LA MATRICE VARIANZA COVARIANZA

Stabiliti nei paragrafi precedenti quali siano i modelli utilizzati e la finalità della ricerca condotta si è proceduto attraverso lo studio della teoria dell‟Experimental Design all‟implementazione di un questionario atto a minimizzare il numero di interviste riducendo l‟errore nella somministrazione.

Da circa un decennio il Prof. John Rose dell‟Università di Sidney sta approfondendo le tematiche legate appunto all‟ottimale calibrazione del questionario per le indagini utili a calibrare un sistema di utilità aleatoria. In altri termini qualunque processo che generi risultati – eventi che non sono generalizzabili con certezza si può definire Experimental Design. In particolare il Prf. Rose ha messo appunto un software per la calibrazione dei questionari per determinati stati di scelta. Con questo strumento si può:

- creare design con una grande flessibilità - generare design fattoriali interi o parziali - generare design ortogonali

- generare design efficienti

- interagire con un'interfaccia moderna che massimizza la flessibilità

Di tutte le funzioni precedentemente elencate quelle su cui si è posta la maggiore attenzione è quella che permette di generare design fattoriali interi o parziali,cosi come richiesto dallo studio in esame.

In particolare Ngene:

- ottimizza misure di efficienza come D,A,S (taglia del campione), B (bilancio di utilità), wtp (disponibilità a pagare);

- ottimizza misure di efficienza per i modelli logit multinomiali, mixed logit e i relativi errori;

- ottimizza nel metodo Bayesiano le seguenti deviazioni: minima, massima, media e standard;

- disegna distribuzioni di parametri Bayesiani e casuali, di Halton, di Sobol e MHLS in modo tanto preciso quanto la quadratura gaussiana;

- cerca il design efficiente con il metodo delle sostituzioni e con gli algoritmi RSC e di Federov;

- per ogni modello trova la funzione di utilità, di probabilità e la matrice di varianza-covarianza.

Operativamente bisognerà innanzitutto determinare la modalità di campionamento degli utenti intervistati. Da apposita indagine Istat conoscendo l‟età degli acquirenti degli immobili sul territorio nazionale sappiamo che ponendo l‟obiettivo di fare x interviste, “%a • x” andranno fatte in una certa fascia di età, “%b • x” ad un‟altra etc etc….

Fig. 7 – Esempi di Campionamento

In realtà l‟obiettivo del software e quindi della teoria che sta alla base delle simulazioni di Experimetal Design tentano di effettuare il ragionamento che:

Dalle curve qui presentate si intuisce come sia molto più utile non ragionare su come aumentare il numero di interviste ma cogliere la possibilità di correggere la curva “Standard Error”. Quest‟ultima strettamente correlata con la matrice varianza covarianza può essere determinata supponendo a priori l‟esito degli esperimenti. Con un processo iterativo si potrà quindi determinare il miglior questionario possibile abbattendo la curva SE.

Fig. 9 – Schema logico funzionale per la determinazione dei parametri

Nel dettaglio come si determina il migliore Experimental Design senza condurre nessuna intervista?

1. Assumere a priopri il segno dei parametri

2. Ipotizzare la Matrice Varianza-Covarianza dei parametri nella loro dipendenza e questo può essere fatto senza alcuna indagine

La matrice asintotica varianza-covarianza è un approssimazione della vera matrice dove asintotica vuol dire:

- – assumere un campione molto grande oppure;

- – assumere un gran numero di ripetizioni su un campione piccolo MATRICE VARIANZA COVARIANZA

Analiticamente per determinare il design efficiente in letteratura sono riportati, tra gli altri, due parametri:

Ottenendo infatti:

Fig. 10 – Distribuzione degli errori

Effettuando questi ragionamenti possiamo quindi produrre il questionario da sottoporre ad intervista.

Per quanto riguarda il questionario vero e proprio che è stato sottoposto agli intervistati, questo è stato suddiviso in tre parti principali: una prima parte di pre-intervista dedicata alle informazioni socio-economiche relative a ciascun utente, una seconda parte dedicata all‟ultima scelta residenziale fatta (indagine RP “Revealed Preferences”), un‟ultima parte invece in cui gli utenti si sono trovati di fronte diversi scenari di scelta futuri in cui dovevano scegliere tra diverse alternative (indagine SP “Stated Choice”).

