alla direzione z; sebbene l’operazione duri pochi secondi, la taglia della popolazione di mo- delli scelta e il numero di iterazioni richiesto fanno si che il termine influisca maggiormente sulle tempistiche per l’intera inversione. L’onere computazionale della funzione oggetto con il termine di smoothness è riportato in tabella (4.1).
4.2
Inversioni Wavelet e Modello Elastico
In questa sezione vengono mostrati i risultati ottenuti dall’inversione congiunta di modello elastico e forma d’onda sorgente assunta incognita. Da quanto detto precedentemente risulta chiaro che un termine che pesi la norma euclidea fra dato predetto e dato osservato (L(d)) produce un risultato che si può ritenere affidabile. Inserire un termine che pesi la distanza fra modello predetto e modello a priori (L(m)) comporta dover definire un peso; la scelta di normalizzare il termine di regolarizzazione sui modelli con un peso γ = 10−3 risulterebbe in questo caso controproducente per la stima dei quattro parametri incogniti β, che inevita- bilmente risulterebbero sottostimati. La presenza di un termine di regolarizzazione smooth, d’altro canto, incide maggiormente sul tempo di calcolo del forward e richiederebbe di definire un parametro di trade-off adeguato senza produrre notevoli differenze nei risultati.
Parametri Inversione Wavelet
Proprietà (β) Valore scelto Modello Centrale Range
Ampiezza (a) 2 2 0 • 4
Skewness (s) 0 0 −1 • +1
Dilatazione Temporale (ν) 0.0113 (fp= 20[Hz]) 0.015 −0.1345 • 0.1645
Ordine Polinomiale (N ) 1 3 1 • 5
Tempo di Calcolo ∼70 ± 3 ore
Tabella 4.3: In tabella i valori scelti per generare la forma dell’ondina sorgente per il forward, i range scelti e il valore relativo al modello centrale.
Per questi motivi l’approccio utilizzato finora subisce una modifica: verrà considerata una funzione oggetto che pesi sempre la distanza fra dato predetto e dato osservato in combina- zione con un termine di regolarizzazione che minimizzi la norma sul modello predetto, inteso però come costituito dai soli parametri β riferiti all’ondina sorgente predetta. In questo mo- do non si rende più necessario dover scegliere un parametro di normalizzazione sui modelli, o definire un φ di trade-off per il termine sui modelli smooth. Essendo la forma d’onda sorgente un’incognita predetta dal problema si è resa necessaria una modifica al forward mo- delling per garantire che l’ondina parametrizzata stimata in un’iterazione venisse utilizzata per generare il forward dell’iterazione successiva; per questo motivo il tempo di calcolo sul forward, e quindi il tempo complessivo dell’inversione, sarà incrementato. Sono state distinte due diverse procedure di inversione. In una prima fase è stata utilizzata la sola norma sul
52 CAPITOLO 4. FULL WAVEFORM modello predetto, studiando l’influenza di pesi di varia entità sul termine di regolarizzazione; in una seconda fase è stato invece inserito un modello a priori contenente i parametri richiesti per generare l’ondina corretta.
0 0.05 0.1 0.15
Time [s]
-0.5 0 0.5
1 Ondina Sorgente Spettro di Ampiezza Ondina Sorgente
0 50 100 150 Frequency [Hz] 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Amplitude
Figura 4.10: Forma d’onda sorgente generata con i valori scelti per i singoli parametri di β. Lo spettro conferma la frequenza di picco a 20 Hz.
In tabella (4.3) sono stati inseriti i valori scelti per i singoli parametri utili per l’ondina parametrica, il modello centrale e i range di ricerca sempre relativi alla forma d’onda sorgen- te. I range di ricerca per la stima del modello elastico predetto rimangono invariati rispetto a quanto riportato in tabella (4.1). I valori inseriti nel modello centrale per la forma d’onda corrispondono ai rispettivi valori centrali del range scelto ma non a quelli richiesti, come ad esempio il parametro N. I range sono invece stati volutamente scelti ampi per studiare la convergenza sui singoli valori. In particolar modo i limiti del parametro relativo alla dila-
0 1 2 3 4 Vals 0 0.5 1 Prob. Distr. Distribuzione Ampiezza 0 0.5 1 Vals 0 0.5 1 Prob. Distr. Distribuzione Skewness 0 0.05 0.1 0.15 Vals 0 0.5 1 Prob. Distr. Distribuzione 0 1 2 3 4 5 Vals 0 0.5 1 Prob. Distr. Distribuzione Ordine N
Figura 4.11: I valori di varianza associati alle distribuzioni gaussiane che pesano i valori relativi a β.
