Il modello fisico-matematico presentato nel capitolo 2 viene implementato in ambiente Matlab-Simulink.
Dopo una breve panoramica sul modello nel suo insieme, ci si addentrerà volta per volta in ogni singola sezione, seguendo quanto più possibile l’ordine e l’impostazione presentata nel modello teorico.
Si precisa che a causa dei limiti imposti dal software Matlab nella scrittura è stato necessario adottare talvolta una nomenclatura differente da quella che è stata presentata nel capitolo 2 (ed ovviamente non è possibile fare utilizzo di pedici), pertanto tutte le variabili ed i parametri che verranno indicati nel capitolo 3 saranno scritti così come appaiono in Matlab. Questa nuova nomenclatura e la corrispondenza con quella adottata nel capitolo 2, insieme ad altre informazioni che saranno fondamentali per le simulazioni, è illustrata nel paragrafo 3.2; c’è ovviamente una stretta analogia fra questa e quella adottata nel capitolo 2, pertanto il passaggio fra le due si presenta intuitivo e di facile comprensione. Per motivi di chiarezza ogni volta che verrà introdotta una nuova variabile nel capitolo 3 si citerà comunque la sua corrispondente del capitolo 2.
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3.1 Modello della singola unità EIDI
In questo paragrafo si illustra una singola unità EIDI nel suo complesso. Essa è raffigurata nella figura 3.1.
In alto a sinistra sono presenti 5 blocchi che sono stati preposti per avere un corretto funzionamento del modello e per permettere la rappresentazione dei risultati in maniera adeguata.
In particolare partendo da sinistra: il blocco “clear all” ha la funzione di eliminare tutte le variabili salvate nel workspace (è preferibile attivarlo prima di ogni nuova simulazione per evitare l’insorgere di errori dovuti a valori non aggiornati dei parametri e delle variabili), il blocco “Carica dati” permette di caricare un file “.m” creato a parte e contenente tutti i parametri di simulazione, il blocco “Visualizza dati” permette di visualizzare i parametri di simulazione, il blocco “Uscite grafiche” permette di caricare un un file “.m” creato a parte e contenente le istruzioni per visualizzare i grafici delle grandezze di interesse in funzione del tempo ed infine i blocchi “Clock-tempo” servono a gestire il tempo di simulazione.
Come si può vedere la struttura generale del modello è costituita dai seguenti blocchi principali: “Circuito elettrico”, “Calcolo forza elettro-impulsiva”, “Modello strutturale”, “Sensore/Controllo”.
Sono presenti nel livello più esterno diversi blocchi “scope” che sono stati posti per monitorare con immediatezza alcune delle grandezze di maggior interesse (nello specifico la corrente I, la forza elettro-impulsiva Fc, la deformazione dello skin xs, lo spessore dello strato di ghiaccio tice).
Il blocco Circuito elettrico è azionato quando richiesto da un sensore (Sensore/Controllo) a cui arriva in ingresso istante per istante il valore dello spessore dello strato di ghiaccio accumulatosi.
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Il blocco Circuito elettrico riceve in ingresso oltre all’input di attivazione del sistema i valori della deformazione e velocità dello skin (indicata con xs_p) in uscita dal blocco in uscita dal Modello strutturale; in output esso fornisce la corrente I.
Quest’ultima a sua volta costituisce l’input del blocco dedicato al calcolo di Fc; in uscita da questo blocco si avrà dunque Fc (funzione di I e di parametri noti). Infine il Modello strutturale riceve in ingresso il valore di Fc e fornisce in uscita i valori di xs, xs_p e tice; si chiude così il loop.
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3.1.1 Circuito elettrico
Nella figura 3.2 si illustra l’interno del blocco “Circuito elettrico” e nelle figure 3.3 e 3.4 si riportano due ingrandimenti per evidenziare meglio le parti principali. Questo schema logico è stato concepito per risolvere il circuito elettrico rappresentato nella figura 2.4, che si ricorda brevemente essere l’equivalente del circuito elettrico di figura 2.1 (ossia quello derivante dal modello teorico ed in cui sono presenti esplicitamente il tiristore ed il diodo) nel quale al tiristore ed al diodo sono state sostituite opportune resistenze per esigenze pratiche.
In questo blocco si hanno come input: “com” (derivante dal blocco “Sensore/Controllo”), xs ed xs_p (entrambe derivanti dal “Modello strutturale”). In uscita si ha la corrente I.
