.

Dalla seconda analisi si osserva che, mantenendo invariato il limite inferiore, le soluzioni del coefficiente termico:

 sono addensate intorno al limite superiore fissato dal vincolo e al valore -0.45 %/°C.

Questo significa che al variare dell'irradianza limite di riferimento si ottengono due famiglie di soluzioni. In particolare si osserva che variando il limite superiore a valori prossimi allo zero, il fenomeno persiste, come riscontrato anche in Tabella 3.9.

A seguito di queste analisi si decide di realizzare un "filtraggio" delle soluzioni ottenute, ovvero:

 eliminare tutti i valori di irradianza limite di riferimento per cui non si ottengono soluzioni fisicamente accettabili.

I criteri di filtraggio adottati sono due:

1. eliminazione delle soluzioni del coefficiente termico che superano un limite convenzionale per cui si rischia di perdere il senso fisico dell'ottimizzazione, fissato al valore:

𝛾 _% 0.4 %/°C

Questo non è un vincolo del problema, ma contenendo le soluzioni si comporta in modo simile, evitando l'addensamento delle soluzioni intorno al vincolo reale.

2. eliminazione delle soluzioni dell'irradianza limite che sono lontani dalla linearità rispetto ai valori di riferimento. Questo criterio può essere ambiguo, nel senso che i valori fuori dalla linearità possono risultare i più rappresentativi o viceversa. Si decide di eliminarli in quanto si può osservare che in corrispondenza di questi punti si verificano anomalie anche sul coefficiente termico. Sarebbe dunque un criterio inutile, ma si utilizza comunque per discriminare gli effetti.

Entrambi i criteri sono applicati per ogni singolo modello. Pertanto, se c'è anche per un solo modello, una soluzione del coefficiente termico oltre il limite accettabile fissato, si eliminano comunque le soluzioni di tutti i modelli associate alla specifica irradianza limite di riferimento.

Questo spiega la scarsità di soluzioni visibile in Figura 3.31.

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Un'alternativa sarebbe eliminare le soluzioni per il solo modello per cui non si rispetta il limite.

Quest'ultima non viene utilizzata, in quanto non sarebbe rappresentativa della realtà fisica. Infatti, un certo numero di impianti ha un coefficiente termico indipendente dalla configurazione di modello utilizzata per la stima della produzione.

Figura 3.31 – Filtraggio delle soluzioni del problema di ottimizzazione, per tutte le configurazioni del modello e per un gruppo di impianti

Essendo il coefficiente termico il parametro tecnologico più sensibile alle variazioni dell'irradianza limite, si utilizzano le relative soluzioni come riferimento per l'estrazione dell'irradianza limite di riferimento 𝐺 _, .

𝐺 _, 𝐺 _, si deve quindi utilizzare come input nell'analisi definitiva del modello previsionale, ai fini di garantire coerenza fisica dei risultati dell'ottimizzazione.

L'estrazione avviene con il metodo:

 single-link proximity: si rileva il dato in corrispondenza della minima distanza tra due elementi di gruppi diversi. In questo caso, trattandosi di tre gruppi, la distanza è quella assoluta, come mostrato in Figura 3.31.

Una volta estratto il parametro questo dovrà essere utilizzato per tutte le configurazioni di modello.

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L'implementazione della procedura di clustering si realizza con lo script Matlab

Modello_ottimizzazione_Clustering.m, al cui interno sono implementate le sole funzioni di ottimizzazione.