tazione temporale (ν) che comprendono valori negativi sono certamente irrealistici; bisogna però tener presente che i valori relativi a frequenze di picco maggiori si trovano intorno allo zero e che i limiti richiesti devono essere simmetrici. Il rischio di convergenza verso valori
4.2. INVERSIONI WAVELET E MODELLO ELASTICO 53 negativi viene mitigato attraverso l’applicazione di una matrice di covarianza contenente le varianze relative ai quattro parametri (fig.4.11).
Inversione 1 - Norma sui modelli
L= L(d) + L(m) = ||dOBS− dP RE||2+ q
(m(β)TC−1 M m(β))
Occorre tener presente che nel contesto in cui la forma d’onda è incognita una procedura di inversione guidata solo dal data misfit fra dato predetto e dato osservato non è in grado di definire una forma d’onda valida, il processo di ottimizzazione restituisce solo valori scelti casualmente all’interno dei range. Per questo motivo è necessario che la funzione oggetto sia una combinazione tra il termine di regolarizzazione sul dato e il termine di regolarizzazione sul modello. In particolare il termine di regolarizzazione è costituito dalla norma 2 di mβ, quella porzione del modello predetto (eq.2.5) relativa ai parametri β. Quindi la funzione oggetto qui presentata non pesa direttamente l’intero modello elastico predetto, che di conseguenza mostra un netto peggioramento di risoluzione (fig.4.13) rispetto ai precedenti risultati. La matrice di covarianza CM contiene le informazioni riguardo le varianze dei singoli parametri (fig.4.11). 0 0.05 0.1 0.15 Time [s] -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Amplitude
Confronto Ondina Predetta
Ondina Predetta Ondina di Partenza 0 50 100 150 Frequency [Hz] 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Confronto Spettri
Figura 4.12: A sinistra la sovrapposizione dell’ondina di partenza (in rosso) sull’ondina predetta (in blu), entrambe nel dominio dei tempi; a destra invece la sovrapposizione dei rispettivi spettri di ampiezza.
I risultati ottenuti per mezzo della funzione oggetto non sono affidabili; l’ondina predetta si mostra lievemente anticipata, asimmetrica, inoltre presenta vari lobi laterali sintomo di un valore relativo all’ordine polinomiale troppo elevato. L’ampiezza e la dilatazione temporale sono invece decrementate, anche se questo sembra non riflettersi particolarmente sul conte- nuto in frequenza dello spettro di ampiezza. La frequenza di picco dell’ondina predetta è pari a fp ≈23 [Hz]. La variazione dei parametri a seguito del processo di ottimizzazione porta alla genesi di varie forme d’onda che non presentano le caratteristiche ricercate, in particolar modo durante le prima iterazioni del processo di inversione. Ciò si riflette in maniera consi- stente sulla risoluzione del modello predetto e quindi sulla stima del dato predetto (fig.4.14a).
54 CAPITOLO 4. FULL WAVEFORM V P 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 450 500 550 600 650 700 750 800 V S 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 200 250 300 350 400 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Figura 4.13: Il modello elastico predetto risultante è errato, la VS, pur essendo il parametro più illuminato, peggiora rispetto ai precedenti esempi.
Dalle inversioni intensive avviate ciò sembra mitigato in parte proprio dalla parametrizza- zione scelta e dai range associati, poiché la forma d’onda sorgente predetta mostra sempre le caratteristiche di un’ondina di Ricker. In particolar modo una maggiore attenzione è stata posta sui parametri di ampiezza e frequenza di picco. In questo contesto è stato preso in considerazione l’uso di un fattore di normalizzazione sul termine di regolarizzazione, ma non ha comportato risultati significativi.
