INTEGRALE INDEFINITO

LA FUNZIONE INTEGRALE

Mediante l'integrale definito possiamo ora costruire una nuova classe di funzioni, chiamate funzioni integrali in quanto utilizzano appunto l'integrale per ottenere il valore della variabile dipendente.

L'importanza di queste nuove funzioni è dovuta principalmente a motivi di tipo teorico e la lo- ro introduzione consentirà, mediante il Teorema fondamentale, di stabilire una importante re- lazione tra derivazione ed integrazione, nonchè, come ulteriore conseguenza, la più importan- te regola pratica per il calcolo degli integrali definiti.

Consideriamo una funzione 0 B integrabile nell'intervallo c d+ß , . Sappiamo che per essere in- tegrabile è sufficiente che la funzione abbia in c d+ß , un numero finito di discontinuità di I^ e III^ specie, e l'integrabilità di 0 B in c d+ß , garantisce l'integrabilità in ogni sottointervallo

c+ ß , § +ß ," "d c d.

Consideriamo allora la seguente espressione: ₍ d , c d.

+ B

0 B B B − +ß , Essa esprime l'integrale della funzione 0 B nell'intervallo c+ß Bd.

Il ruolo che solitamente riserviamo alla variabile , che ora troviamo anche nell'estremo supe-B riore d'integrazione, e cioè quello di variabile indipendente, dovrebbe sufficientemente chiari- re il senso dell'espressione. La funzione 0 B è assegnata una volta per tutte ed il suo grafico contribuisce a delimitare la figura di integrazione; il valore rappresenta l'estremo inferiore+ dell'intervallo di base; conosciamo dalla definizione di funzione integrabile il ruolo di 0 B d , rimane solo da notare che non si fissa il secondo estremo dell'intervallo d'integra-B zione, ma si considera questo estremo come variabile. Ecco perchè è stato indicato con .B Al variare del secondo estremo d'integrazione varierà ovviamente il valore dell'integrale; si vede anzi che ad ogni valore del secondo estremo d'integrazione corrisponderà una ed unaB sola immagine, ed è quindi soddisfatta la definizione di funzione.

Riassumendo, abbiamo una funzione che "ad ogni punto dell'intervallo B c d+ß , associa come immagine l'integrale della funzione 0 B dal punto assegnato fino al punto ".+ B

Una funzione costruita in questo modo prende il nome di funzione integrale e la indicheremo con J B œ( 0 > d , > B − +ß ,c d, mentre la funzione 0 B sarà invece chiamata funzione

+ B

integranda. Si cambia la variabile, da a , in B > 0 B d proprio per ribadire come l'unica va-B riabile indipendente della funzione integrale sia il secondo estremo di integrazione .B

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Vale il seguente:

Teorema 40 (di Torricelli-Barrow o Teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia À 0 B continua nell'intervallo c d+ß , e sia J B œ₍ 0 > d , > B − +ß ,c d, una sua funzione in-

+ B

tegrale.

Allora J B è derivabile e risulta J B œ 0 B a B − +ß ,w , c d.

INTEGRALE INDEFINITO - FUNZIONI PRIMITIVE

Passiamo ad esaminare una prima importante conseguenza del Teorema fondamentale.

Finora, data una funzione 0 B , mediante l'operazione di derivazione potevamo calcolarne la

funzione derivata, ovvero d .

d

0 B Ä Ä 0 B

B

w

Mediante la funzione integrale, nell'ipotesi di funzione integranda continua, si è fatto il per- corso in senso inverso: siamo partiti da 0 B è si è costruita una nuova funzione, J B , di cui

0 B J B Ä Ä 0 B

B

è la derivata, ovvero d .

d

Si è quindi operato in senso inverso alla derivazione: 0 B Ä J B œ( 0 > d .>

+ B

All'operazione inversa della derivata viene dato il nome di integrale indefinito, e per esamina- re questo concetto iniziamo dando una nuova definizione.

Definizione 26 Sia À 0 B una funzione continua a B − +ß ,c d. La funzione J B si dice una

primitiva di 0 B se J B œ 0 B a B − +ß ,w , c d.