Esso rappresenta sostanzialmente l’implementazione in ambiente Simulink delle relazioni da (2.7) a (2.10).
Si noti la differenza di nomenclatura rispetto al capitolo 2: Vc sta per , L0 per 0, mu0 per 0, Acoil per , xs per , xs_p per ̇ , Reps per ε (ovvero per 10-4
), Rinf per ∞ (ovvero per 106), Rd per R
d, Rt per Rt.
Il termine ke rappresenta invece il raccoglimento di tre termini costanti moltiplicati fra loro:
0
.
Il termine responsabile dell’attivazione del sistema è l’input 1 denominato come “com”. Quando il sistema viene attivato, ovvero non appena il ghiaccio raggiunge il valore di spessore predefinito, il segnale com (che può assumere come valori solo 0 ed 1) passa da 0 ad 1.
La corrente è stata costruita come il prodotto fra il segnale com e l’output dell’integrale di dI/dt: risulta dunque evidente come nel caso di sistema non attivo
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questo prodotto dia 0 e si abbia di conseguenza corrente nulla, quindi forza elettro-impulsiva nulla e di conseguenza deformazione nulla dello skin.
Quando il segnale com passa invece ad 1 la corrente inizia a crescere con il suo corretto valore (visto che si ha il prodotto fra 1 e l’integrale di dI/dt che ovviamente è esattamente I).
Si ottiene anche come output la carica del condensatore Q in funzione del tempo: essa banalmente si ottiene dal prodotto della capacità del condensatore C per la sua tensione Vc.
La tensione Vc si ottiene mediante l’integrazione del termine dVc/dt : in questo integratore è stata posta come condizione iniziale interna la costante Vc0 pari a 1000 V (la tensione iniziale della fase di scarica ai capi del condensatore è infatti proprio 1000 V, dopodichè esso si scaricherà a causa del fatto che il termine dVc/dt è negativo e lo farà con una dinamica del primo ordine).
Le resistenze equivalenti Rt ed Rd sono state costruite mediante un particolare artificio. Prendendo ad esempio come riferimento la resistenza Rt si ha dalla (2.10) che essa debba assumere valore infinitesimo (quindi Reps) per I ≥ 0, mentre debba essere infinita (quindi Rinf) per I < 0.
Osservando l’ingrandimento di figura 3.4 si vede come nel caso in cui sia I ≥ 0 si abbia:
Rt1 = Reps, Rt2 = 0 ⇒ Rt = Rt1 + Rt2 = Rt1 = Reps
In caso contrario si avrà:
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Nel caso della resistenza Rd (vedi figura 3.3) la situazione è analoga: unico particolare il fatto che qui mentre nel caso in cui debba essere Rd = Reps ciò avviene con esattezza nel caso in cui debba risultare Rd = Rinf (quindi nel caso in cui sia verificata la condizione Vc <0) risulta invece:
Rd = Rinf + Reps Rinf
E’ evidente come questo fatto, che deriva semplicemente dal particolare artificio che è stato adottato, sia perfettamente accettabile in quanto oltre al fatto che numericamente non vi sia praticamente differenza, anche concettualmente quello che interessa è avere una resistenza molto alta di modo da simulare un arresto del passaggio di corrente (e non si è quindi legati ad un particolare valore di resistenza, basta che essa sia appunto sufficientemente elevata).
Dei blocchi “display” sono stati inseriti per monitorare istante per istante il valore di tali resistenze e verificare che esse assumano quindi i valori corretti a seconda delle condizioni. I blocchi “double” hanno la funzione di convertire il tipo di dato uscente dalle relazioni logiche (≥, <) nella struttura utilizzabile dai blocchi seguenti e la loro presenza può rivelarsi necessaria o meno a seconda della versione del software utilizzata.
Senza considerare dunque la parte dedicata al calcolo dei valori di Rt ed Rd tutto il resto rappresenta la fedele rappresentazione in ambiente Simulink delle equazioni differenziali (2.7) e (2.8).
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3.1.2 Forza elettro-impulsiva
Questa sezione è adibita al calcolo della forza elettro-impulsiva Fc (indicata nel capitolo 2 con Fc).
Essa costituisce l’implementazione dell’equazione (2.11).
Il blocco è molto semplice in quanto Fc è proporzionale ad I2 ed al termine ke introdotto nel paragrafo 3.1.1 .
3.1.3 Parte strutturale
Questa sezione, per come è stata concepita, si può ritenere dal punto di vista dell’implementazione in Simulink la più complessa dell’intero modello.
