Gli inizi del calcolo innitesimale

Come precedentemente detto, Cavalieri, al nire della sua vita, precisamente nel 1647, pubblicò un'altra opera, le Exercitationes geometricae sex, in cui riprese molto di quello già descritto nella sua maggiore opera ma seguendo una via diversa. Infatti, egli non confrontò più singolarmente gli indivisibili corrispondenti delle due gure, ma l'insieme degli indivisibili della prima gura con quello della seconda, in modo collettivo. Questo ultimo metodo è quello che più si accosta all'uso del moderno integrale denito e che colloca quindi Cavalieri stesso tra gli iniziatori del calcolo innitesimale.120 _Dovremmo

quindi concludere che Cavalieri oscillava tra i due poli di tutte le linee come insieme o come integrale? Non è così. Prima di tutto, nessuno dei due concetti sembra essere adeguato per una completa descrizione dei nuovi oggetti. In secondo luogo, entrambe le interpretazioni, insieme o integrale, sono completamente estranee all'intuizione geometri- ca di Cavalieri. Della prima c'è poco da dire, eccetto che visioni così astratte appariranno solo molto più tardi. Per quanto riguarda la seconda, dobbiamo ricordare che l'integrale è strettamente correlato all'idea di somma di quantità innitesimali, e quindi all'attri- buzione agli indivisibili di uno spessore innitesimale, un concetto che Cavalieri respinse esplicitamente in parecchie occasioni.121 _{Il risultato più importante cui arrivò equivale a}

risolvere l'integrale che, in linguaggio moderno, si scrive come Ra 0 x

n_{dx. Questo risultato}

era stato già dimostrato nel libro II della sua Geometria per i casi n = 1, nella proposi- zione XIX, e n = 2, nella proposizione XXIV.

L'integrale denito venne indicato a lungo con un simbolo cavalieriano: omn. L, ab-

119_{Giusti 1980, p. 60.} 120_{Bertozzi, p. 37.} 121_{Giusti 1980, p. 28.}

3.4 La ripresa del metodo di esaustione di Archimede 157 breviazione di omnes lineae. Solo con Leibniz si sarebbe arrivati alla notazione moderna; quest'ultimo la sostituì in modo esplicito alla precedente notazione: utile erit scribi R pro omnes lineae, ut R L pro omn. L, id est summa ipsorum L.122 _{Pertanto, si può}

stabilire una corrispondenza tra le denominazioni cavalieriane e le notazioni integrali. Si ha allora:

omnes lineae = Ra 0 y dx

omnes abscissae = Ra 0 x dx

omnes quadrata abscissarum = Ra 0 x

2_dx

Qualche piccola precisazione è doverosa. In Cavalieri il dierenziale dx non si trova; infatti ydx è un rettangolo, un elemento bidimensionale, seppur innitesimo, mentre Ca- valieri considera linee prive di larghezza. Cavalieri non si stancava di ripetere che, proprio per questo, il suo metodo era completamente diverso da altri, tra cui quello di Keplero. Inoltre la denizione di omn. L di Leibniz come summa non corrisponde al pensiero di Cavalieri, che le vedeva come insieme.123 _{Tuttavia, anche se non ancora completo, il}

metodo proposto da Cavalieri fu adocchiato da molti suoi contemporanei, desiderosi di utilizzarlo nelle loro ricerche geometriche. Primo fra tutti l'italiano Evangelista Torri- celli che, con un uso rinito degli indivisibili, ottenne alcuni dei migliori risultati del suo tempo. L'esempio di Torricelli fu seguito da praticamente tutti i geometri del secolo, e fu così che ebbe luogo la grande diusione delle idee di Cavalieri e dell'interesse per un metodo che sarebbe rimasto vitale no e oltre l'invenzione del calcolo.124

122_{Lettera di Leibniz a Oldenburg, pubblicata in Gerhardt, pag. 154.} 123_{Bertozzi, pp. 37-39.}

Conclusione

In questo elaborato abbiamo proposto una prima traduzione in italiano dei teoremi della Nova stereometria doliorum vinariorum di Keplero: per secoli quest'opera è rima- sta lievemente nell'ombra rispetto ad altre risalenti allo stesso autore, come testimonia anche il fatto che la prima traduzione di sempre in una lingua europea moderna risal- ga solamente agli ultimi mesi del 2018. Tuttavia, le ultime pagine di questo elaborato mostrano importanti legami con opere del passato, come quelle di Archimede, dei con- temporanei di Keplero, come Cavalieri, e anche di scienziati successivi come Leibniz. Proprio per questo crediamo che sia importante riprendere in mano questo libro nato quasi per caso, di fronte a un trucco d'osteria, per comprendere al meglio come siano state gettate le basi del calcolo innitesimale. Certamente, alcuni risultati proposti da Keplero sono sbagliati, come specicato anche lungo la traduzione, ma questo sicura- mente non toglie la novità e l'inventiva con cui il matematico ha arontato un problema particolare, per ritrovarsi inne, come era già avvenuto per la sua Astronomia Nova coi suoi problemi di integrazione, in prima linea tra gli uomini che hanno aperto la strada al rivoluzionario metodo del calcolo integrale.

Inoltre, non si dimentichi che egli, tramite questo libro, ha spalancato un nuovo terreno d'indagine ai geometri che volessero confrontarsi con esso - ricordiamo, a questo pro- posito, i vari problemi irrisolti proposti ad essi lungo il corso dell'opera - riprendendo Archimede ma addirittura superandolo, allargando il suo campo di ricerca no ad in- cludere corpi generati dalla rotazione di una sezione conica attorno a qualsiasi segmento giacente nel suo piano.

Suggeriamo quindi che, ora che la struttura principale dell'opera è stata tradotta in ita- liano, si indaghino diversi loni a partire da quest'opera: innanzitutto, portare a termine

Bibliograa

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