La primitiva di 0 B è quindi una funzione che ha per derivata 0 B .

Esempio 66 Essendo d sen cos , abbiamo che sen è una primitiva di cos . d

À B œ B B B

B

Essendo d , abbiamo che è una primitiva di

dBˆ ‰B% œ % B$ B% % B Þ$

Ovviamente una funzione, per essere una primitiva, deve essere derivabile e quindi continua. Dobbiamo ora chiederci quali sono le funzioni che ammettono primitiva e, se ne ammettono, quante ne ammettono. Se ci mettiamo nell'ipotesi del Teorema fondamentale, ovvero se trat- tiamo funzioni continue, alla prima parte della domanda troviamo subito risposta: ogni fun- zione 0 B continua a B − +ß ,c d ammette almeno una primitiva, basta infatti costruire una sua funzione integrale J B œ( 0 > d per avere che > J B œ 0 B . Quindi ogni funzio-

+ B

w

ne continua ammette sicuramente primitiva.

Passiamo alla seconda parte della domanda: se ci sono primitive, quante sono ?

Se W J B œ J B œ 0 Bw , sarà anche W J B  5 œ J B œ 0 Bw , dove è una co-5 stante qualsiasi. Ma allora se 0 B ha una primitiva J B , anche J B  5 5 − ‘, , è una sua primitiva.

Supponiamo poi che J B e K B siano due primitive di una stessa funzione continua 0 B . Quindi J B œ K B œ 0 Bw w ovvero J B  K B œ J B  K Bw w w œ ! per cui, in conseguenza del Teorema di Lagrange, sarà anche J B  K B œ 5 5 − ‘, .

Due primitive di una stessa funzione integranda continua differiscono per una costante, men- tre prima abbiamo visto che se due funzioni derivabili differiscono per una costante allora so- no primitive di una stessa funzione. La conclusione non può essere che questa: data una pri- mitiva J B di una funzione continua 0 B , tutte le altre primitive sono esprimibili come:

J B  5 5 −, ‘, e scriveremo ( 0 B dB œ J B  5 5 −, ‘. Vale quindi il seguente:

Teorema 41 Sia À 0 B continua a B − +ß ,c d. Allora 0 B ammette infinite primitive.

La totalità delle primitive di una funzione continua 0 B viene chiamata integrale indefinito di 0 B , e si indica con il simbolo ( 0 B d .B

Anche sulla struttura di questo simbolo faremo delle osservazioni, che per il momento dob- biamo rimandare ad una fase successiva della trattazione.

II^ TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Prima di trattare approfonditamente dal punto di vista pratico il problema della ricerca delle primitive, o integrale indefinito, di una data funzione, vediamo una conseguenza del Teorema fondamentale del calcolo, così importante che da molti è chiamata II^ Teorema fondamentale. Vale il seguente:

Teorema 42 (II^ Teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia À 0 B continua in c d+ß , .

Allora ₍ d ˆ _¹ , dove è una qualunque primitiva della

+

, _,

+

0 B B œ J B œ J ,  J + J B

funzione .0 B

L'importanza pratica di questo Teorema è subito evidente: per calcolare l'integrale definito ba- sta determinare una primitiva della funzione integranda, per poi calcolarne la differenza dei valori negli estremi; non occorre cioè ricorrere alla definizione di funzione integrabile.

Ovviamente questo risultato è utilizzabile se si riesce a determinare una primitiva; anche se la ricerca della primitiva è l'operazione inversa della derivata, ed anche se si può calcolare la de- rivata di ogni funzione, purtroppo non sempre si riesce a compiere l'operazione inversa, cioè a determinare la primitiva. Per ammettere infinite primitive basta che la funzione sia continua, ma purtroppo non si riesce, per la maggior parte delle funzioni, ad andare oltre l'esistenza e determinare l'espressione esplicita delle primitive. Si suole dire in questo caso che la funzione non ha una primitiva esprimibile elementarmente.

