3.1 INTRODUZIONE ALLE OPZIONI CON BARRIERA

Le opzioni con barriera sono comparse per la prima volta sul mercato statunitense verso la fine degli anni ’80, riscuotendo immediatamente grande successo tra gli investitori. Pochi anni più tardi, Rei- ner e Rubinstein (1991)1 elaborano una serie di formule per prezzare questi strumenti in un fra-

mework “à la Black e Scholes”2, e nello stesso anno il CBOE (Chicago Board Options Exchange) e

l’American Exchange quotano le prime barrier options su borse regolamentate. Negli anni successi- vi anche altri mercati iniziano a negoziare questi derivati, come ad esempio l’Australian Stock Ex- change (ASX) nell’agosto del 1998.

1 _{RUBINSTEIN, M., e REINER, E., “Breaking Down The Barriers”, Risk, (Settembre 1991), 28-35.} 2 _{Già Merton (1973) aveva fornito una serie di formule di valutazione per opzioni con barriera.}

Oggi queste opzioni sono scambiate quasi esclusivamente su mercati Over The Counter non regolamentati. Tra le rare eccezioni si possono menzionare le opzioni digitali sul VIX (Volatility In- dex), l’indice che misura la volatilità implicita delle opzioni a 30 giorni sull’indice S&P500, quotate sul CBOE. L’assenza di volumi di scambio significativi su mercati regolamentati rende difficile la raccolta dei dati necessari per lo svolgimento di analisi empiriche, volte a testare la validità e il fun- zionamento dei modelli di hedging proposti, come in precedenza nel Capitolo 2 per il caso delle op- zioni europee standard. Anche la letteratura esistente è piuttosto esigua in questo contesto, ma i con- tributi più rilevanti verranno in ogni caso esposti in seguito alla trattazione delle strategie di static replication, al termine del presente capitolo.

Esistono vari tipi di opzioni con barriera: le più semplici e conosciute (c.d. plain vanilla barrier options) sono le knock-out e knock-in calls e puts. Un esempio di knock-out è stato già introdotto in precedenza, nel Capitolo 1: la Up and Out call utilizzata per mostrare il (cattivo) funzionamento del delta hedging applicato alle barrier options a fini di copertura. Al momento dell’emissione, il sotto- stante aveva un prezzo pari a 95, mentre l’opzione aveva lo strike a 100 e una barriera (H) a 120. L’UO call è tale per cui se in qualsiasi momento antecedente alla scadenza o in T il valore di S fosse salito (“up”) fino a raggiungere H, lo strumento sarebbe cessato di esistere (“out”); altrimenti, il payoff sarebbe stato lo stesso di una plain vanilla call con caratteristiche simili. Una Up and In call (o put) è invece un’opzione che entra in vita solo se il sottostante oltrepassa la barriera dal basso ver- so l’alto. Le Down In e Down Out options invece, prevedono che l’underlying debba scendere fino ad H per far sì che lo strumento si attivi o si cancelli.

Oltre alle plain vanilla barrier options ci sono poi numerose varianti più complesse. Le pari- sian options (“opzioni parigine”) prevedono ad esempio che la barriera debba essere superata per un certo periodo di tempo minimo prima che il knock-in o il knock-out possano avere luogo. Le reverse barrier options sono opzioni con barriera plain vanilla ma caratterizzate dal fatto che la barriera sia in-the-money: una UI call con K=100 e H=120 ad esempio, qualora diventasse attiva otterrebbe istantaneamente un valore intrinseco di 20, al quale si aggiungerebbe il valore temporale. Le double- barrier options hanno di solito due barriere per il knock-in o per il knock-out, normalmente una su- periore (“up”) e una inferiore (“down”) al valore corrente di S. Si possono considerare opzioni con barriera anche le lookback (“opzioni retrospettive”) e le ratchet.

Per ciascuno degli strumenti menzionati è possibile applicare, più o meno facilmente, una serie di tecniche di copertura statica mediante calls e puts plain vanilla, che in determinate condizioni possono restituire una replica addirittura esatta del target. In generale, tali strategie garantiscono ri- sultati estremamente accurati, soprattutto in confronto agli hedge dinamici analizzati al Capitolo 1 che – come si ricorderà – fornivano performances abbastanza deludenti. Il criterio generale che gui- da la static replication di questi strumenti è comune a tutte le strategie che verranno presentate, seb- bene le varie tecniche presentino tra di loro differenze evidenti nell’approccio e nel metodo impiega- to. Il concetto di fondo che le guida è quello per cui “se due portafogli hanno uguale valore in un

Par. 3.2 Replica Statica di una Binary Option 69

certo contorno, hanno uguale valore anche in tutti i punti al suo interno”3. Questo enunciato si rive-

lerà essere il principio essenziale alla base di ciascun metodo di replica statica che verrà proposto nel presente capitolo. In altre parole, sarà sufficiente costruire il portafoglio di copertura facendo in mo- do che assuma lo stesso valore dell’opzione target in certe condizioni per garantire che, in assenza di opportunità di arbitraggio, il valore dei due strumenti coincida sempre, per ogni livello di S e t. L’applicazione del criterio proposto fa sì che, nella maggior parte dei casi, una replica esatta richieda – come già si è visto per le opzioni plain vanilla esaminate al Capitolo 2 – la negoziazione di un con- tinuum di opzioni di copertura: approssimare questa quantità infinita ad un numero finito genera un hedging error, che rimane comunque accettabile, soprattutto se messo a confronto con i risultati ot- tenuti dalle repliche dinamiche, discussi in precedenza.

I portafogli di copertura creati attraverso le strategie di static replication saranno sempre for- mati da opzioni calls e/o puts europee plain vanilla, mentre i criteri di composizione e gli strumenti da includere cambiano a seconda del modello a cui si fa riferimento.

Le opzioni con barriera costituiscono, in ultima analisi, la vera ragione per la quale nasce l’esigenza di formulare nuovi e più efficaci metodi di replica, metodi che possano adattarsi meglio alle caratteristiche di questi strumenti rispetto a quanto non fosse in grado di fare il delta hedging proposto da Merton nel 1973. Per tale motivo, la letteratura relativa alle tecniche di copertura statica di barrier options è decisamente più ricca rispetto a quella riguardante le plain vanilla options. L’obiettivo del Capitolo 3 sarà, in sintesi, quello di fornire un’analisi esaustiva e dettagliata dei prin- cipali contributi e lavori sull’argomento, cercando come in precedenza di mostrare esempi pratici e applicati delle strategie presentate e – laddove possibile – proporre delle estensioni o delle ottimizza- zioni, nel tentativo di suggerire miglioramenti e avanzamenti per lo studio delle tecniche in esame.