7. SianoC e C0 due circonferenze concentriche di centro O, la seconda di raggio minore rispetto alla prima. Dal punto P ∈C conduci le rette tangenti a C0, le quali intersecanoC0 (punti di tangenza) in D e E, mentre intersecanoC negli ulteriori punti B ed C. Dimostrare che
a) il quadrilatero di estremi B, C, D, E `e un trapezio isoscele;
b) i triangoli ABC e AED hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
8. Disegnare una circonferenza di centro O ed una sua corda AB. Sulla tangente per A si consideri un punto C tale che AC ∼= AB, e la retta CB interseca la circonferenza nell’ulteriore punto D. Si dimostri che
a) il triangolo ADC `e isoscele; b) C bDA ∼= 2D bAO.
9. SianoC una circonferenza di centro O e t e t0due rette ad essa tangenti che si intersecano nel punto P . Si disegni una terza retta tangente r tale che {A} = r ∩ t0, quindi una quarta tangente s tale {B} = r ∩ s e {C} = s ∩ t. Dimostrare che nel quadrilatero di estremi A, B, C, P vale la relazione P A + BC ∼= AB + P C.
8.5 Intersezioni di circonferenze
In questo paragrafo tratteremo delle posizioni mutue di circonferenze e delle loro eventuali intersezioni. Enunceremo delle semplici propriet`a le cui dimostrazioni fisseremo in modo intuitivo e a grandi linee. Definizione 8.5.1. Due circonferenze si dicono concentriche se hanno lo stesso centro.
O
Definizione 8.5.2. Una circonferenze si dice interna ad un’altra circonferenza se esse non hanno punti in comune e il cerchio relativo alla prima `e contenuto nel cerchio relativo alla seconda.
O O0
Q P
8.5 Intersezioni di circonferenze 147
O O0
In modo semplice si deduce che
Teorema 8.5.1. Due circonferenze di centro O e O0 sono esterne se, e solo se, OO0 `e maggiore della somma dei raggi
Definizione 8.5.4. Due circonferenze si dicono tangenti esternamente se sono esterne con un solo punto in comune.
O O0
Teorema 8.5.2. Due circonferenze di centro O e O0 sono tangenti esternamente se, e solo se, OO0 `e congruente alla somma dei raggi. Esse hanno la stessa tangente nel loro punto di contatto.
Dimostrazione. La prima tesi `e ovvia. Per la seconda, detto P il punto di tangenza delle due circonferenze, basta osservare che OO0 `e l’unione dei due raggi adiacenti che risultano entrambi perpendicolari alla tangente per P , quindi si applica la propriet`a che per un punto passa un’unica retta perpendicolare ad una retta data.
Definizione 8.5.5. Due circonferenze si dicono tangenti internamente se una delle due `e completa-mente interna all’altra con esclusione del punto di tangenza comune.
8.5 Intersezioni di circonferenze 148
Teorema 8.5.3. I centri di due circonferenze tangenti ed il loro punto di tangenza sono allineati.
O0 A
O B
Dimostrazione. Dimostreremo l’asserto solo nel caso di circonferenze tangenti internamente. Siano O, O0, A rispettivamente il centro della circonferenza esterna, di quella interna ed il punto di tangenza comune. Per assurdo O, O0, A non siano allineati. Considerato il triangolo OO0A risulta che OA < OO0+ O0A in base al 1◦teorema della disuguaglianza triangolare. Consideriamo ora il raggio OB ∼= OA della circonferenza esterna che contiene il segmento OO0, per cui si ha che OA ∼= OB ∼= OO0 + O0B. Poich´e tutti i punti della circonferenza interna distinti da A sono interni rispetto all’altra circonferenza, allora O0B > O0A. Pertanto otteniamo che da OA ∼= OO0 + O0B segue che OA > OO0+ OA, che `e incompatibile con la relazione OA < OO0+ O0A. Conclusione: O, O0, A sono allineati.
Esercizio 8.5.1. Dimostrare il teorema precedente nel caso in cui le circonferenze siano tangenti ester-namente.
Seguono immediatamente i seguenti corollari.
Corollario 8.5.1. Una circonferenza di centro O `e tangente internamente ad un’altra di centro O0 se, e solo se, OO0 `e congruente alla differenza dei raggi.
Dimostrazione. Semplice esercizio.
Corollario 8.5.2. Siano date due circonferenze, di centri O e O0, tangenti nel punto A. Allora esse hanno in A la stessa retta tangente.
Dimostrazione. La tesi discende immediatamente dalla considerazione che la retta perpendicolare in A ∈ OO0 alla retta OO0 `e unica.
Definizione 8.5.6. Due circonferenze si dicono secanti se hanno esattamente due punti in comune.
O O0
A B
8.5 Intersezioni di circonferenze 149
Teorema 8.5.4. SianoC di centro O e C0 di centro O0 due circonferenze. Esse sono secanti nei punti A e B se, e solo se, OO0 `e minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza. Inoltre, la retta OO0 `e asse della corda comune AB.
Dimostrazione. Daremo la dimostrazione a grandi linee. Consideriamo il triangolo OO0A e applichiamo i teoremi della disuguaglianza triangolare. La dimostrazione del viceversa `e omessa. Per dimostrare l’ultimo asserto basta osservare che i triangoli ABO e ABO0 sono triangoli isosceli aventi la stessa base canonica.
Capitolo 9
Poligoni inscritti e circoscritti
Nel capitolo precedente sulla circonferenza abbiamo stabilito cosa intendere per triangolo inscritto in una circonferenza e triangolo circoscritto ad una circonferenza. In questo capitolo estenderemo tali definizioni ad un poligono convesso qualunque. Inoltre, presteremo particolare attenzione allo studio dei criteri di inscrittibilit`a e circoscrittibilit`a per i quadrilateri.
9.1 Definizioni generali
Definizione 9.1.1. Un poligono convesso di n lati dicesi inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza. Esso si dice anche poligono ciclico, e i suoi vertici si chiamano punti conciclici. O A B C D E
Nella figura `e rappresentato un pentagono (poligono convesso di 5 lati) ciclico. Riferendoci a questo caso particolare osserviamo che tutti i lati del pentagono possono essere riguardati come corde della circonferenza, pertanto gli assi delle corde passano tutti per il centro O della circonferenza, in base al teorema 8.1.3. Inoltre, i segmenti che hanno come estremi il centro della circonferenza e i vertici del poligono sono tutti congruenti tra loro in quanto raggi in quanto raggi della circonferenza.
La generalizzazione di queste propriet`a ad un poligono convesso di n lati `e sancita dal seguente teorema.
Teorema 9.1.1. Un poligono convesso di n lati `e ciclico se, e solo se, gli assi dei suoi lati s’incontrano in uno stesso punto che `e il centro della circonferenza stessa.
´
E evidente che non tutti i poligoni convessi sono ciclici. L’alunno diligente porti degli esempi di poligoni convessi non ciclici. Abbiamo gi`a dimostrato che tutti i triangoli sono inscrittibili in una circonferenza, sulla scorta del teorema8.1.4.