E' di fondamentale importanza ricordarsi che la regola pratica per il calcolo dell'integrale defi- nito vale solo nell'ipotesi che la funzione integranda sia continua nell'intervallo d'integra- zione, come vediamo nell'esempio che segue.

Esempio 67 Consideriamo il seguente integrale: d . Essendo d ,

d À " B " œ  " B B B B ( Œ " " # #

una primitiva della funzione integranda 0 B œ " è data dalla funzione J B œ  " .

B# B

Se usassimo il II^ Teorema fondamentale, otterremmo:

( Š º " " # " " " " B dB œ  B œ  "  " œ  #.

Tutto sembrerebbe corretto, ma osservando il risultato vediamo anzitutto una palese incon- gruenza: una funzione strettamente positiva come 0 B œ " avrebbe un integrale negativo,

B#

e questo è assurdo.

L'errore consiste nell'aver applicato a questo integrale una regola che vale solamente se la funzione integranda è continua, mentre invece la 0 B œ " ha una discontinuità di II^

B#

bisognerà ricorrere agli integrali generalizzati. Se si fosse dovuto calcolare invece, ad esempio, ₍ d , la procedura svolta sarebbe stata pienamente valida.

" #

#

"

B B

RICERCA DELLE PRIMITIVE

A questo punto sono due i problemi la cui soluzione compete al calcolo integrale: l'integrale definito, collegato alla ricerca dell'area sotto il grafico di una funzione, e l'integrale indefinito, ovvero la ricerca della totalità delle primitive di una data funzione. Per il II^ Teorema fonda- mentale abbiamo visto, però, che il calcolo dell'integrale definito può utilizzare l'integrale in- definito, per cui dobbiamo ora affrontare il problema pratico della ricerca delle primitive di una data funzione. Vedremo le primitive che si possono ricavare immediatamente, per poi de- scrivere due metodi d'integrazione, l'integrazione per sostituzione e l'integrazione per parti. Se occorrerà, scriveremo la funzione integranda nella forma d per usare l'uguaglianza

dB 0 B

( _dd d ( d , .

B 0 B B œ 0 B B œ 0 B  5 5 −

w _‘

LINEARITA' DELLE PRIMITIVE

Per cercare la primitiva di una funzione sappiamo che dobbiamo operare in modo inverso ri- spetto al calcolo della derivata. Vediamo allora anzitutto una proprietà di immediata dimostra- zione:

Teorema 43 Siano À 0 B e 1 B due funzioni e siano , α " −‘. Allora: ( α0 B "1 B dB œ α†( 0 B dB "†( 1 B d , B aα ", −‘.

Come per l'analoga proprietà dell'integrale definito, anche questa si può considerare come la composizione delle due più semplici proprietà:

( α0 B dB œ α†( 0 B d e B ( 0 B  1 B dB œ( 0 B dB ( 1 B d .B Ma queste due sono di immediata verifica, semplicemente ricordando che:

d d d d d

dB α0 B œ α† dB 0 B e che dB 0 B  1 B œ dB 0 B  dB 1 B , e quindi vale la proprietà di linearità delle primitive.

INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

Si tratta ora di fare una rassegna delle cosidette derivate fondamentali, leggerle in senso in- verso, e ricavare quelli che chiameremo integrali immediati o fondamentali.

Cominciamo da d d . Essendo d , avremo: d .

d

( B œ ( " B B œ " ( B œ B  5

B

Da questo e per la proprietà di linearità avremo anche: ( 7 B œ 7d ( dB œ 7 B  5 7 −, ‘.

INTEGRALI DELLE POTENZE

Essendo d , , sarà anche d e quindi avremo:

dB B œ B − dBˆB ‰œ  " B α _α α" _{α ‘} α" _α α ( B B œ( "  " B B œ " (  " B B œ " B  5  "  "  " α _d α_d α _d α _. α α α α α "

Notiamo che questa procedura richiede che sia α Á  ", caso che tratteremo a parte.

Questo integrale ci introduce ad alcune considerazioni, la più semplice delle quali può essere sintetizzata in questo modo: se nella funzione integranda manca una costante moltiplicativa,

che dovrebbe esserci per derivazione, allora la primitiva si ottiene moltiplicando per il reci- proco della costante, e portando tale reciproco fuori dall'integrale.

