2.3 Euler e le affinit` a
3.0.2 La memoria di Rodrigues
Chasles riprende l’argomento del moto di un corpo rigido in alcune note dell’Aper¸cu historique [Chasles 1837], successivamente il tema `e sviluppato da Olinde Rodrigues nella memoria [Rodrigues 1840] famosa per aver anticipato i quaternioni di Hamilton
dando una legge non commutativa di composizione delle quadruple. La memoria `e studiata in dettaglio in [Gray 2005], pertanto ne evidenzier`o qui soltanto i punti salienti.
Rodrigues d`a, forse per primo, una definizione sintetica della traslazione e della rotazione di un corpo rigido basandosi sulla sola definizione di corpo rigido.
Il corpo rigido `e individuato da tre suoi punti non allineati:
“J’entends par syst`eme solide un assemblage quelconque, continu ou dis- continu, de points invariablement li´es entre eux, de telle sorte que trois de ces points ´etant donn´es de position, non en ligne droite, ainsi que leurs distances `a tous les autres points du syst`eme, la situation de ce syst`eme soit invariablement d´etermin´ee pour chaque changement de situation du triangle form´e par ces trois points ;”
[Rodrigues 1840 p. 380]
Le rotazioni del corpo si ottengono fissando due punti di una terna di punti non allineati che individua il corpo:
“Mais s’il n’y a que deux points donn´es qui doivent rester immobiles dans le syst`eme, l’invariabilit´e des distances de tout autre point `a ces deux-l`a entraˆıne d’abord l’immobilit´e de tous les points avec lesquels ils sont en ligne droite ; cette droite devient un axe fixe, autour duquel tout autre point du syst`eme ne peut que tourner dans une circonf´erence concentrique et normale `a l’axe ; et comme tous les points du syst`eme sont invariablement li´es `a l’un d’eux et `a l’axe fixe, la rotation de l’un implique la rotation de tous ; et l’amplitude de cette rotation est ´egale pour tous les points du syst`eme. Tout d´eplacement d’un solide autour de deux points fixes se r´eduit donc `a une rotation d’´egale amplitude et de mˆeme sens pour tous les points du syst`eme autour de l’axe form´e par les deux points fixes. C’est ici le lieu de remarquer que toute rotation donn´ee peut ˆetre remplac´ee par une rotation de sens oppos´e, d’une amplitude compl´ementaire de celle de la premi`ere `a 400◦.”
[Rodrigues 1840 p. 380]
Le rotazioni attorno ad uno stesso asse si compongono con una legge additiva: “Des rotations diff´erentes autour d’un mˆeme axe se composent en une rotation ´egale `a leur somme, en ayant soin d’affecter de signes contraires les amplitudes de rotation qui s’effectueraient en sens oppos´es, l’ordre de succession des rotations restant d’ailleurs arbitraire. Si l’amplitude des rotations est infiniment petite, les arcs d´ecrits par les points du solide d´eplac´e `a distance finie de l’axe, se confondent avec leurs cordes, lesquelles sont diversement inclin´ees entre elles, selon les angles des rayons men´es de l’axe aux points du syst`eme.” [Rodrigues 1840 p. 381]
Le traslazioni sono riguardate come delle rotazioni con asse normale alla direzione di traslazione e infinitamente lontano: “toute translation d’un syst`eme peut rigou- reusement ˆetre consid´er´ee comme une rotation d’une amplitude infiniment petite au
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tour d’un axe fixe infiniment ´eloign´e et normal `a la direction de cette translation.” [Rodrigues 1840 p. 381]
Sulla base di queste definizioni Rodrigues d`a una trattazione sintetica della com- posizione delle traslazioni e delle rotazioni, per ognuna delle quali vengono determi- nato l’asse e l’ampiezza.
Successivamente tratta la scomposizione di un movimento rigido qualunque in com- posizioni di rotazioni e traslazioni ritrovando i teoremi gi`a dati nella nota di Chasles. Tali scomposizioni non sono uniche.