(a) In figura il dato predetto generato dall’ondina sorgente incognita.
(b) I residui derivati dal confronto fra dato predetto e dato osservato, in questo caso rappresentati grazie ad un fattore di gain pari ad 800, definiscono le porzioni di dato predetto con maggiore errore.
4.2. INVERSIONI WAVELET E MODELLO ELASTICO 55 Inversione 2 - Effetti del modello a priori
L= L(d) + L(m) = ||dOBS− dP RE||2+ ||m(β)P RE− m(β)P RIOR||2
I risultati ottenuti dalla precedente inversione rendono necessario l’utilizzo di un modello a priori all’interno del termine di regolarizzazione sui modelli; la mancata convergenza verso una forma d’onda accettabile produce una stima erronea del dato predetto e, di conseguenza, un modello predetto poco accurato. Il modello a priori fissato corrisponde ai valori scelti per le singole proprietà che costituiscono la parametrizzazione (tabella4.1) della forma d’onda di partenza. Anche in questo caso si farà uso della matrice di covarianza CM. Benché scegliere di usare un modello a priori pari all’ondina di partenza possa sembrare una scelta forte, in un’analisi reale parametri come ampiezza e distorsione richieste potrebbero essere stimati a partire dal dato iniziale [CM14]; [YL13]. In seguito potrebbero essere implementati al- l’interno del termine di regolarizzazione attraverso la parametrizzazione proposta. Anche la dilatazione temporale potrebbe essere stimata attraverso lo spettro d’ampiezza della stessa ondina stimata a partire dal dato osservato. In una situazione reale di analisi di dati reali caratteristiche come la frequenza di picco potrebbero essere note o scelte da chi ha raccolto il dato. L’ondina predetta dalla procedura di inversione si sovrappone perfettamente al-
0 0.05 0.1 0.15 Time [s] -0.5 0 0.5 1 Amplitude
Confronto Ondina Predetta
Ondina Predetta Ondina di Partenza 0 50 100 150 Frequency [Hz] 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Confronto Spettri
Figura 4.15: L’ondina predetta è perfettamente sovrapposta all’ondina di partenza (a sinistra), anche il contenuto in frequenza è perfettamente replicato (a destra).
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Numero Iterazioni 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Errore (d Td+m Tm)
Figura 4.16: In figura viene mostrata la funzione errore in seguito all’applicazione del termine di regolarizzazione sui modelli.
56 CAPITOLO 4. FULL WAVEFORM V P 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 620 640 660 680 700 720 740 V S 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 200 250 300 350 400 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 1400 1450 1500 1550 1600
Figura 4.17: Il modello predetto a seguito dell’introduzione di un modello a priori mostra una risoluzione migliore sulle VS.
l’ondina sorgente di partenza utilizzata per il dato osservato. Anche lo spettro di ampiezza dell’ondina predetta presenta identico contenuto in frequenza. Inoltre il modello predetto (fig.4.17) mostra una migliore risoluzione sulle VS rispetto alla precedente inversione; ri- cordiamo che poiché il software inverte le onde S i restanti parametri del modello elastico risulteranno modestamente illuminati. É altrettanto evidente che considerare un modello a priori vincoli molto la convergenza.
Successivamente ci si è chiesti quanto la scelta del modello a priori fosse in grado di vei-
(a) In figura il dato predetto generato dall’ondina sorgente incognita.
(b) I residui derivati dal confronto fra dato predetto e dato osservato, anche in questo caso sono rappresentati grazie per un fattore di gain pari ad 800.
4.2. INVERSIONI WAVELET E MODELLO ELASTICO 57 colare l’inversione, in particolare quanto un modello a priori deliberatamente errato possa influire sul risultato. Il modello a priori è stato dunque modificato incrementando notevol- mente i parametri relativi all’ampiezza della forma d’onda (a) e la distorsione (s). L’ondina associata al modello a priori è quindi errata poiché lievemente ritardata nel tempo, l’am- piezza del picco centrale non è più unitaria rispetto alla forma d’onda sorgente utilizzata in partenza sul dato osservato.