Si noti infatti il ruolo della costante α  " che mancava nella funzione integranda per com- pletare la derivata di Bα"; per la proprietà di linearità essa è stata introdotta nella funzione integranda, moltiplicando anche, ma fuori dall'integrale, per il suo reciproco.

Vediamo infine il caso α œ  ".

Essendo d log , avremo: d log , purchè sia .

dB B œ B œ B B B œ B  5 B  !

" "

(

"

La condizione posta, B  !, comporta che la funzione 0 B œ " , definita a B Á !, avrebbe B

una primitiva definita solo per valori positivi.

La funzione J B œlog  B , definita per B  !, ha per derivata: d

dB log  B œ  B †  " œ B. Quindi anch'essa è una primitiva di 0 B œ B , relati-

" " "

vamente però ai soli valori negativi.

Presa la funzione log log , risulta , , e

log J B œ B œ B À B  ! J B œ a B Á !  B À B  ! " B k k œ w

comprendiamo allora ambedue i casi scrivendo: ₍ " d log k k , . B B œ B  5 B Á !

Abbiamo così ottenuto le primitive aventi il più ampio campo d'esistenza, anche se, per far questo, abbiamo rinunciato all'ipotesi di continuità della funzione integranda.

INTEGRALI DELLE FUNZIONI ESPONENZIALI

Vediamo il primo integrale immediato inerente funzioni esponenziali:

da d otteniamo d .

dB /B œ /B ( /B B œ /  5B

Passando ad una generica funzione esponenziale , essendo d log , otterremo: d + + œ + + B B B B ( + B œ " ( + † + B œ " † +  5 œ + † /  5 + + B B B B + d log d log . log log

INTEGRALI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Essendo d sen cos , abbiamo: cos d sen , ed essendo invece

dB B œ B ( B B œ B  5

d

dB cos B œ sen , abbiamo: B ( sen dB B œ ( sen dB B œ cos B  5.

Da d tg tg , otteniamo d tg d tg , dB B œ cos B œ "  B cos B B œ "  B B œ B  5 " " ( ( # # # #

mentre da d cotg cotg , si ha, cambiando di segno: dB B œ sen B œ  "  B

 "

#

#

( " _B B œ( "  B B œ  B  5

sen # d cotg d cotg .

#

INTEGRALI DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE

Per quanto concerne integrali immediati che siano in relazione con le funzioni trigonometri-

che inverse, da d arctg otteniamo d arctg .

dB B œ "  B "  B B œ B  5

" "

(

# #

Essendo d arccotg si ha pure d arccotg .

dB B œ "  B "  B B œ  B  5

 " "

(

# #

Quest'ultima non deve, se messa in relazione con la precedente, indurre a considerazioni errate del tipo arctg B œ arccotg .B

Ricordiamo che vale infatti la relazione: arctg B arccotg B œ . # 1

Essendo arcsen d e arccos d otteniamo:

dB B œ dB B œ

"  "

"  B "  B

È # È #

( _È " ( _È "

"  B# dB œarcsen B  5 5 −, ‘ ed anche "  B# dB œ arccos B  5.

Anche qui, come in precedenza, è bene ricordare la relazione arcsen À B arccos B œ . # 1

METODI DI INTEGRAZIONE

Quando la funzione integranda non sia immediatamente riconducibile ad una derivata nota, sorge il problema di quali tentativi abbia senso fare o di quali strade sia meglio intraprendere per arrivare a determinarne una primitiva. Calcolare primitive è un problema che si risolve per tentativi, ma acquisire esperienza in questo settore significa saper puntare su quello che ha più probabilità di essere il tentativo adatto.

INTEGRAZIONE PER DECOMPOSIZIONE

Più che un vero e proprio metodo, questa procedura consiste nel riscrivere la funzione inte- granda in modo tale da poterla poi esprimere come somma di varie funzioni i cui integrali sia- no noti o più facilmente calcolabili. Limitiamoci ad alcuni esempi.