Il Modello strutturale riceve come input il valore della forza elettro-impulsiva Fc e fornisce in output i valori di accelerazione xs_pp, velocità xs_p e deformazione xs della porzione di skin interessata alla deformazione ed il valore dello spessore del ghiaccio accumulatosi tice (nel capitolo 2 indicato con tice).
Di questi output tice va in ingresso al blocco “Sensore/Controllo”, nel quale viene confrontato con uno spessore di riferimento mentre xs ed xs_p vanno in ingresso al blocco “Circuito elettrico”, dove vengono elaborati come mostrato nella figura 3.2 o nel relativo ingrandimento di figura 3.4.
Il cuore di questa sezione è l’implementazione dell’equazione differenziale del secondo ordine (2.12), equazione che esprime la dinamica di oscillazione della porzione di skin interessata dalla deformazione.
Mentre in tale equazione i parametri ms, cs e ks (qui rispettivamente mstruct, cstruct, kstruct) sono trattati come costanti (ed i loro valori sono provenienti dalla metodologie illustrate nel paragrafo 2.2.1), i termini dovuti alla reazione esercitata dal blocco di ghiaccio al momento dell’urto di esso con la piastra Fice
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(qui Fice) ed alla forza elettro-impulsiva esercitata dalla bobina Fc sono funzioni delle variabili in gioco.
La complessità deriva quindi dal fatto che per far ciò, oltre a tradurre la dinamica del sistema massa-molla smorzatore è necessario definire all’interno di esso una logica per l’implementazione di Fice ed i modelli di formazione e rottura del ghiaccio (mentre quindi nel modello teorico queste 3 sezioni si potevano facilmente vedere come a sé stanti, anche se così non è, qui per motivi pratici esse vanno analizzate di pari passo).
Il blocco “Modello strutturale” è pertanto stato realizzato su due “livelli” che per semplicità possono essere analizzati separatamente: il primo livello, che è quello più esterno, costituisce il modo in cui si è impostata l’equazione (2.12), mentre il livello più interno è quello dedicato alle logiche di accrescimento e di rottura del ghiaccio.
Si espone in questo paragrafo l’implementazione del livello più esterno, mentre nel successivo verrà trattato quello più interno.
Con riferimento alla figura 3.5 nella parte superiore si vede come, a partire dall’accelerazione della piastra (xs_pp, indicata nel capitolo 2 con ̈s ), si ottiene mediante due successive integrazioni prima la velocità della piastra (xs_p, indicata nel capitolo 2 con ̇s ) e poi la sua deformazione xs (indicata nel capitolo 2 con s); queste ultime due grandezze, come già anticipato vanno poi in ingresso al blocco “Circuito Elettrico”.
La grandezza Fice viene determinata secondo la (2.13), ossia è data dal prodotto fra la rigidezza del ghiaccio kice e la deformazione xs con segno “-“, in quanto ha verso concorde con la direzione positiva di xs, ed esiste solo quando xs diventa negativa.
In particolare si vede come nella parte inferiore destra del diagramma a blocchi sia stata predisposta un’opportuna operazione logica che fa si che la reazione vincolare del ghiaccio esista solo nel caso in cui xs assuma valori negativi (U<0,
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dove U rappresenta l’ingresso del blocco logico, e quindi in questo caso xs) e lo faccia arrivando da valori positivi (ciò schematizza l’impatto della piastra col blocco “da sotto”, ed è tradotto dal termine “& NOT U/z <0”, dove “U/z” rappresenta il valore dell’ingresso xs immediatamente precedente a quello in cui esso assume per la prima volta valore negativo).
Il segnale xs_p_imp è il corrispettivo di v*: esso rappresenta il valore della velocità della piastra nell’istante di impatto ed infatti come si vede in figura essa è determinata prendendo il valore della velocità xs_p nell’istante in cui appunto xs diventa per la prima volta negativa (si ricordi a tal proposito la figura 2.5) . Il segnale “ureturn” è pari ad 1 quando xs assume valori negativi ed è pari a 0 quando xs assume valori positivi.
Questi vincoli, oltre ad altri che saranno illustrati a breve, per la determinazione dell’esistenza o meno di Fice sono elaborati dal secondo livello denominato “Modello di accrescimento/rottura del ghiaccio”, dal quale si vede come esca il termine kice (che sarà pari ad un valore costante o sarà nullo a seconda di opportuni criteri che verranno illustrati nella trattazione che segue dedicata al secondo livello), che è quindi fondamentale per la determinazione di Fice.
