2.3 Euler e le affinit` a
2.3.1 Introduzione alla classificazione delle curve
Uno dei grandi problemi della geometria delle coordinate `e la classificazione delle curve algebriche dello stesso grado; il problema sorge quando si assume il grado dell’equazione come criterio per una prima classificazione delle curve algebriche.
Le coniche erano gi`a state classificate nella matematica antica in circonferenze, ellissi, parabole e iperbole. Tale classificazione era indipendente dalla tipologia di cono o cilindro utilizzato per la generazione. Ma gli antichi non hanno lasciato alcuna classificazione delle curve di ordine superiore all’infuori della distinzione tra curve solide e curve meccaniche che si pu`o leggere tra le righe del terzo libro delle Collectiones matematicae di Pappo27.
27Pappo classifica i problemi a seconda della tipologia di curve la cui costruzione `e richiesta dalla
soluzione del problema. Distingue i problemi in piani, solidi e lineari (‘grammici’). Cos`ı facendo suggerisce una distinzione tra le sezioni coniche e le curve pi`u complesse spesso recepita come distinzione tra curve geometriche e curve meccaniche. “Les Anciens ont admis que les probl`emes appartiennent `a trois genres en g´eom´etrie: les uns sont appel´es plans, d’autres solides et d’autres encore grammiques. On appelle `a juste titre plans ceux qui peuvent ˆetre r´esolus au moyen de lignes droites et de circonferences de cercles; car les lignes au moyen desquelles les probl`emes de ce genre spmt r´esolus trouvent leur origine dans le plan. Quant aux probl`emes dont la solution invoque une ou plusieurs sections du cˆone, ils sont appel´es solides; car il faut faire usage de surfaces coniques. Reste le troisi`eme genre de probl`emes app´eles grammiques, parce que, outre les lignes que nous venons de dire, ils en admettent d’autres pour leur construction, dont l’origine est plus vari´ee et plus complexes, telles que [les spirales], les quadratrices, les concho¨ıdes et les cisso¨ıdes qui poss`edent des propri´et´es nombreuses et ´etonnantes.” [Pappus 1933 p. 38].
Cos`ı ogni classificazione delle curve del secondo ordine aveva come termine di para- gone la classificazione delle coniche; uno dei problemi era trovare un criterio algebrico che permettesse di ritrovare la classificazione classica delle coniche. La classificazio- ne delle curve del secondo ordine divenne cos`ı il banco di prova per ogni criterio algebrico di classificazione, mentre la classificazione delle cubiche costituiva il primo passo di un grande problema aperto.
Nelle prime fasi della geometria delle coordinate il problema del tracciamento delle curve non `e sempre distinto dal problema della classificazione delle curve. Per le coniche esistevano diverse procedure meccaniche di tracciamento, a volte concretizzate in meccanismi piani, mentre per le cubiche, come per molte curve di ordine superiore, il tracciamento era un problema aperto.
Con lo sviluppo dell’algebra e della geometria delle coordinate divenne chiaro che le soluzioni del problema del tracciamento di una curva e di quello di una clas- sificazione delle curve dello stesso grado si doveva in qualche modo basare sui valori dei coefficienti dell’equazione.
Il problema della classificazione delle curve si relaziona in pi`u modi alle tra- sformazioni geometriche. Desargues aveva mostrato come tutte le coniche possono essere considerate proiezioni di una circonferenza, ci si pu`o chiedere se una classe di curve sia ottenibile mediante proiezione di un curva, `e il problema della generazione mediante proiezione. La generalizzazione dei cambiamenti di sistema di riferimento portano alla considerazione di trasformazioni in forma analitica. Sotto questo pun- to di vista i cambiamenti di variabile pi`u importanti sono quelli lineari, in quanto rispettano la classificazione delle curve.
Newton affronta il problema della classificazione delle curve delle cubiche in un trattato Enumeratio linearum tertii ordinis pubblicato all’inizio del Settecento come appendice al suo trattato sull’ottica Opticks (1704).
Newton si discosta dalla tradizione cartesiana e distingue le curve in ordini corrispondenti al grado dell’equazione:
“Geometrical lines are best divided into orders, according to the di- mensions of the equation expressing the relation between absciss and ordinate, or, which is the same thing, according to the number of points in which they can be cut by a straight line. So that a line of the first order will be a straight line; those of the second or quadratic order will be conic sections and the circle; and those of the third or cubic order will be the cubic Parabola, the Neilian Parabola, the Cissoid of the ancients, and others we are about to describe. A curve of the first genus (since straight lines are not to be reckoned among curves) is the same as a line of the second order, and a curve of the second genus is the same as a line of the third order. And a line of the infinitesimal order is one which a straight line may cut in an infinite number of points, such as the spiral, cycloid, quadratrix, and every line generated by the infinitely continued rotations of a radius.”
2.3. EULER E LE AFFINIT `A. 41
[Newton 1850 p. 7]
Nell’Enumeratio Newton divide le cubiche in 5 generi e 72 specie di cui d`a il tracciamento, inoltre enuncia un teorema di generazione per proiezione che `e alla base del raggruppamento in generi. Il trattato per`o non contiene le dimostrazioni dei risultati pi`u importanti, tra cui il teorema di generazione per proiezione. Il fatto diede luogo a delle polemiche sulla scia di quelle sorte attorno alla scoperta del calcolo differenziale.
Il problema della classificazione rimase aperto sino all’Ottocento, quando si com- plet`o la classificazione delle cubiche secondo la geometria moderna e, una volta legato il problema della classificazione alle trasformazioni, si dettero le classificazioni affini, proiettive e birazionali.
Nella Enumeratio Newton, rompendo con la tradizione cartesiana, propone come criterio di suddivisione delle curve il grado dell’equazione.
Euler affronta la divisione in ordini delle curve nel terzo capitolo del secondo volume dell’Introductio in analysin infinitorum e le principali propriet`a di ciascun ordine di curve nel quarto capitolo; la suddivisione delle curve del second’ordine in generi `e trattata nel sesto capitolo. Euler dedica alla classificazione delle curve un ampio spazio del suo trattato, nel cui diciottesimo capitolo, sono introdotte le similitudini e le affinit`a.