Esempio 68 Calcoliamo À ( tg d .#B B

Sommando e sottraendo , ed applicando poi la proprietà di linearità, otteniamo:" ( tg #_{B B œ}d ( _{" }tg#_{B  " B œ}d ( _{" }tg #_{B B }d ( d_{B œ} tg _{B  B  5}.

Esempio 69 Calcoliamo d . Avremo, con facili calcoli:

sen cos

À " B

B † B

( # #

( _{B †}" _B B œ( B _{B † B}B B œ( " _B B ( " _B B œ

sen cos d sen cos d cos d sen d

sen cos

# # # # # #

# #

œtg cotg .B  B  5

Come si vede, occorre trovare la giusta trasformazione per arrivare ad integrali, almeno per ora, immediati.

Esempio 70 Calcoliamo À " d . Essendo B " dB œ "  " , avremo: B B  " B B  " B  " B

(

( " ( " ( " k k k k _ºB  "_º

B B  " dB œ B  " dB  B dB œlog B  " log B  5 œlog B  5 Þ

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Possiamo introdurre questo metodo ripartendo dalla derivata, o meglio dal differenziale, di una funzione composta. Sappiamo che d 0 1 B œ 0 1 B † 1 Bw w d , che possiamo an-B che scrivere come d 0 1 B œ 0 1 B † 1 Bw w dB œ 0 1 B †w d 1 B .

Se poniamo 1 B œ >, otteniamo d 0 1 B œ 0 >w d> œ d 0 > , ovvero "scompare" la funzione composta trattando 1 B come una nuova variabile indipendente.

Un primo modo con il quale introdurre il metodo di integrazione per sostituzione consiste nel vederlo come inversione della derivata di funzione composta. Possiamo cioè scrivere:

( 0 1 B † 1 Bw w dB œ( 0 1 Bw d 1 B œ( 0 >w d .>

Messa in questa forma la primitiva sarebbe fin troppo semplice da calcolare, per cui, per ge- neralizzare la procedura, sostituiamo all'espressione 0 >w l'espressione J > ed otteniamo:

( J 1 B † 1 Bw dB œ( J 1 B †d 1 B œ ( J > d .>

Naturalmente il metodo funziona se è calcolabile la primitiva di J > .

Esempio 71 Calcoliamo À ( sen d . Avremo, ponendo cos $B B B œ 1 B œ >: ( sen d$_{B B œ} ( sen#_{B †}sen d_{B B œ }( _{" }cos d cos #_{B B œ}

œ ( "d cos B ( cos d cos #B B œ ( d> ( >#d> œ œ  >  ">  5 œ  B  " B  5

$ $

$ _{cos cos}$ _.

Esempio 72 Calcoliamo À / d . Operando per sostituzione, poniamo:B "  / ( B#B J 1 B œ " 1 B œ / "  /#B w B e , per ottenere: ( _{"  /}/ B œ( _{"  /}" / B œ( _{"  /}" / œ( _{"  >}" > / œ > B #B #B #B # B B B d d d d , avendo posto .

L'integrale ora è immediato e si ha ₍ " d arctg arctg , una volta ri- "  ># > œ >  5 œ /  5

B

portata la funzione ad avere la variabile come variabile indipendente.B

Esempio 73 Calcoliamo À ( tg d . Con procedura analoga al caso precedente, avremo:B B ( tg d ( sen d ( sen d ( d cos . Il segno negativo è

cos cos cos

B B œ B B œ " B B œ  " B

B B B

stato introdotto in quanto d cos B œ sen d . Posto ora cos B B B œ >, avremo:  " B œ  " > œ  >  5 œ  B  5

B >

( _cos d cos ( d log k k log cos k k .

Esempio 74 Calcoliamo À ( B  " /B #B# d . Essendo dB ˆB  #B œ # B  "# ‰ d , si ha:B ( B  " / B œ "( / ˆB  #B œ‰ "( / > œ "/  5 œ # # # B #B# B #B# # > > d d d œ "/  5 > œ B  #B # B #B# #

, avendo posto, chiaramente, .

