Definizione 9.1.2. Un poligono convesso di n lati dicesi circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
O A
B
C D
E
Dalla definizione emerge che ogni vertice del poligono pu`o essere riguardato come punto esterno da cui partono due lati tangenti, i quali formano angoli le cui bisettrici passano per il centro della circonferenza, che si ricava come conseguena del teorema delle tangenti. Possiamo pertanto enunciare la seguente propriet`a.
Teorema 9.1.2. Un poligono convesso di n lati `e circoscrivibile ad una circonferenza se, e solo se, le bisettrici di ciascun angolo interno del poligono s’incontrano nello stesso punto che `e il centro della circonferenza stessa.
Chiaramente non tutti i poligoni sono circoscrivibili ad una circonferenza.
9.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti
Per i quadrilateri esistono dei criteri di inscrittibilit`a e circoscrittibilit`a che possono essere derivati facilmente utilizzando le propriet`a della circonferenza.
Teorema 9.2.1. Un quadrilatero `e ciclico rispetto alla circonferenza C se, e solo se, le due coppie di angoli opposti sono supplementari.
Dimostrazione. Dimostriamo la prima implicazione.
O A B
C
9.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti 152 =⇒) Hp: ABCD ciclico Th: bA + bC ∼= π ∼= bB + bD 1. Consideriamo il quadrilatero ABCD 2. A, B, C, D ∈C Hp
3. A angolo alla circonferenza cheb sottende arco dBD
figura 4. C angolo alla circonferenza cheb
sottende arco dDB
figura
5. A + bb C ∼= π 3., 4., angoli alla circonferenza che
sottendono archi opposti 6. B angolo alla circonferenza cheb
sottende arco dCA
figura 7. D angolo alla circonferenza cheb
sottende arco dAC
figura
8. B + bb D ∼= π 6., 7., angoli alla circonferenza che
sottendono archi opposti Dimostriamo ora per assurdo l’implicazione opposta.
O A B C E D ⇐=) Hp: bA + bC ∼= π ∼= bB + bD Th: ABCD ciclico 1. A + bb C ∼= π ∼= bB + bD Hp 2. A, B, C ∈ C ∧ D /∈ C , con D esterno aC
9.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti 153
3. Sia AD ∩C = {E} 2.
4. B angolo alla circonferenza cheb sottende arco dCA
figura 5. E angolo alla circonferenza cheb
sottende arco dAC
figura
6. B + bb E ∼= π 4., 5., angoli alla circonferenza che
sottendono archi opposti
7. E ∼b= bD 1., 6., supplementari di uno stesso
angolo 8. Consideriamo il triangolo CDE
9. E angolo esterno al triangolo CDEb figura
10. E > bb D 9., 1◦ teorema dell’angolo esterno
11. Contraddizione 7., 10.
12. A, B, C, D ∈C 2., 11.
13. ABCD ciclico 12., definizione quadrilatero ciclico
La dimostrazione `e del tutto simile se si suppone che il punto D `e interno alla circonferenza; in questo caso l’angolo esterno `e bD e la contraddizione `e determinata dalla relazione bE < bD.
Illustriamo ora il criterio di circoscrittibilit`a dei quadrilateri.
Teorema 9.2.2. Un quadrilatero `e circoscrittibile ad una circonferenzaC se, e solo se, la somma di due lati opposti `e congruente alla somma degli altri due.
O A B C D E F G H
Dimostrazione. Dimostriamo condizione necessaria di circoscrittibilit`a. Hp: ABCD circoscritto aC
Th: AB + CD ∼= BC + AD
1. AB ∩C = {E} Hp, lato AB tangente a C
2. BC ∩C = {F } Hp, lato BC tangente aC
3. CD ∩C = {G} Hp, lato CD tangente aC
4. AD ∩C = {H} Hp, lato AD tangente aC
9.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti 154
6. EB ∼= BF 1., 2., teorema delle tangenti
7. F C ∼= CG 2., 3., teorema delle tangenti
8. GD ∼= DH 3., 4., teorema delle tangenti
9. AB + CD ∼= BC + AD 5., 6., 7., 8., somma di segmenti
congruenti Dimostriamo ora la condizione sufficiente.
Sia ABCD un quadrilatero tale che AB + CD ∼= AD + BC.
A C D B O F E G
Costruiamo le bisettrici degli angoli bA e bD che s’incontrano nel punto O (non possono essere parallele altrimenti bA + bD ∼= 2π). Dal punto O tracciamo i segmenti OE⊥AD, OF ⊥AB e OG⊥CD. Si deduce facilmente che
GOD ∼= DOE =⇒ OE ∼= OG
AOE ∼= AOF =⇒ OE ∼= OF
e, quindi per la propriet`a transitiva, OE ∼= OF ∼= OG.
Le relazioni precedenti con OE⊥AD, OF ⊥AB e OG⊥CD portano a concludere che esiste unica la circonferenza di centro O e tangente sia ad AB che AD che CD. Pertanto, per il teorema delle tangenti, risulta che AF ∼= AE e DE ∼= DG, ragion per cui la relazione AB + CD ∼= AD + BC `e equivalente alla relazione F B + GC ∼= BC.
1. Supponiamo che il quarto lato BC sia esterno alla circonferenza costruita.
A C D B O F E G H L
Dal punto B, esterno alla circonferenza, conduciamo la retta BH tangente in H alla circonferenza, che incontra la retta DC in L. Si deduce quanto segue:
• F B ∼= HB per il teorema delle tangenti;
• L `e interno a GC in quanto sia GC che LB sono tangenti alla circonferenza; • GL ∼= LH per il teorema delle tangenti.