Modello a priori
Proprietà Valori Ondina Sorgente
Ampiezza (a) 3 2
Skewness (s) 0.15 0
Dilatazione temporale (ν) 0.0113 0.0113
Ordine polinomiale (N) 1 1
Tabella 4.4: In tabella vengono riportati i valori che aggiornano il modello a priori, con Ampiezza e Skewness volutamente errati. A destra invece sono riportati nuovamente i valori associati alla forma d’onda sorgente di partenza.
Il risultato prodotto dall’inversione (fig.4.19) corrisponde alla forma d’onda associata al mo- dello a priori errato. Di conseguenza la forma d’onda predetta è anch’essa errata. Il modello a priori all’interno del parametro di regolarizzazione si conferma una scelta forte sul risul- tato complessivo dell’inversione, come già citato da vari autori [ABT05]. In questo caso la convergenza verso i valori ricercati per la forma d’onda predetta avviene in anticipo rispetto alle precedenti inversioni mostrate, entro le prime 20-30 iterazioni.
0 0.05 0.1 0.15 Time [s] -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Amplitude
Confronto Ondina Predetta
Ondina Predetta Ondina di Partenza 0 50 100 150 Frequency [Hz] 0 100 200 300 400 500 600 700 Confronto Spettri
Figura 4.19: L’ondina predetta con modello a priori errato non si sovrappone all’ondina di partenza (a sinistra) e mostra un’ampiezza maggiore e una maggiore distorsione; di conseguenza il contenuto in frequenza dello spettro di ampiezza (a destra) risente della variazione di ampiezza della forma d’onda.
58 CAPITOLO 4. FULL WAVEFORM V P 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 640 660 680 700 720 740 760 V S 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 200 250 300 350 400 450 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650
Figura 4.20: Modello elastico predetto attraverso la funzione oggetto con modello a priori errato. Il modello elastico predetto mostra minore risoluzione.
A risentirne maggiormente è ancora una volta l’accuratezza e la risoluzione del modello predetto; ciò conferma come una stima errata del modello a priori inserito nella funzione oggetto comporti una perdita di risoluzione nel modello predetto rispetto alla procedura di inversione con modello a priori corretto.
4.2.1
Influenza del rumore
Nell’ultima sezione proposta viene studiata l’influenza del noise che contamina il dato sismico osservato. In particolare ci si chiede quale possa essere l’influenza di un rumore gaussiano noto sulla convergenza dei processi di ottimizzazione con funzione oggetto dipendente dal modello a priori ricercato. Altri autori [Vig+18] hanno analizzato l’influenza del dato osservato contaminato da noise random con rapporto segnale rumore (Signal Noise Ratio) crescente. In questo lavoro di tesi si fa riferimento al rapporto segnale rumore inteso come rapporto fra le potenze, e dunque le ampiezze, rispettivamente del segnale (dOBS) e del rumore.
SN R[dB] = Psignal Pnoise = P A2 signal P A2 noise
Quindi sono state calcolate tre componenti di rumore differenti per studiare in tutto tre casi con SNR[dB] = (2, 5, 10). In base alla letteratura consultata ci si aspetta di ottenere discreti risultati con alti rapporti di segnale-rumore, che potrebbero migliorare la convergenza su dato e modello predetto, sempre inteso come m(β).
SNR = 2 In figura (4.21) viene presentato il dato con SNR = 2[db], la componente di rumore in esso presente contamina fortemente le ampiezze del segnale utile che appaiono ridotte. Le procedure di inversione avviate in funzione del dato osservato così strutturato non hanno portato ad alcun risultato; quel che si nota è un fortissimo incremento nei tempi di costruzione del forward. In particolare se la forma d’onda sorgente costituisce un’incognita del problema, l’algoritmo di ottimizzazione converge verso forme d’onda ad ampiezza quasi nulla e il dato predetto viene fortemente compromesso. Anche il modello predetto risulta quindi fortemente compromesso, la VS predetta è errata. Nelle inversioni in cui la forma d’onda sorgente viene assunta nota si riscontrano invece problemi di convergenza numerica nel forward modelling. Di conseguenza il caso con basso rapporto segnale-rumore è stato scartato per concentrarsi su rapporti più ragionevoli.