Dei blocchi “scope” sono stati posti per monitorare alcune delle grandezze di maggiore interesse, ovvero: xs_p, xs_pp, Fice.
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3.1.4 Impatto struttura/ghiaccio
Si prenda adesso in considerazione il blocco indicato con “Modello accrescimento/rottura ghiaccio”, il cui interno è riportato nella figura 3.6 (con la disposizione dei vari elementi ottimizzata per il formato della pagina).
Come indica il suo nome esso è adibito a modellizzare la crescita del ghiaccio sulla superficie alare e le condizioni per la sua rottura nel momento in cui il sistema EIDI viene attivato.
Per come è stato concepito risulta più comodo analizzare separatamente le due parti, mostrando la loro connessione.
Nella zona superiore della figura 3.6 è collocata la sezione dedicata alla modellizzazione della crescita del ghiaccio, di cui si riporta un ingrandimento in figura 3.7; essa costituisce l’implementazione in ambiente Simulink del paragrafo 2.3.1.
Partendo da sinistra si nota la presenza di due blocchi “from workspace” che contengono le seguenti variabili: “droplets diameter” (diametro delle gocce d’acqua, espressa in μm) e “h0” (quota di volo, espressa in m), entrambe inputs di una lookup-table 2D. Come già anticipato nel paragrafo 2.3.1 l’utilizzo di una
lookup-table 2D è stato reso necessario a causa dell’assenza di espressioni
analitiche in grado di stimare il valore del LWC in funzione delle due variabili precedentemente indicate. L’unica connessione fra queste 3 grandezze che si trova in letteratura è costituita da curve empiriche che, fissato il regime di volo (RMC o RMI, come si assume in questa trattazione per ottenere un’analisi più generale possibile), riportano in ordinata il LWC (espresso in g/m3) ed in ascissa il diametro medio delle gocce d’acqua; tali curve sono parametrizzate con la temperatura, come già mostrato nella figura 2.7.
La temperatura è a sua volta strettamente correlata alla quota: si sfrutta il modello di atmosfera standard secondo cui fino agli 11 km di quota (in cui rientra abbondantemente questa trattazione) la temperatura decresce linearmente con la
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quota di 6.5° ogni 1000 m a partire dal valore corrispondente al livello del mare, che è pari a 15° ( ).
Tutto ciò è implementato mediante la relazione:
T0=288-6.5e-3*h0
Tale relazione è presente nel foglio di dati (e qui è stata riportata per coerenza così come è scritta nel foglio di dati), dove ovviamente T0 (temperatura alla quota di volo) è indicata in K.
Mediante questa relazione è possibile quindi facilmente entrare nelle curve con la quota di volo h0 al posto della temperatura T0.
Partendo da queste curve in formato cartaceo e digitalizzandole è stato possibile ottenere un’estesa tabella di valori numerici interpolati rappresentanti le correlazioni fra queste 3 grandezze mediante un opportuno software in cui sono stati definiti manualmente una serie di punti sulle curve ed i relativi limiti.
Il passo successivo è stato quello di inserire la tabella di valori ottenuta nella
lookup-table 2D. E’ Dunque adesso possibile entrare con qualsiasi valore della
quota e del diametro delle gocce d’acqua (ovviamente sempre stando all’interno dei range ammissibili) ed ottenere il corrispondente valore del LWC con una buona approssimazione; per comodità il LWC viene convertito in Kg/m3 moltiplicandolo per un guadagno pari a 0.001.
Avendo dunque a disposizione il valore del LWC è possibile calcolare la velocità di variazione dello spessore dello strato di ghiaccio tice_dot.
Ciò viene fatto con il blocco denominato “Calcolo tice_dot”: esso corrisponde all’implementazione della relazione (2.26).
Si può dunque calcolare lo spessore dello strato di ghiaccio tice integrando il segnale tice_dot; per motivi di integrazione numerica è necessario fissare una condizione iniziale allo spessore dello strato di ghiaccio tice0 diversa da 0.
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Tale valore è posto pari a 10-6 m; come si può dedurre facilmente un valore così piccolo è trascurabile se confrontato con i valori dello spessore dello strato di ghiaccio con cui interessa lavorare (dell’ordine dei 10-3 m), pertanto questa operazione è decisamente lecita.
La variabile tice va in ingresso alla sezione dedicata alla modellizzazione della rottura dello strato di ghiaccio ed al sensore adibito all’attivazione del comando.