9.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti 155
Consideriamo il triangolo il triangolo BLC, risulta che BC < BL + LC per il primo teorema della disuguaglianza triangolare, che, in base alle considerazioni precedenti, pu`o scriversi BC < F B + GL + LC e quindi BC < F B + BC che contraddice l’ipotesi BC ∼= F B + GC. Pertanto il quarto lato BC non pu`o essere esterno alla circonferenza.
2. Supponiamo che il quarto lato BC sia secante la circonferenza.
A C D B O F E G H L
Dal punto B, ancora esterno alla circonferenza, conduciamo la retta BH tangente in H alla circonferenza che incontra il prolungamento di DC in L. Otteniamo quanto segue:
• F B ∼= BH per il teorema delle tangenti; • C `e interno a GL in quanto G `e interno a CD; • HL ∼= GL per il teorema delle tangenti.
Consideriamo il triangolo BCL, risulta che BC > BL − CL per il secondo teorema della disugua-glianza triangolare, che pu`o scriversi BC > F B +GL−CL e quindi BC > F B +GC che contraddice l’ipotesi BC ∼= F B + GC. Pertanto, il quarto lato non pu`o essere secante la circonferenza.
Concludiamo che il quarto lato deve essere necessariamente tangente alla circonferenza, da cui l’as-serto.
Esercizi
1. In un triangolo qualunque ABC siano CH l’altezza relativa al lato AB e BK l’altezza relativa al lato AC. Dimostrare che il quadrilatero HBCK `e ciclico.
2. Dimostrare che ogni parallelogramma ciclico `e un rettangolo.
3. Dimostrare che ogni parallelogramma circoscrittibile ad una circonferenza `e un rombo. Cosa si pu`o concludere combinando questo asserto con quello dell’esercizio precedente?
4. Sia data una circonferenza di centro O inscritta in un trapezio ABCD di basi AB e CD. Dimostrare che gli angoli A bOD e B bOC sono retti.
5. Dato un triangolo isoscele ABC, di base AB, siano O il suo incentro e AH e BK rispettivamente le bisettrici degli angoli bA e bB. Dimostrare che il quadrilatero ABHK `e ciclico.
9.2 Quadrilateri inscritti e circoscritti 156
6. Si disegni una semicirconferenza di diametro AB e si inscriva un trapezio ABCD di base maggiore AB. Si dimostri che
a) il trapezio `e necessariamente isoscele;
b) la diagonale AC `e perpendicolare al lato obliquo BC (o, in modo equivalente, la diagonale BD `e perpendicolare al lato obliquo AD).
7. Sia ABCD un quadrato. Dopo aver disegnato le circonferenze inscritta e circoscritta rispetto al quadrato, si dimostri che esse sono concentriche.
8. Dato un triangolo isoscele ABC, di base AB, siano O il suo incentro e AH e BK rispettivamente le bisettrici degli angoli bA e bB. Dimostrare che il quadrilatero OHCK `e circoscrittibile ad una circonferenza.
9. In un quadrilatero ABCD gli angoli A bDB e A bCB sono congruenti. Dimostrare che il quadrilatero `
e ciclico.
10. Si disegnino una circonferenza e quattro rette ad essa tangenti a due a due parallele e siano A, B, C, D i quattro punti di tangenza e E, F, G, H i punti d’intersezione delle rette. Si dimostri che
a) EF GH `e un rombo; b) ABCD `e un rettangolo.
Capitolo 10
Equivalenza di figure
10.1 Relazioni di equivalenza
Concetti come il parallelismo tra rette e la congruenza tra figure sono esempi di relazioni tra oggetti di uno stesso insieme. Daremo ora una definizione generale di relazione su un insieme non vuoto di oggetti, rimanendo per`o vincolati al caso geometrico quando esporremo esempi particolari.
Definizione 10.1.1. Sia E un insieme non vuoto. Si definisce relazione binaria su E ogni sottoinsieme R del prodotto cartesiano E × E. Per due oggetti x, y ∈ E che sono nella relazione R scriveremo xRy invece di (x, y) ∈R.
Vediamo ora alcuni esempi di relazioni in ambito geometrico gi`a analizzate in precedenza. 1. Sia E l’insieme delle rette del piano e siaR la relazione su E cos`ı definita
∀x, y ∈ E xRy ⇐⇒ xky vale a dire la relazione di parallelismo tra rette del piano.
2. Sia, ora, E l’insieme delle figure del piano e siaR la relazione su E cos`ı definita ∀F1, F2∈ E F1RF2⇐⇒ F1∼= F2
cio`e l’ordinaria relazione di congruenza tra figure del piano.
Nel seguito considereremo altre relazioni tra figure geometriche che studieremo a fondo. Rammentiamo che per le relazioni di parallelismo tra rette e di congruenza tra figure del piano abbiamo gi`a sottolineato la validit`a di determinate propriet`a che ora andiamo a precisare.
Definizione 10.1.2. Siano E un insieme non vuoto eR una relazione binaria su E. 1. Si dice cheR gode della propriet`a riflessiva se ∀x ∈ E xRx;
2. si dice cheR gode della propriet`a simmetrica se ∀x, y ∈ E xRy ⇐⇒ yRx;
3. si dice cheR gode della propriet`a transitiva se ∀x, y, z ∈ E (xRy ∧ yRz) =⇒ xRz.
Come gi`a sappiamo, le relazioni di parallelismo tra rette e di congruenza tra figure godono entrambe delle propriet`a riflessiva, simmetrica e transitiva. Invece, la relazione di perpendicolarit`a tra rette gode solo della propriet`a simmetrica ma non della riflessiva e della transitiva.