Esempio 75 Calcoliamo d . Da sen sen cos , ricaviamo:

sen

À " B #B œ # B † B

B (

sen B œ #sen B †cos , ed essendo sen B B cos B œ ", otteniamo:

# # # # # # ( "_B B œ( B œ ( B ( B œ B B B B #  # # # # B † B # B # B # # # # sen d d d d

sen cos sen cos

sen cos cos sen

# #

œ  "_B B  "_B B œ

# # # #

( Š ‹ ( Š ‹

cos sen d cos d sen

œ  B  B  5 œ B  5

# # #

Esempio 76 Calcoliamo d . Essendo : , integrando le due leggi : À / B / œ / B  ! / B   ! ( k kB k kB œ B B

si ha: ₍ / dB œ_œ  /  5 À B  ! . Essendo 0 B œ / continua a B − , anche

/  5 À B   !

k kB B " k kB B

# ‘

ogni sua primitiva dovrà esserlo, per cui imponiamo che sia: lim

BÄ!

B

" " # # "

  /  5 œ 5  " œ 5  " œ 0 ! , da cui segue: 5 œ 5  #, e quindi:

( / B œ œ  /  5 À B  ! 5 − /  5  # À B   !

k kB B B

d , ‘.

Un altro modo, comunque equivalente, per introdurre l'integrazione per sostituzione è quello di partire da _{( 0 B B} d , ovviamente supponendo che di 0 B non si sappia calcolare la pri- mitiva. Se poniamo B œ 1 > otteniamo 0 B œ 0 1 > e, cosa altrettanto importante nonchè fonte principale di errore qualora si tralasciasse, dB œd 1 > œ 1 >w d .>

Quest'ultima deriva dal fatto che la sostituzione B œ 1 > rende la originaria variabile indi- pendente variabile dipendente (dalla ) e quindi il differenziale d va anch'esso ricalcolato,B > B come differenziale, dando luogo appunto a dB œ 1 >w d . Fatta allora la sostituzione ottenia-> mo:

( 0 B dB œ( 0 1 > † 1 >w d> œ ( J > d .>

Nonostante l'apparente complicazione, ovviamente la metodologia scelta sarà quella giusta se ( J > > d risulta calcolabile.

Esempio 77 Calcoliamo À ( È"  B# d . Poniamo B B œsen , per cui sarà d> B œcos d ,> > e l'integrale dato diverrà ₍ È"  B# dB œ₍ È" sen cos d#> † > > œ ₍ cos d .#> >

Essendo, per le formule di bisezione, cos > œ " cos #>, otteniamo: #

Ê

( cos d# _{> > œ}( " cos cos #> d_{> œ} ( " d_{> }( #> d_{> œ} "_{> } "sen _{#>  5}.

# # # # %

Resta da riportare la primitiva in funzione della variabile originaria ; avremo:B

da B œ sen > Ê > œarcsen ; mentre: sen B #> œ #sen cos > > œ #sen >È" sen e quindi:#> sen #> œ # BÈ"  B# per cui sarà:

( È"  B B œ ">  " #>  5 œ " B  "BÈ"  B  5

# % # #

# _{d sen arcsen} # _.

Esempio 78 Per calcolare À ( È"  /B d poniamo B È"  / œ >B , da cui / œ "  >B # e quindi B œlog "  > , da cui dB œ "  #> d .>

"  > ˆ #‰ # Quindi, sostituendo, ₍ È"  / B œ d ₍ >  #> d> œ #₍ > d> œ "  > >  " B # # #

(applichiamo il metodo di decomposizione)

œ # >  "  " > œ # "  " > œ # >  # > œ >  " >  " >  " ( # # d ( # d ( d ( # d œ # >  "  " > œ # >  >  "  >  "  5 œ >  " >  " ( d log k k log k k (risostituendo ):È"  / œ >B

( È"  / B œ #È"  /  _»È_È"  /  "_» 5 "  /  "

B B B

B

d log .