Parlando invece nel dettaglio della creazione del questionario, questa si è evoluta in diversi step procedurali: per prima cosa sono stati determinati i livelli per ciascun attributo e in particolare in numero di tre escluso il verde pubblico che invece è stato valutato come una variabile dummy che assume valore 1 se abbiamo la presenza di parchi nel quartiere di riferimento e assume valore 0 altrimenti.

Nelle tabelle seguenti sono riportati i valori che sono stati utilizzati per ciascun livello di ciascun attributo (ogni riga è riferita a ciascun municipio).

Fig. 11 – I Livelli degli attributi

E‟ stata poi considerata una funzione di utilità che si differenziava per ciascun municipio per i valori degli attributi:

Per quanto riguarda il tipo di design per prima cosa è stato deciso di escludere l‟utilizzo di un full factorial design che altrimenti avrebbe portato alla creazione di 9234 scenari differenti. Si è deciso quindi di utilizzare un fractional factorial design a blocchi. valutata la numerosità delle alternative presenti (una per ciascun municipio) l‟utilizzo di sei blocchi è risultato essere il più appropriato per non rendere il design non comprensibile per l‟intervistato. Ciascun blocco è formato da quattro scenari, tre dei quali contenenti 5 alternative di scelta e uno contenente 4 alternative. La disposizione delle alternative è stata individuata tramite il linguaggio di programmazione Visual Basic che ha consentito di effettuare un‟estrazione del tutto casuale con il metodo MonteCarlo prima spiegato.

In conclusione, per quanto riguarda l‟indagine SP gli utenti si sono trovati di fronte scenari del tipo:

Fig. 12 – Tabella degli Scenari

Invece per quanto riguarda la parte dedicate alle Preferenze Rivelate i diversi intervistati si sono trovati ad esprimere un giudizio su attributi, come il verde pubblico, la sicurezza, il numero di parcheggi disponibili, attraverso una scala di importanza. Gli utenti hanno dovuto anche indicare il tempo che impiegano per andare da casa a lavoro.

Per quanto riguarda la tematica delle Preferenze dichiarate e delle Preferenze rivelate si è preso in esame il testo “Modelli per i sistemi di trasporto"(2006) a cura di Ennio Cascetta di cui qui di seguito vengono riportati alcuni passi.

“ […]

Il principio ispiratore delle tecniche di indagine campionaria risiede nella stima dei valori delle variabili di interesse,a livello dell'intera popolazione,a partire da osservazioni condotte su un gruppo relativamente piccolo di individui (campione) appartenenti alla popolazione stessa.

Nelle indagini durante il viaggio, o a "bordo", si intervista un campione degli utenti di uno o più modi di trasporto;le interviste possono essere effettuate a bordo-strada per i conducenti di automobile e i loro passeggeri,sul mezzo o ai terminali (stazioni,aeroporti,ponti,fermate di autobus) per gli utenti di sistemi di trasporto collettivo (treno,aereo,nave,bus). Il campione di utenti è ottenuto intervistando, a caso, una prefissata frazione degli utenti che usano il modo considerato.

Qualunque sia il tipo di indagine da effettuare, la progettazione statistica di un'indagine campionaria per la stima della domanda si articola in alcune fasi standard:

Definizione dell'unità di campionamento (persona,famiglia,veicolo ecc.) e del metodo di conteggio dell'universo (ad esempio elenchi anagrafici dei residenti o conteggi dei veicoli transitati);

Definizione della strategia di campionamento,ovvero del metodo con cui viene estratto il campione di individui da intervistare;

Definizione dello stimatore da adottare,ovvero della funzione utilizzata per ottenere una stima della quantità incognita a partire dalle informazioni ottenute dall'indagine;

Definizione della numerosità del

campione da estrarre

La definizione delle unità di campionamento è fortemente influenzata dagli aspetti pratici,ovvero dal tipo di indagine ( a domicilio,a bordo,ecc..) e dalla disponibilità di informazioni sull'universo. Nel caso di indagini a bordo l'unità di campionamento sarà il veicolo se l'indagine è effettuata a bordo strada o il passeggero nel caso di interviste ai terminali.

