INTEGRALI GENERALIZZATI
Due sono gli elementi che caratterizzano la classe delle funzioni a cui si può applicare la defi- nizione di funzione integrabile: essere la funzione limitata ed esserlo in un intervallo limitato e chiuso c d+ß , . Ovvero si richiede limitatezza sia nel dominio che nel codominio. Questo non è comunque sufficiente ad assicurare che la funzione risulti integrabile.
Allarghiamo ora il campo di applicabilità del concetto d'integrale.
Due sono le direzioni in cui possiamo procedere: considerere un intervallo d'integrazione che non sia limitato oppure considerare funzioni non limitate (e considerare poi anche ambedue i casi contemporaneamente). Queste considerazioni conducono al concetto di integrale impro- prio o generalizzato.
INTEGRALI GENERALIZZATI DI I^ SPECIE
Consideriamo una funzione 0 B il cui campo di esistenza sia illimitato (superiormente, infe- riormente o ambedue). Ci poniamo il problema di definire i seguenti integrali, che vengono detti :integrali generalizzati di I^ specie
( ( ( (
+ ∞ ∞
∞ + ∞
0 B d , B 0 B d , B 0 B dB œ 0 B d .B
‘
Il primo ha senso se il campo di esistenza di 0 B è illimitato superiormente, il secondo se lo è inferiormente, il terzo richiede entrambe le condizioni.
Il terzo tipo si riconduce subito ai primi due, potendosi scrivere, per le proprietà dell'integrale, detto un punto opportuno: + ( 0 B dB œ( 0 B dB ( 0 B d .B
∞ ∞ +
∞ + ∞
Daremo la definizione nel primo caso, ( d , mentre per il secondo si tratterà di fare
+ ∞
0 B B semplici analogie con il caso precedente.
Preso un qualunque valore 7 +, supponiamo che la funzione 0 B sia integrabile nell'in- tervallo c+ß 7d, ovvero che esista ( 0 B d , B a 7 +.
+ 7
Quest'ipotesi è sicuramente soddisfatta se nell'intervallo ,c+ ∞c la funzione è continua, op- pure se presenta solo un numero finito di discontinuità di I^ e III^ specie.
Possiamo allora dare la seguente:
Definizione 27 (di funzione integrabile in senso generalizzato di I^ specie) À
Si dice che la funzione 0 B è integrabile in senso generalizzato nell'intervallo ,c+ ∞c se il
lim lim
7Ä∞ + + 7Ä∞ +
7 ∞ 7
( 0 B d esiste finito; in tal caso si pone B ( 0 B dB œ ( 0 B d .B Si riconduce il calcolo a quello di normali integrali definiti, con un estremo superiore d'inte- grazione considerato come un parametro, e si esamina, con un passaggio al limite, come si7 comporta tale integrale quando l'estremo d'integrazione diventa sempre più grande.
Se esso tende ad un valore finito, diciamo per definizione che la funzione 0 B ammette inte- grale generalizzato; se il limite è infinito oppure non esiste, la funzione sarà detta non integra- bile in ,c+ ∞c.
Se la funzione 0 B è sempre positiva in ,c+ ∞c non potrà accadere che il limite non esista, in quanto la funzione J 7 œ( 0 B d risulta monotòna crescente, e quindi o ha limiteB
+ 7
finito oppure diverge a ∞. Questa proprietà resta valida anche se la funzione 0 B fosse positiva da un certo , + in poi.
Nell'ipotesi che 0 B sia continua in ,c+ ∞c e che J B sia una sua primitiva, otteniamo:
( ( c d
+ +
∞ 7
7Ä∞ 7Ä∞
Quindi l'integrale generalizzato ( d esiste se risulta finito , ovvero se
+ ∞
7Ä∞
0 B B lim J 7
la funzione J B ha un asintoto orizzontale sulla destra.
Esempio 85 Vediamo se esiste À ( / d .B
! ∞
B
Usando la definizione, dobbiamo vedere se esiste finito lim d .
7Ä∞ ! 7
B
( / B
Essendo ( d ˆ ¹ , dovremo calcolare:
! 7 B B 7 ! 7 / B œ / œ " / lim 7Ä∞ 7 B
" / œ " ! œ ", e quindi la funzione 0 B œ / ammette integrale genera- lizzato di I^ specie nell'intervallo ,c! ∞c ed inoltre ( / dB œ ".