4.2. INVERSIONI WAVELET E MODELLO ELASTICO 59
Figura 4.21: In figura il dato osservato dOBS contaminato da una componente di rumore gaussiano. Il rapporto segnale rumore è SN R = 2. Come si può vedere il rumore attenua molto le ampiezze utili del dato osservato. Si ricorda che le tracce mancanti sono dovute all’applicazione di una maschera di muting sulle tracce contaminate dall’effetto in corrispondenza della sorgente.
Figura 4.22: In figura il dato osservato dOBS contaminato da una componente di rumore gaussiano con rapporto segnale rumore pari a SN R = 5. Benché il rumore attenui le ampiezze utili, il dato osservato risulta ben distinguibile.
SNR = 5 La figura (4.22) mostra il dato di partenza con SNR = 5 [dB]; il rapporto scelto è più realistico, le ampiezze del dato osservato sono maggiormente individuabili all’interno del sismogramma. L’inversione con ondina incognita in questo caso non incontra problemi e produce un risultato coerente. L’ondina predetta (fig.4.24a) e relativi parametri di β,
60 CAPITOLO 4. FULL WAVEFORM convergono verso il risultato finale entro 150-200 iterazioni a causa dell’influenza del rumore sul dato predetto. Quest’ultimo è compatibile con il dato osservato esente da rumore. In figura (4.25a) e (4.25b) viene mostrato il dato predetto e i relativi residui rispetto al dato osservato. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Numero Iterazioni 14 15 16 17 18 19 20 Errore (d Td+m Tm) Curva di Errore
Figura 4.23: La figura mostra l’andamento del misfit globale a partire da un dato osservato con
SN R = 5. La convergenza verso valori accettabili per la forma d’onda sorgente avviene oltre la
metà delle iterazioni totali.
0 0.05 0.1 0.15 Time [s] -0.5 0 0.5 1 Amplitude
Confronto Ondina Predetta
Ondina Predetta Ondina di Partenza 0 50 100 150 Frequency [Hz] 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Confronto Spettri
(a) L’ondina predetta non è dissimile dall’ondina di partenza utilizzata per il dato predetto con SN R = 5.
Risulta essere lievemente distorta e più breve; ne consegue una frequenza di picco anticipata (fp= 16[Hz]).
V P 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 550 600 650 700 750 V S 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 200 250 300 350 400 450 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650
(b) Il modello elastico predetto mostra un peggioramento di risoluzione imputabile alla componente di rumore.
Figura 4.24
Il modello elastico predetto (fig.4.24b) viene in parte sottostimato, il parametro VS mostra solo parzialmente la geometria del modello iniziale. Tenendo presente che la funzione oggetto non pesa i parametri del modello elastico, l’effetto del rumore si traduce sempre in scarsa risoluzione anche sui parametri maggiormente illuminati come la VS. Nonostante la forma
4.2. INVERSIONI WAVELET E MODELLO ELASTICO 61 d’onda predetta sia quella effettivamente ricercata l’errore sul modello elastico predetto inficia il dato predetto, come viene mostrato in figura (4.25b).
(a) In figura il dato predetto dP REa partire dal dato osservato contaminato da una componente di rumore
gaussiano con rapporto segnale rumore pari a SN R = 5.
(b) In alto i residui risultanti dal confronto fra il dato osservato ed il dato predetto, rappresentati in questo caso con un gain pari a 800.
Figura 4.25
SNR = 10 Infine il caso col maggior rapporto segnale rumore pari a SNR = 10 [dB]. In questo caso non si riscontrano problemi nel procedere dell’inversione, l’algoritmo riesce bene a ricostruire il forward. La presenza di rumore (fig.4.26) non interferisce con la stima dei parametri dell’ondina predetta, sintomo del fatto che la componente di rumore non influisce direttamente sulla stima. Ciò conferma ulteriormente la forza dell’assunzione del modello centrale in accordo però con una maggiore stabilità della procedura di inversione proposta. L’ondina predetta (fig.4.27a) risultante è perfettamente sovrapponibile con la forma d’onda di partenza; di conseguenza il dato predetto (fig.4.28a) è praticamente esatto. Il modello
62 CAPITOLO 4. FULL WAVEFORM
Figura 4.26: In figura il dato osservato dOBS contaminato da una componente di rumore gaussiano con rapporto segnale rumore pari a SN R = 10. Un rapporto segnale-rumore elevato non inficia la qualità del dato sismico.
