FASE 3: CREAZIONE DEL QUESTIONARIO
4. INTRODUZIONE AI MODELLI DI UTILITÀ ALEATORIA
Daniel McFadden, che nel 2001 vince il premio nobel per l‟economia, nel 1979 espone la sua teoria dell‟utilità aleatoria, ponendo le basi dell‟analisi formalizzata e della costruzione di modelli matematici della domanda di trasporto. Il fondamento della teoria dei Sistemi di Trasporto è costituito dal paradigma topologico/comportamentale, ovvero da un insieme di ipotesi e un limitato numero di relazioni funzionali che rappresentano in modo astratto e generale l‟offerta di servizi di trasporto di una certa area (modello di offerta), la domanda ed i comportamenti di viaggio degli utenti del sistema (modello di domanda) e le relative interazioni, ovvero il modo in cui offerta e domanda si influenzano reciprocamente (modello di interazione domanda/offerta)
Il flusso di domanda di trasporto in un fissato periodo di riferimento e in una data area risulta dall'aggregazione di spostamenti individuali. Ogni spostamento, a sua volta, è il risultato di numerose scelte compiute dagli utenti del servizio di trasporto: il viaggiatore nella mobilità di persone, gli operatori (produttori, spedizionieri, commercianti) nel trasporto delle merci. Nel caso dei viaggiatori le scelte vanno da quella del luogo di residenza e di lavoro a quella del possesso di un veicolo fino a quelle più frequenti quali "fare o meno uno spostamento per un certo motivo in una certa fascia oraria", "verso quale destinazione farlo", "con quale modo", "secondo quale percorso". Ognuno dei precedenti contesti di scelta,definito dalle alternative disponibili,dai fattori di valutazione e dalle modalità di decisione,viene comunemente indicato come "dimensione di scelta". Inoltre, nella maggioranza dei casi le scelte connesse alla domanda di trasporto avvengono fra un numero finito di alternative,ovvero fra alternative discrete.
Partendo da questi presupposti molti dei modelli matematici utilizzati per simulare la domanda di trasporto,tentano di riprodurre i comportamenti di scelta degli utenti (modelli comportamentali). Tra questi i modelli di utilità aleatoria, o casuale, rappresentano i modelli più utilizzati per simulare le scelte di trasporto e, più in generale, le scelte fra alternative discrete.
I modelli di utilità aleatoria (o casuale) si basano sull'ipotesi che ogni utente, eventualmente appartenente ad una classe di utenti omogenei da un punto di vista comportamentale, sia un decisore razionale ovvero un
massimizzatore dell'utilità relativa alle proprie scelte. Più in particolare,i modelli di utilità aleatoria si basano sulle seguenti ipotesi:
Il decisore i associa a ciascuna alternativa i del suo insieme di scelta un‟utilità o un‟attrattività percepita Uij
e sceglie l‟alternativa che massimizza tale utilità.
L‟utilità associata a ciascuna alternativa di scelta dipende da una serie di caratteristiche misurabili, o attributi, propri dell‟alternativa stessa e del decisore, Uij=Ui(Xij), doe Xij è il vettore degli attributi relativi all‟alternativa j e al decisore i. In altri termini il decisore sceglie un‟alternativa in base agli attributi propri di quella alternativa confrontandoli con quelli delle altre alternative disponibili.
A causa di vari fattori l‟utilità associata dal generico decisore i all‟alternativa j non è nota con certezza all‟osservatore esterno (analista) che cerca di simulare il comportamento di scelta del decisore, e pertanto deve essere rappresentata con una variabile aleatoria.
Sulla base delle ipotesi precedenti non è possibile in generale prevedere con certezza quale alternativa sceglierà il generico decisore. E' invece possibile esprimere la probabilità che egli scelga l'alternativa j condizionata al suo insieme di scelta Ii. E' possibile ottenere diverse forme funzionali dei modelli di utilità aleatoria. Qui di seguito verranno descritti quelli più diffusi nelle applicazioni alla domanda di trasporto.
