3.2 REPLICA STATICA DI UNA BINARY OPTION

Le opzioni binarie (binary options), chiamate anche opzioni digitali (digital options), sono senza dubbio alcune tra le più semplici opzioni con barriera esistenti. Il payoff di una binary call, ad esem- pio, è strutturato in modo che al portatore venga pagato un ammontare fisso pari a 1 se S si trova ol- tre la barriera a scadenza, e 0 altrimenti: il nome deriva proprio da questa particolare struttura di pa- gamento, che ricorda quella del codice binario.

Il prezzo di una binary call si può calcolare in maniera estremamente intuitiva, ed in base alla valutazione neutrale al rischio si dimostra essere pari a:

BCt=e-r(T-t)N(d2) (3.1)

dove,

d2=

ln(S H⁄ ) +(r- σ2_{⁄ )T2}

σ√T

mentre N(.) è la funzione di distribuzione di una variabile normale standard. In questo caso, si assu- me che il titolo sottostante non paghi dividendi. Il prezzo della call binaria equivale in altri termini alla probabilità risk-neutral che ST>H, ovvero che l’underlying asset abbia oltrepassato la barriera alla scadenza, attualizzata al tempo t.

Le digitals possono essere replicate in maniera approssimativamente esatta tramite spread ver- ticali. Gli spread verticali sono strategie in opzioni plain vanilla (calls o puts) che prevedono l’acquisto e la vendita simultanei di due strumenti dello stesso tipo, con lo stesso sottostante e stessa scadenza ma diverso prezzo d’esercizio. Un bull call spread per esempio, prevede l’acquisto di una

call con strike pari a K1 e la vendita di una call con strike pari a K2, con K1<K2. Acquistando una cer-

ta quantità α del vertical call spread appena descritto, è possibile ottenere una replica quasi esatta della call digitale. La Figura 3.1 mette a confronto i payoffs dello strumento target con quello della strategia.

Figura 3.1 Payoffs a scadenza di una Binary Call e di un Vertical Call Spread al variare di S.

Nell’esempio mostrato in Figura 3.1, K1=90, H=100 e K2=110. Il vertical call spread dà luogo, per valori di S maggiori di K2, ad un pagamento pari a α(K2-K1). Per replicare il payoff della binary call in quell’intervallo (=1), la quantità α di spread da acquistare risulta uguale in questo caso a 0,05. Si nota facilmente che per migliorare il match tra lo strumento target e la strategia sarebbe necessario ridurre la distanza tra i prezzi d’esercizio delle due calls che formano lo spread. Così facendo però, α aumenterebbe rapidamente: se ad esempio si imponesse K1=99 e K2=101, α risulterebbe pari a 0,5, ovvero 10 volte maggiore rispetto al caso precedente. In presenza di costi di transazione una tale si-

Binary Call Vertical Call Spread

Prezzo del sottostante, S Payoff H K₁ K2 α(K2-K1)=1

Par. 3.2 Replica Statica di una Binary Option 71

tuazione potrebbe creare problemi all’hedger, che si trova davanti ad un trade-off: riducendo ΔK aumenta la precisione della replica ma cresce anche la quantità di calls da acquistare e vendere per costruire lo spread. Al limite, per ΔK→0 (K1=K=K2) si ottiene α=∞, chiaramente una situazione ir- realizzabile, anche senza tenere in considerazione il costo che l’attuazione della strategia comporte- rebbe.

La replica statica tramite vertical spread può essere facilmente estesa anche al caso di binary puts, sostituendo il bull call spread con un bear call o put spread. Questa tecnica di copertura per le op- zioni digitali è talmente semplice ed efficace da mettere in pratica che spesso i traders che vendono gli strumenti in questione ai propri clienti li prezzano e li gestiscono proprio come se fossero degli spreads, ad insaputa delle loro controparti, per le quali in realtà tale aspetto non è realmente impor- tante, mentre lo è invece per l’hedger in un’ottica di risk management della propria esposizione. Il prezzo richiesto al cliente quindi, deriva in realtà da un over-hedge dell’opzione digitale, costruito in maniera del tutto analoga a quanto visto in precedenza ma con la differenza che K2 viene posto sullo stesso livello di H. Graficamente, si ottiene un payoff come quello mostrato nella Figura 3.2.

Figura 3.2 Payoffs a scadenza di una Binary Call e di un Vertical Call Spread al variare di S, con K2=H.