Si è visto dagli esempi quanto sia importante, in _{( 0 B B} d , il ruolo del fattore d , attraversoB il quale, se del caso, un integrale per sostituzione vede trasformare la funzione integranda in una funzione di cui è possibile calcolare la primitiva. Riguardando ai calcoli sviluppati negli esempi, vediamo come 0 B d sia un vero e proprio differenziale, e quindi come il fattore dB B non sia solo un formale completamento del simbolo.

Si legge talvolta che il fattore d ha il compito di indicare la variabile d'integrazione, e questaB motivazione può avere una sua validità, come nei due esempi che seguono:

( cos dB B œsen B  5 mentre invece ( cos dB > œcos B † >  5.

Il secondo integrale, infatti, ha per funzione integranda la costante cos , essendo la varia-B > bile d'integrazione. Tolto quindi il caso di una funzione integranda che abbia nella sua espres- sione altre "lettere" da trattarsi come costanti, il ruolo del d è quello di consentire il calcoloB esatto della derivata di funzione composta, quando la variabile d'integrazione da indipendente diventa dipendente. Dovremo quindi vedere ₍ 0 B d come B ₍ 0 B dB , il che equivale a dire, più propriamente, che l'integrale indefinito è l'operazione inversa non della derivata ma del differenziale.

INTEGRAZIONE PER PARTI

Se l'integrazione per sostituzione si può vedere come inversione della derivata di funzione composta, l'integrazione per parti è invece collegabile alla derivata di un prodotto.

Sappiamo che d e quindi anche, passando ai

dB 0 B † 1 B œ 0 B † 1 B  0 B † 1 Bw w differenziali: d 0 B † 1 B œ 0 B † 1 Bw dB  0 B † 1 Bw d .B

I termini dell'uguaglianza sono due differenziali, e due differenziali coincidono se le loro fun- zioni primitive differiscono per una costante, ovvero sarà anche:

( d 0 B † 1 B  5 œ ( 0 B † 1 Bw dB ( 0 B † 1 Bw d .B

Per quanto già visto, _{( 0 B † 1 B œ 0 B † 1 B  5}d , per cui otterremo: ( 0 B † 1 Bw dB œ 0 B † 1 B ( 0 B † 1 Bw dB  5.

Questa è la formula della cosiddetta integrazione per parti, che ora leggiamo nelle sue varie componenti, da sinistra verso destra. Si deve calcolare la primitiva di una funzione che "con- viene" leggere come un prodotto di due funzioni: 0 B † 1 Bw . La prima, 0 Bw , deve essere vista come una derivata, di cui però sia facile calcolare la primitiva, visto che il primo termine a destra nell'uguaglianza, 0 B † 1 B , contiene non 0 Bw ma la sua primitiva 0 B . Dell'altra funzione 1 B non si calcola la primitiva, ma la derivata; il metodo d'integrazione per parti funziona se l'integrale rimanente, _{( 0 B † 1 B B}w d , risulta calcolabile.

Vedremo negli esempi che seguono come l'integrazione per parti possa anche necessitare di essere iterata più volte per arrivare alla soluzione.

In _{( 0 B † 1 B B}w d il termine 0 Bw prende il nome di _{fattore differenziale}, mentre 1 B è detto .fattore finito

Esempio 79 Calcoliamo integrando per parti À ( B /B d . Scriviamo, una sull'altra, la formu-B la generale e quella che scaturisce da questo esempio, in modo da poter fare gli opportuni confronti: ( 0 B † 1 Bw dB œ 0 B † 1 B  ( 0 B † 1 Bw dB  5 ( / B B œB d / B B ( / " B  5B d œ / B  /  5B B . Si è quindi posto: 0 B œ / Ê 0 B œ /w B B, e 1 B œ B Ê 1 B œ "w .

Esempio 80 Calcoliamo À ( log d . Per poter applicare l'integrazione per parti, abbiamoB B bisogno di una funzione integranda espressa sotto forma di prodotto, per cui consideriamo:

( log B B œd ( " †log B Bd .