! ∞
B
Esempio 86 Vediamo se esiste À " d .B B (
" ∞
Procedendo come prima, dobbiamo vedere se esiste finito lim d . Avremo allora,
7Ä∞ " 7
( B" B
essendo B !, " dB œ log B œlog , e quindi, essendo 7 log 7 œ ∞, B ( ˆ ¹ " 7 " 7 7Ä∞lim
abbiamo che la funzione 0 B œ " non ammette integrale generalizzato di I^ specie nell'in- B
tervallo ,c" ∞c.
Esempio 87 Studiamo la convergenza di À " d .B B (
" ∞
α
Vediamo per quali valori di esiste finito α lim d .
7Ä∞ " 7
( B"α B
Abbiamo già trattato il caso α œ ", in quanto abbiamo già visto che " d non esiste.B B
(
" ∞
Poniamo allora α , ed avremo: d .
α α Á " B B œ " B œ " 7 " " " ( ˆ ¹ ˆ ‰ " 7 " " " 7 α α α
Essendo se se , vediamo che:
se se lim 7Ä∞ " 7 œ ! " ! œ ! " ∞ " ! ∞ " α œ αα œ αα ( " ∞ " "
Bα d esiste e vale B α " se α ", mentre non esiste se αŸ ".
Esempio 88 Studiamo la convergenza di À ( / d .B
! ∞
Bα
Essendo ( d ˆ ¹ e dato che ,
o 7 B B 7 7 ! 7 7Ä∞ / α B œ " / α œ " " / α / α œ ! α α lim
aα !, avremo che / d esiste e vale , B " aα !. α
(
! ∞
Bα
Per trattare il secondo caso di integrale, ovvero ( d , varranno, con opportuni adatta-
∞ +
0 B B menti, considerazioni del tutto analoghe al caso precedente.
Preso 7 +, supponiamo che la funzione 0 B sia integrabile nell'intervallo c7ß +d, ovvero che esista ( d , .
7 +
Diremo che ( d esiste (o converge) se esiste finito ( d .
∞ 7
+ +
7Ä∞
0 B B lim 0 B B
Esempio 89 Vediamo se esiste À ( / d .B
∞ !
B
Usando la definizione, dobbiamo vedere se esiste finito lim d .
7Ä∞ 7 !
B
( / B Essendo ( d ˆ ¹ , dovremo calcolare:
7 ! B B 7 7 ! / B œ / œ " / lim 7Ä∞ 7 B
" / œ " ! œ ", e quindi la funzione 0 B œ / ammette integrale generaliz- zato di I^ specie nell'intervallo Ó ∞ß !Ó ed inoltre ( / dB œ ".
∞ !
B
A questo risultato si poteva arrivare anche per considerazioni di simmetria con quello dell'E- sempio 85.
Infine, nel caso di ( d ( d , occorrerà scomporre anzitutto l'integrale:
∞ ∞ 0 B B œ 0 B B ‘ ( ( ( ∞ ∞ + ∞ + ∞
0 B dB œ 0 B dB 0 B d , per poi applicare separatamente ai due casiB
la definizione ed ottenere ( d ( d ( d . ∞ 7 + ∞ + 7 7 Ä∞ 7 Ä∞ 0 B B œ lim 0 B B lim 0 B B " " # #
Se ambedue questi limiti esistono finiti, si dirà che la funzione 0 B ammette integrale gene- ralizzato su tutta la retta reale; è importante inoltre rimarcare, mediante l'uso di due diverse variabili, 7" e 7#, la necessità di calcolare i due integrali l'uno indipendentemente dall'altro.
Esempio 90 Vediamo se esiste À " d . Dato che la funzione integranda è continuaB " B
(
∞ ∞
#
su tutto ed è funzione pari, quindi simmetrica rispetto all'asse , preso ‘ C + œ !, si ha:
( ( ( ( ∞ ∞ ! ! ∞ ! ∞ ∞ # # # # " " " " " B dB œ " B dB " B dB œ # " B d .B
Calcoliamo quindi lim d .
7Ä∞ ! 7 # # † " B " B (
Essendo ( d ˆarctg ¹ arctg arctg arctg , avremo:
! 7 # ! 7 " " B B œ B œ 7 ! œ 7 lim 7Ä∞ ∞ ∞ # # 7 œ # œ B œ # " B " arctg 1 1. Quindi ( d 1.
INTEGRALI GENERALIZZATI DI II^ SPECIE
Consideriamo una funzione 0 B che non sia limitata nell'intervallo c d+ß , . Non ha senso quin- di, mancando la condizione di partenza, percorrere la strada della definizione di funzione inte- grabile per valutare ( d . Ci limitiamo a trattare il caso di una funzione non limitata in
+ ,
0 B B
un punto nel quale risulti - lim 0 B œ ∞, ovvero il caso di una funzione che presenti
BÄ-k k
una discontinuità di II^ specie infinita nel punto - À + - ,. Da questo possiamo dedurre una motivazione per la dizione di integrale generalizzato di II^ specie.