Si vede facilmente che il payoff a scadenza del nuovo vertical call spread è sempre uperiore o ugua- le a quello della binary call, per qualsiasi valore del sottostante. La quantità α risulta pari a 0,1 e consente di costruire una replica per l’opzione target tale per cui il portafoglio di copertura, compo- sto da una long position in α plain vanilla calls con K1=90 e una short position in α plain vanilla

calls con K2=H=100, dovrà avere – in assenza di opportunità di arbitraggio – un valore mai inferiore

all’opzione digitale target (over-hedge).

Binary Call Vertical Call Spread

Prezzo del sottostante, S Payoff

K₁ K2=H

BVZ Options

Il CBOE quota alcune opzioni binarie di tipo call e put a breve scadenza, scritte sull’indice VIX. Il ticker identificativo per queste opzioni è BVZ. Le VIX Options sono invece le plain vanilla calls e puts scritte sul VIX, e sono disponibili anche per scadenze più lunghe. L’esistenza di prezzi quotati per questi strumenti consente di effettuare una verifica di quanto appena discusso; in particolare, co- struendo uno spread verticale con opzioni plain vanilla è interessante cercare di capire se la condi- zione di non arbitraggio riscontrata poco fa – e rappresentata graficamente in Figura 3.2 – venga ri- spettata. Ciò che ci si aspetta di osservare è che il costo di acquisto (ask) di una call digitale con una certa barriera H sia minore del costo di uno spread costruito acquistando (ask) una plain vanilla call con K1>H e vendendo (bid) una plain vanilla call con K2=H. In altri termini, riproducendo la struttu- ra proposta in Figura 3.2 si dovrebbe osservare una relazione tra la binary call e lo spread tale per cui il prezzo della prima sia sempre inferiore al prezzo del secondo, dato che il payoff di quest’ultimo domina il payoff dell’opzione digitale.

Binary Call Plain Vanilla Call

Prezzo d’esercizio Bid Ask Bid Ask Long Binary Long Vertical

Call Spread Delta

10 0,9 1 5,7 5,9 1 11 0,85 0,97 4,7 4,9 0,97 1,20 0,23 12 0,74 0,86 3,9 4,1 0,86 1,00 0,14 13 0,53 0,68 3,2 3,4 0,68 0,90 0,22 14 0,39 0,54 2,7 2,85 0,54 0,70 0,16 15 0,3 0,45 2,3 2,4 0,45 0,55 0,10 16 0,23 0,35 2 2,1 0,35 0,40 0,05 17 0,18 0,3 1,7 1,85 0,30 0,40 0,10 18 0,14 0,26 1,5 1,6 0,26 0,35 0,09 19 0,1 0,22 1,3 1,4 0,22 0,30 0,08 20 0,1 0,22 1,15 1,25 0,22 0,25 0,03 21 0,09 0,22 1 1,15 0,22 0,25 0,03 22 0,06 0,16 0,9 1 0,16 0,25 0,09 23 0,04 0,14 0,8 0,9 0,14 0,20 0,06 24 0,03 0,13 0,75 0,8 0,13 0,15 0,02 25 0 0,12 0,65 0,75 0,12 0,15 0,03

Tabella 3.1 Quotazioni di calls plain vanilla e digitali dal sito del CBOE al 12 gennaio 2017.

Pertanto, dal sito del CBOE sono stati ottenuti i dati relativi alle quotazioni di BVZ e VIX Options alla chiusura dei mercati il 12 gennaio 2017, quando il sottostante (VIX Index) quotava a 11,54. La Tabella 3.1 mostra alcune quotazioni dei prezzi bid e ask per gli strumenti in esame con scadenza 22 marzo 2017 ed una serie di prezzi d’esercizio che vanno da 10 a 25. Le ultime colonne sulla destra mostrano il costo di acquisto di una binary call e di uno spread con le caratteristiche appena discus-

Par. 3.3 Maturity-Spread Approach 73

se, e viene proposto anche il delta tra i due valori. La colonna dei delta è calcolata come semplice differenza tra la penultima e la terzultima colonna: ci si aspetta quindi di osservare un valore sempre positivo, come in effetti si può riscontrare per ognuno dei casi osservabili. In alcune situazioni il Δ tra i due strumenti è molto ridotto e addirittura quasi nullo, soprattutto per le opzioni out-of-the- money, confermando l’idea che spesso nella pratica le opzioni digitali tendono ad essere trattate alla stregua di spreads verticali.