Questa scelta, obbligata, rende ancor più obbligata la scelta del fattore finito e del fattore dif- ferenziale; non possiamo che prendere:

0 B œ " Ê 0 B œ Bw , e 1 B œ B Ê 1 B œ "

B

log .w

La rimanente diversa attribuzione dei ruoli avrebbe comportato 1 B œ " Ê 1 B œ !w , che non ha nessuna utilità nello sviluppo della regola. Passando ai calcoli, avremo:

( 0 B † 1 Bw dB œ 0 B † 1 B  ( 0 B † 1 Bw dB  5

( " † B B œ B B  ( B † " B  5 œ B B  B  5

B

log d log d log .

Esempio 81 Calcoliamo À ( arctg d . Come nell'esempio precedente, avremo:B B ( arctg dB B œ( " †arctg dB B œ Barctg B ( B dB  5.

"  B#

Passando al calcolo dell'integrale rimanente, si ha:

( _{"  B}B _# dB œ _#"( _{"  B}" _# dˆ"  B#‰œ _#" ( "_> d> œ _#"log k k> œ _#"log ˆ"  B#‰, in quanto dˆ"  B#‰œ #B B d , avendo poi posto "  B œ ># .

Avremo quindi: .

( arctg B B œ Bd arctg B  "log ˆ"  B ‰ 5. #

#

Esempio 82 Con la stessa procedura dei due esempi precedenti, calcoliamo À ( arcsen d :B B ( arcsen dB B œ( " †arcsen dB B œ Barcsen B _{( È} B dB  5.

"  B#

Risolvendo l'integrale rimanente avremo:

( _È B "( ˆ ‰ ˆ ‰ "( È

"  B# B œ  # "  B "  B œ  # > > œ  >

#  # 

d "# d "_# d , essendo: dˆ"  B#‰œ  #B B d ed avendo posto "  B œ ># . Il risultato finale sarà:

Esempio 83 Calcoliamo À ( B /$ B d . Questo esempio serve a far vedere come ci possa esse-B re talvolta la necessità di iterare più volte l'integrazione per parti per poter arrivare al risultato finale. Scegliamo, come fatto in precedenza:

0 B œ / Ê 0 B œ /w B B, e

1 B œ B Ê 1 B œ $B$ w #, per cui otterremo:

( B /$ B dB œ B /  $$ B ( B /# B dB  5, e ripetendo l'integrazione per parti, con: 0 B œ / Ê 0 B œ /w B B, e

1 B œ B Ê 1 B œ #B# w , otterremo:

( B /$ B dB œ B /  $ B /  #$ B Œ # B ( B /B dB  5, per avere infine: ( B / B œ B /  $ B /  ' B /  ' /  5$ B _d $ B # B B B _.

L'integrale rimanente è quello calcolato, sempre per parti, nel primo esempio.

Esempio 84 Per vedere altri possibili accorgimenti utili, calcoliamo À ( /Bcos d .B B Operiamo sempre per parti, ponendo:

0 B œ / Ê 0 B œ /w B B, e

1 B œ cos B Ê 1 B œ w sen , e quindi otterremo:B

( /Bcos dB B œ /Bcos B ( /B sen dB B  5 œ /Bcos B ( /Bsen dB B  5. Integrando nuovamente per parti, e ponendo:

0 B œ / Ê 0 B œ /w B B, e

1 B œ sen B Ê 1 B œw cos , otterremo:B

( /Bsen dB B œ /Bsen B ( /Bcos d , per cui otteniamo:B B ( /Bcos B B œ /d Bcos B  /Bsen B ( /Bcos B B  5d . Siamo quindi tornati all'integrale di partenza, e quindi otteniamo:

#( /Bcos dB B œ /Bcos B  /Bsen B  5, ovvero:

( / B B œ "/ B  B  2 2 œ 5

# #

B_{cos d} B _{cos sen (con per brevità).}

Questa volta l'integrazione per parti non ci ha condotto alla risoluzione di un'integrale ma ad un'equazione che contiene l'integrale dato al pari di una incognita, e la risoluzione di questa equazione determina la primitiva cercata.

Nel documento Matematica Generale. Volume 2: Calcolo differenziale, Integrazione (pagine 58-68)