Per la scelta della strategia di campionamento, la quasi totalità delle indagini fa riferimento a tipi di campionamento probabilistico, che definiscono a priori i possibili risultati dell'estrazione del campione, assegnano una probabilità a ciascun risultato ed estraggono a caso gli elementi del campione con quella probabilità.

La scelta dello stimatore, ovvero della funzione dei risultati del campionamento,dipende ovviamente dalle grandezze di cui si intende ottenere una stima e dalla strategia di campionamento adottata; si può infatti dimostrare che uno stimatore statisticamente efficiente per una strategia può non esserlo per un'altra.

La stima del modello può essere effettuata a partire da informazioni

sui comportamenti di mobilità di un campione di utenti del sistema di trasporto da ricavarsi con indagini opportune; tale approccio prende il nome di stima disaggregata dei modelli di domanda. In generale,le indagini utilizzate per ottenere informazioni elementari su cui stimare i modelli di domanda possono appartenere a due diverse classi: indagini relative ai comportamenti effettivamente rivelati o dimostrati dagli utenti in un contesto reale (indagine sulle

preferenze rivelate) ovvero indagini relative ai comportamenti dichiarati dagli utenti in contesti ipotetici (indagini sulle preferenze dichiarate).

Il metodo tradizionale delle preferenze rivelate,spesso indicato con l'abbreviazione RP (dall'inglese Revealed Preferences) prevede l'effettuazione di indagini da cui è possibile ottenere informazioni sui comportamenti rilevanti per il modello che si intende calibrare. La progettazione dell'indagine consiste quindi nella definizione della numerosità del campione,del questionario e della metodologia di estrazione del campione. Diverso è il caso delle indagini delle preferenze dichiarate,di solito abbreviate come indagini SP (dall'inglese Stated Preferences), che sono concettualmente equivalenti ad un esperimento di laboratorio progettato con un maggior numero di gradi di libertà.

Le informazioni sui comportamenti di mobilità necessarie per specificare e calibrare i modelli di domanda possono essere ottenute, come già detto in precedenza, utilizzando anche delle indagini di Preferenze Dichiarate o SP (Stated Preferences). Con tale termine si intende un insieme di tecniche diverse che utilizzano le dichiarazioni di soggetti intervistati con riferimento a scenari o contesti ipotetici. Le tecniche SP si basano sulla possibilità di controllare l'esperimento progettando il contesto di scelta da sottoporre all'intervistato,piuttosto che registrare scelte a posteriori in contesti non controllati,come avviene nelle usuali indagini RP.

Le indagini SP presentano diversi vantaggi rispetto a quelle RP,in quanto consentono di:

- Introdurre alternative di scelta attualmente non disponibili ( ad esempio nuovi modi di trasporto in un contesto di scelta modale); - Controllare la variabilità degli attributi rilevanti al di fuori dell'attuale intervallo osservato,al fine di ottenere stime migliori dei relativi coefficienti;

- Introdurre nei modelli attributi non presenti nel contesto di scelta attuale;

- Ottenere più informazioni,ovvero campioni più numerosi, a parità di costo in quanto di solito ad ogni intervistato vengono sottoposti più contesti di scelta.

