Interazione elettrostatica punta-campione

Per ricavare una pi`u semplice espressione della forza elettrica tra punta e campione, valida solo sotto certe condizioni (come vedremo in seguito), applichiamo il principio del lavoro virtuale [51]. Quando viene applicato un potenziale non nullo alla sonda e si mette a massa il campione, o viceversa, una distribuzione di cariche di segno opposto si dispone sulla punta della sonda e sull’area del campione sottostante. Il sistema funziona quindi come un condensatore, generalmente modellizzato come un condensatore a facce piane e parallele. Questa `e un’approssimazione molto forte in quanto signi- fica da una parte trascurare la rugosit`a superficiale, dall’altra considerare interagente solo la parte apicale della punta e modellizzarla come una su- perficie piana, il che `e una buona approssimazione se z  Rtextrmtip, dove

Rtextrmtip `e il raggio della punta. In base a questo modello la forza elet-

trostatica punta-campione corrisponde alla forza tra le due armature del condensatore. Ricaviamo tale forza applicando il principio del lavoro vir- tuale, definendo z la distanza tra le due armature metalliche di area S come in Fig. 2.13. L’energia elettrostatica di un condensatore `e:

Uel = 1 2CV 2 ₌ 1 2 Q2 C = 1 2QV (2.15)

dove C `e la capacit`a del sistema, V la differenza di potenziale applicata tra le due facce e Q la carica su di esse, rispettivamente +Q e −Q.

Supponiamo che sotto l’azione di una forza F la faccia superiore compia un piccolo spostamento dz. Il lavoro virtuale meccanico fatto dalla forza F `e:

Figura 2.13: Principio del lavoro virtuale: condensatore a facce piane e parallele.

Considerando il sistema isolato, condensatore pi`u generatore, la sua varia- zione di energia interna `e dUel+dUgen= dUtot, con dUgenpari alla variazione

di energia interna dell’alimentatore. Utilizzando il primo principio della ter- modinamica (dU = δQ − δL), dove dU `e la variazione di energia interna del sistema, δQ la quantit`a di calore scambiata con l’esterno (nulla in questo caso) e δL il lavoro compiuto dal sistema, si ottiene:

dUel+ dUgen= −F dz (2.17) Dall’eq. (2.17) si ottiene: F = −∂Uel ∂z − ∂Ugen ∂z = − ∂Utot ∂z (2.18)

Consideriamo i due casi a carica costante o a potenziale fissato. Nel caso di carica costante non vi `e lavoro fatto dal generatore esterno, cos`ı il termine

∂Ugen

∂z della (2.18) `e nullo e l’equazione diventa:

F = − ∂Uel ∂z     Q = − ∂ ∂z  1 2 Q2 C  = 1 2 ∂C ∂zV 2 _(2.19)

Nel caso di differenza di potenziale fissata tra le armature, essa deve essere mantenuta costante dal generatore, che pu`o essere pensato come un altro conduttore con capacit`a molto grande (“serbatoio di cariche”) [52]. Per portare una carica e sulle armature, il generatore la toglie dal serbatoio, ma il suo potenziale Vgen non cambia a causa della sua grande capacit`a; cambia

per`o la sua energia diminuita di una quantit`a pari a eVgen. Se la carica

totale spostata `e pari a Q, allora Ugen = −QV = −2Uel. Si ottiene cos`ı che

Utot = −Uel, da cui la forza:

F = ∂Uel ∂z     V = ∂ ∂z  1 2CV 2  = 1 2 ∂C ∂zV 2 _(2.20)

2.3 Microscopia a Forza Elettrica 37

`

E interessante notare come l’espressione della forza si possa ottenere deri- vando l’energia elettrostatica del condensatore sia a carica sia a potenziale costanti. Nelle espressioni (2.19) e (2.20) devono essere quindi derivate le formule corrette dell’enegia elettrostatica, rispettivamente quella valida a carica costante e quella a potenziate costante.

Il condensatore a facce piane parallele `e per`o un modello estremamente semplificato a causa delle approssimazioni gi`a citate all’inizio del paragrafo e a causa dell’elevata distanza punta-campione nelle misure EFM. L’espres- sione finale (2.20) `e comunque valida a patto di modellizzare correttamente la sonda per stabilire la capacit`a complessiva. Solitamente si suddivide la sonda in tre parti (l’apice della punta, il cono e il cantilever), si ricava- no le capacit`a di ciascuna componente, ipotizzando una forma geometrica semplice, e si scrive la capacit`a totale come somma delle singole capacit`a accoppiate in parallelo. La trattazione dei vari contributi verr`a presentata nel paragrafo 4.1, dove saranno anche analizzate in funzione della distanza punta-campione le approssimazioni associate a diverse geometrie possibili (apice-piano; apice pi`u cono-piano).