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Si consideri adesso la zona inferiore della figura 3.6, ovvero la sezione dedicata a stabilire la rottura o meno dello strato di ghiaccio, di cui è riportato un ingrandimento nella figura 3.8.
Essa costituisce l’implementazione della logica illustrata nel paragrafo 2.3.2. Il valore di tice_dot proveniente dalla zona superiore viene integrato ottenendo quindi tice e quest’ultimo viene utilizzato per calcolare separatamente l’energia necessaria per rompere il ghiaccio (che nel seguito per brevità si indicherà con “Ecrack”) e l’energia cinetica prodotta dal moto della piastra (che sempre per brevità sarà indicata con “Ecin”), entrambe misurate in J.
In questo integrale è stata posta una condizione di reset tale per cui nel momento in cui secondo il criterio di rottura il ghiaccio è stato frantumato la sua crescita riparta dal valore nullo (o per meglio dire dal piccolissimo valore tice0 per i motivi precedentemente esposti).
In particolare Fi1 è il corrispettivo di ɸ1 (ovvero di Ecrack senza il fattore correttivo “shockfactor”, indicato nel capitolo 2 con “ki” ed introdotto per passare
Figura 3.7 – Interno del blocco “Modello accrescimento/rottura ghiaccio”// Ingrandimento sezione accrescimento.
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da urto perfettamente elastico a urto reale, ossia per tenere conto di inevitabili perdite energetiche) ed è ottenuto implementando la (2.29).
Il termine Ur è il corrispettivo di Ur ed è ottenuto implementando nel foglio di dati la relazione (2.28).
Il termine Ecin è il corrispettivo di ɸ2 e viene quindi ottenuto implementando la (2.32) senza l’utilizzo di ulteriori sottosistemi.
In particolare si ricordi come si sia indicato con xp_imp il corrispettivo di , valore proveniente dal livello più esterno del Modello strutturale.
In sintesi quindi la parte sinistra del sistema è dedicata al calcolo di Ecrack ed Ecin; si fa notare che il termine “roice*Sice*u(1)” (dove u(1) si vede essere tice) rappresenti esattamente la massa del ghiaccio (indicata nel capitolo 2 come “mice”).
Una volta che si hanno a disposizione i valori di Ecrack ed Ecin essi vengono confrontati e viene applicata la logica espressa dalle (2.35) e (2.36) : ciò viene fatto utilizzando il semplice operatore logico “>”.
Dalla figura si può vedere infatti come nel caso in cui sia Ecrack > Ecin risulti in uscita il valore 1; ciò implica che dal blocco in alto di figura 3.8 “1-u(1)” (dove qui u(1) adesso è 1) esca il valore 1 - 1 = 0, pertanto la condizione di reset sull’integrale di tice_dot (che si attiva quando vi è in ingresso il valore 1) non è attivata ed a ciò ne consegue che il ghiaccio continua a crescere (e così è logico che sia dal momento che l’impatto non è stato sufficiente a romperlo).
Inoltre si vede come in questo caso risulti kice = kice*ureturn con kice diverso da 0, ovvero con il valore elevato introdotto nel foglio di dati; il termine “ureturn” è pari ad 1 nel caso in cui la deformazione xs sia negativa (se infatti xs non è <0 non vi è alcun impatto e quindi non deve esistere la reazione Fice).
Nel caso in cui invece sia Ecrack < Ecin si ha in uscita il valore 0, da cui 1 - 0 = 1, pertanto la condizione di reset viene attivata: il ghiaccio istantaneamente raggiunge il valore 0, dopodichè l’integrazione di tice_dot riparte da valore nullo
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(ciò traduce la realtà fisica del ghiaccio che viene espulso e subito riinizia ad accumularsi).
In questo caso risulta anche che kice = 0 e quindi Fice = 0, com’è logico che sia dal momento che il ghiaccio, essendo stato distrutto, non può esercitare alcuna reazione sulla piastra (nemmeno nel caso in cui ovviamente essa assuma xs < 0). In sintesi quindi l’ultimo prodotto, quello fra kice e ureturn costituisce la garanzia che kice esista solo nel caso in cui siano soddisfatte contemporaneamente sia le condizioni su xs (quelle enunciate nel primo livello) sia quelle inerenti i criteri di rottura.
Il termine kice va a costituire Fice che viene utilizzato nel primo livello e questa rappresenta quindi la connessione principale fra il livello più esterno e quello più interno.
Nella relazione (2.35) si è posto il simbolo mentre nella parte