La parte analitica `e esposta in dettaglio in [Gray 2005] e pertanto dar`o qui solo qualche accenno.
Rodrigues non d`a le formule analitiche per le rotazioni e le traslazioni ma ricava direttamente una parametrizzazione di un generico movimento rigido usando quattro parametri: l’ampiezza della rotazione del movimento rigido e gli angoli che l’asse di rotazione forma con un sistema di riferimento la cui origine `e posta sull’asse di rotazione.
Il punto di partenza `e la scomposizione dimostrata mediante la geometria pura di un moto rigido qualunque nella composizione di una rotazione attorno ad un asse e di una traslazione parallela all’asse; da questo risultato Rodrigues `e in grado di dedurre una formula analitica per il moto rigido.
Supponendo di porre l’origine degli assi nell’asse di rotazione, l’asse `e individuato dai suoi coseni direttori: siano l, m, n gli angoli formati dall’asse di rotazione e i tre assi coordinati, sia θ l’ampiezza della rotazione attorno all’asse. Rodrigues dimostra che il cambiamento di coordinate che avviene a seguito del movimento rigido d`a luogo alla seguente formula:
∆0x = 2 tan(θ 2)(Y 0cosl − Z0cosh) ∆0y = 2 tan(θ 2)(Z 0cosg − X0cosl) ∆0z = 2 tan(θ 2)(X 0cosh − Y0cosg) (3.1)
Successivamente Rodrigues passa ad esprimere la composizione di due movimenti rigidi con gli assi incidenti. Considerata come origine il punto di intersezione dei due assi siano v l’angolo formato dai due assi di rotazione, l, m, n gli angoli che individuano l’asse del primo movimento e l0, m0, n0 gli angoli che individuano l’asse del secondo movimento, θ l’ampiezza della prima rotazione e θ0 l’ampiezza della seconda rotazione. Da quanto dimostrato sinteticamente la composizione d`a luogo ad un movimento rigido il cui asse di rotazione passa per l’origine degli assi e quindi sar`a individuato dai certi parametri Θ, L, M ed N . Rodrigues perviene alle relazioni:
tan(Θ2) cos G = tan(
θ 2) cos g+tan( θ0 2) cos g 0+tan(θ 2) tan( θ0 2)(cos h cos l 0−cos l cos h0)
1−tan(θ2) tan(θ02)cosv
tan(Θ 2) cos H = tan(θ 2) cos h+tan( θ0 2) cos h 0+tan(θ 2) tan( θ0 2)(cos l cos g 0−cos g cos l0)
1−tan(θ2) tan(θ02)cosv
tan(Θ2) cos L = tan(
θ 2) cos l+tan( θ0 2) cos l 0+tan(θ 2) tan( θ0 2)(cos h cos h 0−cos h cos g0)
1−tan(θ2) tan(θ02) cos v
dalle quali deduce il valore dell’ampiezza cosΘ2 = cos(θ2) cos(θ20) e la direzione dell’asse mediante i coseni direttori cos G, cos H e cos L.
La memoria di Rodrigues `e rilevante per la descrizione sia sintetica che analitica di un movimento rigido qualunque e delle composizioni. Per le composizioni non solo individua l’importanza dell’ordine di composizione dei movimenti ma anche il fatto che l’ordine di composizione influisce sull’asse di rotazione ma non sull’ampiezza della rotazione risultante che rimane invariata.
Secondo Gray “Per`o lo scopo della memoria di Rodrigues non `e calcolare la composizione di due rotazioni, un compito relativamente semplice e non interessan- te, bens`ı quello di attirare l’attenzione sui movimenti rigidi di un corpo come un importante campo di studi.” [Gray 2005] p. 135.
Sempre secondo Gray il lavoro di Rodrigues pu`o essere considerato, a ragione della sua profondit`a, come una anticipazione del concetto di gruppo anche se rima- ne aperto il problema del collegamento dei lavori di Rodrigues e di Chasles con i successivi sviluppi.