Inoltre la trattazione svolta in questo capitolo e l’espressione (2.20) sono valide solo nel caso di interazione tra due corpi e in determinate configura- zioni di polarizzazione. In letteratura si fa quasi sempre riferimento a sistemi in cui il potenziale `e applicato alla punta e il campione `e messo a terra [26], o viceversa [43]; pi`u difficilmente si riscontrano apparati sperimentali in cui un generatore mantiene una differenza di potenziale tra punta e campione, nonostante questa configurazione venga presentata nei modelli. In questi casi la carica Q presente sulle due facce del capacitore non `e necessariamen- te uguale ed opposta: solamente quando si ha induzione completa, la forza pu`o essere espressa mediante la capacit`a C calcolata semplicemente come C = _∆VQ , dove ∆V corrisponde nel primo caso alla tensione applicata alla punta, o al campione, e nel secondo alla differenza di potenziale tra i due.

Quando le configurazioni di polarizzazione sono tali da non avere indu- zione completa, cio`e carica uguale ed opposta sui due conduttori, come nel caso di punta e campione collegati a due generatori differenti, oppure quan- do `e necessaria una trattazione a molti corpi dell’interazione elettrostatica, l’espressione (2.20) non riesce a descrivere correttamente la forza esercita- ta tra punta e campione. Nel Capitolo 5 verr`a presentato un modello pi`u generale, da noi derivato a partire dai principi dell’elettrostatica; per com- prendere il funzionamento qualitativo della tecnica EFM `e per`o sufficiente l’interpretazione del condensatore data finora.

Misura della forza elettrostatica in EFM

In EFM l’azione della forza elettrostatica tra punta e campione sulla sonda viene trattata seguendo la stessa modellizzazione fatta per AFM di non-contatto (paragrafo 2.1.3). Il cantilever viene considerato come un oscil- latore armonico smorzato sottoposto ad una forzante f0cos(ωt) e ad una

forza esterna Fel(z) [32],[53],[54]. La forza elettrostatica decade molto pi`u

lentamente con la distanza rispetto ai potenziali interatomici e l’ampiez- za di oscillazione della leva esplora quindi solo una piccola parte del range del potenziale elettrostatico. In questo caso `e quindi valida l’approssima- zione di piccole oscillazioni e la linearizzazione della forza secondo la Eq. (2.11) `e giustificata. Lo shift della frequenza di risonanza del cantilever dal suo valore di oscillazione libera ω0, a causa dell’interazione elettrostatica

punta-campione, `e dato da:

∆ω = −ω◦ 2k◦

∂Fel(z)

∂z (2.21)

Se supponiamo valida l’espressione (2.20), possiamo avere un’idea della dipendenza della misura (∆ω) dai parametri del sistema:

∆ω = −ω◦ 2k◦ 1 2 ∂2C ∂z2∆V 2 _(2.22)

Nell’approssimazione di condensatore a facce piane e parallele, introdotto storicamente per primo [26], l’espressione della capacit`a e le sue derivate, prima e seconda, sono date da:

C = εrε0 S z (2.23) ∂C ∂z = −εrε0 S z2 (2.24) ∂2C ∂z2 = 2εrε0 S z3 (2.25)

dove S `e la superficie e z la distanza tra le armature; ε0 `e la costante

dielettrica del vuoto e εr quella relativa del mezzo presente tra le facce del

condensatore (generalmente aria). Il valore della costante dielettrica del vuoto `e ε0 ≈ 8.85 · 10−12 C

2

m2_·N, mentre la εr dell’aria `e definita tipicamente

pari a 1, 00059.

Da questo semplice modello si ottiene per`o un’informazione molto im- portante: ci dobbiamo aspettare una forza sempre attrattiva dall’interazione puramente capacitiva tra la punta e il campione, come avviene per il con- densatore piano, e un gradiente di forza sempre positivo, che si riflette in una diminuzione della frequenza di risonanza del cantilever. Se come segnale EFM viene preso lo shift ∆ω, la misura assumer`a valori sempre negativi nel caso puramente capacitivo, qualunque sia il segno del potenziale applicato.

2.3 Microscopia a Forza Elettrica 39

Come vedremo in seguito, questo non sar`a vero per sistemi che presenta- no una distribuzione di cariche statiche, nel qual caso il segnale si inverte (rispetto ad un segnale di riferimento) a seconda del segno del potenziale applicato (interazione coulombiana). Questa differenza relativa permette di avere un criterio molto semplice per discernere la natura dell’interazione elettrica sotto esame; nel caso di sistemi con una risposta capacitiva e allo stesso tempo una carica netta localizzata sulla loro superficie, per`o, i due ef- fetti appena descritti si mescolano e il tipo di interazione non `e direttamente intuibile dal segno relativo di ∆ω misurato. `E quindi necessaria in questo caso un’analisi pi`u approfondita dei segnali EFM, come sar`a illustrato in seguito (Cap. 5).