IL MODELLO LOGIT MULTINOMIALE
E' il modello di utilità aleatoria più semplice,esso si basa sull'ipotesi che i residui aleatori j relativi alle diverse alternative siano indipendentemente e identicamente distribuiti secondo una variabile aleatoria di Gumbel a media nulla e di parametro .
La variabile di Gumbel gode di un'importante proprietà detta di stabilità rispetto alla massimizzazione,ovvero il massimo di variabili di Gumbel indipendenti e di uguale parametro è ancora una variabile di Gumbel di parametro .
La stabilità rispetto alla massimizzazione fa si che la variabile di Gumbel sia un'ipotesi particolarmente conveniente per la distribuzione dei residui
nei modelli di utilità aleatoria, in quanto questi esprimono la probabilità di scelta di un'alternativa come la probabilità che l'utilità percepita per tale alternativa sia la massima fra quelle relative a tutte le alternative disponibili.
Sotto l'ipotesi, solitamente assunta, che il parametro sia indipendente dal valore dell'utilità sistematica,cioè dagli attributi che lo compongono,esso è un modello invariante.
Un‟altra proprietà fondamentale di questo modello è che il rapporto tra le probabilità di scelta di due alternative è costante e indipendente dalla numerosità e dall‟utilità sistematica delle altre, eventuali, alternative di scelta. Più in generale in un modello Logit Multinomiale, la variazione delle caratteristiche di un‟alternativa è tale che la variazione di probabilità di scelta di questa alternativa comporta delle variazioni proporzionali delle probabilità di tutte le altre alternative, in quanto i loro rapporti rimangono costanti.
Da quanto detto,si evince che nelle applicazioni il modello Logit Multinomiale dovrebbe essere utilizzato in contesti di scelta con alternative sufficientemente distinte perché sia plausibile l‟ipotesi di indipendenza dei residui aleatori.
IL MODELLO LOGIT GERARCHIZZATO A UN
LIVELLO
Questo modello (Nested Logit) consente di superare, almeno in parte, l'ipotesi di indipendenza dei residui aleatori alla base del modello Logit Multinomiale,pur conservando un'espressione analitica chiusa.
Si assume che l'errore di percezione globale j si scomponga nella somma di due variabili aleatorie a media nulla,di cui una, k ,assume lo stesso valore per tutte le alternative appartenenti allo stesso gruppo anche se può assumere valori diversi per i diversi gruppi;l'altra, j/k ,assume valori diversi per ciascuna alternativa appartenente a ciascun gruppo. Si ipotizza inoltre che le variabili k e j/k siano statisticamente indipendenti. L'insieme di queste ipotesi implica che il decisore percepisca in modo simile le alternative appartenenti allo stesso gruppo.
La struttura dell'utilità e il meccanismo di scelta relativi a un modello Logit Gerarchizzato possono essere rappresentati da un particolare albero di scelta che può essere visto come la rappresentazione del processo di scelta.
In questo modello l‟espressione della probabilità di scelta della generica alternativa p[j] è ottenuta come il prodotto della probabilità p[j/k] di scegliere l‟alternativa elementare j condizionata all‟aver scelto il gruppo k cui essa appartiene, moltiplicata per la probabilità p[k] di scegliere il gruppo k fra tutti quelli disponibili. Il nome del modello deriva appunto da questa struttura di calcolo delle probabilità:
A livello più alto la scelta avviene fra gruppi di alternative,con ciascun gruppo k che può essere considerato come un'alternativa composta. La probabilità p[k] di scegliere il gruppo k equivale alla probabilità di
scegliere un'alternativa appartenente a tale gruppo fra tutte quelle disponibili. Tale probabilità può essere ottenuta associando al gruppo k un'utilità percepita complessiva,ottenuta come l'utilità dell'alternativa più conveniente,ovvero come il massimo delle utilità delle alternative del gruppo stesso.