Usiamo le proprietà dell'integrale per scrivere: ( d ( d ( d . Il
+ + -
, - ,
0 B B œ 0 B B 0 B B
problema si affronta quindi portando anzitutto il punto di discontinuità all'estremo dell'inter- vallo d'integrazione, e questa è una prassi obbligata.
Definiamo ora ( d , con punto di discontinuità di II^ specie, e per analogia trattere-
+ - 0 B B - mo ( d . - , 0 B B
La funzione 0 B è, per ipotesi, continua nell'intervallo Ò+ß -Ò e quindi sarà continua in ogni intervallo c+ß - &d§ Ò+ß -Ò, & !. Abbiamo allora la seguente:
Definizione 28 (di funzione integrabile in senso generalizzato di II^ specie) À
Si dice che la funzione 0 B è integrabile in senso generalizzato nell'intervallo Ò+ß -Ò se il limi- te lim d esiste finito, e si porrà d lim d .
& &
& &
Ä! + + Ä! +
- - -
( 0 B B ( 0 B B œ ( 0 B B
Per ( d , con punto di discontinuità di II^ specie infinita, la definizione stabilisce
- ,
0 B B -
invece di calcolare lim d , e che tale limite esista finito.
&Ä! -& ,
( 0 B B
Se la funzione 0 B è non negativa in Ò+ß -Ò, il lim( 0 B d sicuramente esiste, in quan-B
&
& Ä! +
-
to la funzione 2 & œ ( 0 B d è una funzione monotòna crescente, che quindi o am-B
+ -&
mette limite finito oppure diverge a ∞.
Esempio 91 Studiamo À " d . Avendo la funzione integranda una discontinuità di II^B B
(
! "
specie infinita in B œ !, per la definizione dovremo vedere se esiste finito " d .B B lim
&Ä! & "
(
Essendo ( d ˆlog ¹ log , e dato che log , si conclude
& & & " "
Ä!
"
B B œ B œ ! & lim & œ ∞
che la funzione 0 B œ " non ammette integrale generalizzato di II^ specie in Ó!ß "Ó. B
Esempio 92 Vediamo ora À ( log d . La discontinuità di II^ specie infinita (solo da de-B B
! "
stra) è nel punto B œ !, e dovremo calcolare allora lim log d . In base all'Esempio 80,B B
&Ä! & "
(
essendo ( log d ˆ log ¹ log , avremo:
& & " "
lim
&Ä! " †& log && œ " ! ! œ ", e quindi la funzione 0 B œ log am-B
mette integrale generalizzato di II^ specie nell'intervallo Ó!ß "Ó, con ( log dB B œ ".
! "
Il segno del risultato deriva dal fatto che nell'intervallo Ó!ß "Ó la funzione 0 B œlog è ne-B gativa.
Esempio 93 Studiamo l'esistenza di À " d , B ! , -, . La funzione
B - (
- ,
α α
integranda ha una discontinuità di II^ specie infinita nel punto B œ -, e l'intervallo di integrazione si trova a destra del punto di discontinuità.
In analogia con i casi precedenti, dovremo calcolare lim d , in modo tale che
&Ä! -& α ,
(
"
B - B l'intervallo d'integrazione abbia il punto di discontinuità come estremo sinistro. Supponiamo α Á ". Sarà allora:
( ˆ ¹ ˆ ‰ - , " " - , " & α α α & α " " " B - dB œ " α B - œ " α , - & .
L'esistenza dell'integrale dipende dal comportamento del lim , in quanto le parti rima-
&
α Ä!
"
&
nenti sono delle costanti. Vediamo i vari casi:
se " α ! Êα ", si ha che lim& œ !, quindi l'integrale dato esiste e vale:
& α Ä! " ( - , " " " B - α B œ " , - α d ; α
se " α ! Êα ", si ha che lim& œ ∞, ed in questo caso l'integrale non esiste.
&
α Ä!
"
Infine, per α œ " si ha: " dB œ log B - , ed essendo: B - ( ˆ k k¹ - , - , & & lim
&Ä!clog k, - k log k k&dœ ∞, anche in questo caso l'integrale non esiste.
Quindi ( d esiste per (per la funzione è continua, quindi sempre
- , "
B - α B α " α Ÿ !