Tali vantaggi sono ottenuti al prezzo di introdurre alcune distorsioni nei risultati delle indagini e nei modelli da questi

calibrati. In particolare,distorsioni derivano dalla possibilità difformità fra i componenti di scelta dichiarati e quelli effettivi: in altri termini,se l'utente si trovasse di fronte a una situazione reale potrebbe comportarsi diversamente da quanto dichiarato durante l’indagine SP. Le cause di un possibile comportamento difforme sono numerose;ad esempio,il contesto proposto potrebbe essere o apparire irrealistico,fra gli attributi proposti per ciascuna alternativa potrebbero mancarne alcuni rilevanti per il decisore,l'intervistato potrebbe essersi stancato ovvero tentare di giustificare i suoi comportamenti di scelta attuali (justification bias) e cosi via. Da quanto detto si evince che le indagini SP,pur avendo un notevole potenziale applicativo,vanno correttamente viste in modo complementare e non alternativo alle tecniche RP. Un esperimento di Preferenze Dichiarate può essere compiutamente individuato sulla base di alcuni elementi: la composizione dei contesti di scelta proposti al decisore in termini di opzioni alternative,gli attributi (o fattori) considerati per ciascuna alternativa,i livelli di variazione consentiti per tali attributi,la selezione dei contesti di scelta proposti,il tipo di preferenza richiesta al decisore nonchè le modalità con cui l'intervista viene condotta. Nei contesti di scelta proposti gli attributi variano fra un numero predefinito di valori,o livelli;tali valori possono essere definiti in termini assoluti,ad esempio specifici tempi e costi di viaggio,ovvero ottenuti in modo relativo come variazioni percentuali rispetto ai valori medi degli attributi per contesti reali sperimentati o comunque noti al decisore.

Al decisore posto di fronte a uno scenario può essere richiesto di esprimere una preferenza secondo diverse tipologie:

Scelta (choice),ovvero indicare quale opzione sceglierebbe in

quel contesto;

Ordinamento (ranking), ovvero ordinare le opzioni disponibili a

seconda del suo grado di preferenza;

Votazione (rating),ovvero assegnare una misura di preferenza (voto)

in una scala predefinita a ciascuna opzione alternativa.

Si osservi che le tre tipologie conducono ad una quantità di informazione e richiedono impegno da parte del decisore via via crescente. Inoltre,le modalità "scelta" e "ordinamento" coincidono nel caso in cui il contesto di scelta preveda due sole opzioni alternative.

Infine,le interviste possono essere effettuate utilizzando diverse modalità: da quelle più tradizionali,nelle quali al decisore vengono presentate delle schede cartacee con tutte le informazioni relative a un contesto di scelta,a tecniche più sofisticate nelle quali l'intervistatore utilizza un computer e gli scenari sono generati in tempo reale tenendo conto delle caratteristiche e delle risposte via via fornite dal decisore,presentati su schermo e memorizzati in tempo reale.

Progettare un'indagine SP significa definire tutti gli elementi descritti in precedenza. Occorre premettere che,sebbene esistano indicazioni operative e analisi teoriche a supporto,la progettazione delle indagini SP,ancor più che le indagini tradizionali,si basa sull'esperienza e sulla sensibilità dell'analista. Le principali indicazioni operative emerse da diversi anni di ricerca e sperimentazione sono riassunte di seguito:

 Realismo degli scenari: i risultati dell'indagine SP sono

sensibilmente migliori se vengono proposti contesti di scelta vicini alla conoscenza e all'esperienza diretta del decisore. Ad esempio,in un'indagine finalizzata alla calibrazione di un modello di scelta modale si può dapprima effettuare un'intervista RP,chiedendo informazioni sul modo scelto nell'ultimo viaggio effettuato per un certo motivo, e successivamente costruire gli scenari SP a partire da quel viaggio variando gli attributi dei modi disponibili o introducendo un nuovo servizio/modo di trasporto. Cosi è possibile ridurre notevolmente gli effetti distorsivi descritti in precedenza;è evidente che tale tipo di indagine richiede un maggior lavoro di preparazione,in particolare l'uso di un calcolatore che consente di utilizzare banche dati per generare gli attributi di livello di servizio dei diversi modi disponibili in tempo reale.

Semplificazione degli scenari,proponendo un numero limitato

di opzioni alternative definite da un numero ridotto di attributi si ottengono risultati più affidabili;

 Limitazione del numero di scenari proposti a ciascun decisore

per non generare l'effetto fatica che può distorcere la qualità dei risultati;diverse esperienze suggeriscono di non superare i nove-dieci secnari per ciascun decisore.

[…]