IL MODELLO LOGIT GERARCHIZZATO A PIU’
LIVELLI
In questo modello le alternative elementari di scelta sono rappresentate dalle foglie o nodi finali dell‟albero. Ciascun nodo intermedio rappresenta una scelta condizionata nella quale il decisore sceglie fra un insieme di alternative elementari e/o composte disponibili, rappresentate dai nodi foglia e/o intermedi direttamente collegati al nodo intermedio.
Ad ogni nodo di scelta, intermedio o iniziale, si assume che il decisore effettui una scelta condizionata fra tutte le alternative disponibili.
IL MODELLO CROSS-NESTED LOGIT
I modelli del tipo Logit Gerarchizzato a uno e più livelli permettono di riprodurre esclusivamente matrici di covarianze tra i residui delle utilità percepite delle alternative di scelta caratterizzate da una struttura "a blocchi". Per questo motivo,al fine di poter simulare contesti di scelta caratterizzati da matrici di covarianze con una struttura più generale,è stato proposto in letteratura il Cross Nested Logit,che può essere visto come una generalizzazione del modello Logit Gerarchizzato a un livello basata sull'ipotesi che ciascuna alternativa possa contemporaneamente appartenere a più di un gruppo,con differenti gradi di appartenenza. Una tale struttura di covarianza non può essere rappresentata da un albero di scelta. E' quindi interessante sottolineare che,nel caso di modelli della famiglia Cross-Nested,il grafo rappresentativo della struttura di correlazione non può più essere definito un albero di scelta,in quanto esso non rappresenta la sequenza di fasi del processo di scelta come invece accadeva per i modelli del tipo Logit Gerarchizzato.
Sotto questa ipotesi,la probabilità di scelta della generica alternativa j si può esprimere a
partire dall'espressione introdotta per il modello Logit Gerarchizzato a un livello, generalizzandola in modo da tener conto che una stessa alternativa può appartenere a
più gruppi:
Un' alternativa appartenente a più gruppi presenta una probabilità di scelta più bassa rispetto a un'altra alternativa con la stessa utilità sistematica ma appartenente a un gruppo solo.
IL MODELLO MIXED LOGIT
Uno dei possibili metodi di simulazione delle probabilità di scelta è lo smoothed Monte_carlo, alla generica iterazione della quale il vettore di probabilità di scelta non è deterministico ma calcolato utilizzando un Logit Multinomiale di parametro . Il modello di utilità aleatoria cui effettivamente corrispondono le probabilità di scelta calcolate con lo smoothed Monte-carlo assume in pratica che il residuo complessivo j sia scomponibile nella somma di due aliquote j e j tra loro indipendenti,dove le j sono variabili aleatorie normali a media nulla e matrice di covarianza qualsiasi e le j sono variabili aleatorie indipendenti di Gumbel a media nulla e parametro di varianza . In generale,le ipotesi poste sulla distribuzione dei residui j e j non sono restrittive in quanto esse possono seguire una distribuzione qualsiasi,e ciò genera una classe di modelli di utilità aleatoria denominati mixed models; in particolare,quando i residui j sono variabili aleatorie di Gumbel indipendentemente e identicamente distribuite parleremo di Mixed Logit.
Queste probabilità di scelta vanno interpretate come probabilità di scelta calcolate in corrispondenza di una particolare realizzazione della variabile aleatoria multivariata ,mentre le probabilità di scelta assolute si ottengono come media della probabilità MNL[j/ ] pesate attraverso f() che è la densità di probabilità congiunta.
1 k j k ik j j V f U
f d V V d f j p P h h j j ( ) )) ( exp( )) ( exp( ) ( ] / [ 1Passati in rassegna tutti i modelli approfonditi possiamo rappresentare nello schema seguente la generalizzazione di tutti i sottosistemi di riferimento