0 0.05 0.1 0.15 Time [s] -0.5 0 0.5 1 Amplitude
Confronto Ondina Predetta
Ondina Predetta Ondina di Partenza 0 50 100 150 Frequency [Hz] 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Confronto Spettri
(a) L’ondina predetta non è dissimile dall’ondina di partenza, a cui si sovrappone perfettamente. La procedura
predice bene anche la frequenza di picco di partenza (fp= 20[Hz]).
V P 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 650 660 670 680 690 700 710 720 730 V S 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 200 250 300 350 400 0 10 20 30 x [m] 0 2 4 6 8 10 z [m] 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600
(b) Il modello elastico predetto per il dato con SN R = 10 mostra invece una buona risoluzione sul parametro
maggiormente illuminato VS.
4.2. INVERSIONI WAVELET E MODELLO ELASTICO 63 predetto (fig.4.27b) mostra maggiore risoluzione sulla VS rispetto al caso precedente con SN R = 5. Ne consegue che in presenza di un modello a priori corretto all’interno della funzione oggetto e un alto rapporto SNR la procedura converge verso un modello elastico predetto con accettabile risoluzione, una forma d’onda sorgente che rispetta le condizioni poste in partenza, e di conseguenza un dato predetto corretto.
(a) In figura il dato predetto dP REa partire dal dato osservato contaminato da una componente di rumore
gaussiano con rapporto segnale rumore pari a SN R = 10.
(b) In alto i residui risultanti dal confronto fra il dato osservato ed il dato predetto sono pressoché nulli, sempre rappresentati con un gain pari a 800.
Capitolo 5
Conclusioni
In questo capitolo conclusivo verranno discussi i risultati ottenuti in relazione agli obiettivi preposti inizialmente. Lo scopo primario di questo lavoro è stato quello di valutare la fat- tibilità di procedure di inversione effettuando una stima del modello del sottosuolo, inteso sempre qui come modello elastico di VP, VS, ρ, congiunta con la stima della forma d’onda sorgente. Per trattare la stima della forma d’onda sorgente si è fatto ricorso ad una para- metrizzazione dell’ondina di Ricker basata su quattro principali parametri: l’ampiezza della forma d’onda, la distorsione intorno al picco centrale, la dilatazione temporale e l’ordine polinomiale. Difatti la parametrizzazione proposta rappresenta l’ondina di Ricker attraverso i polinomi di Hermite; il numero di lobi della forma d’onda dipende dall’ordine di approssi- mazione dei polinomi. I due problemi affrontati, l’inversione di tipo AVA e l’inversione Full Waveform, pur avendo diversa natura sono accomunati dall’essere entrambi malcondizionati e non lineari. Entrambi sono stati dunque affrontati tramite ottimizzazione globale attraver- so gli Algoritmi Genetici. Come più volte è stato sottolineato all’interno del lavoro di tesi il malcondizionamento è presente in entrambi i problemi poiché più modelli del sottosuolo fittano egualmente il dato sismico osservato. Per mitigare il malcondizionamento è stata pro- posta una funzione oggetto che include diversi termini di regolarizzazione. Oltre alla norma L2 sul dato, probabilmente l’approccio più noto nelle procedure di inversione, è presente un termine di regolarizzazione sui modelli che dipende dalla distanza fra il modello predetto e un modello a priori scelto, e un termine di regolarizzazione smooth. L’ottimizzazione eseguita dagli Algoritmi Genetici considera quindi la funzione errore come combinazione lineare dei termini di regolarizzazione impiegati.
Le inversioni di tipo Amplitude versus Angle affrontate risultano essere particolarmente affette da malcondizionamento. Il forward considerato approssima solo il coefficiente di rifles- sione primario per le onde P applicando il sistema di equazioni di Zoeppritz; di conseguenza il parametro del modello elastico maggiormente illuminato è la VP. Se si considera una funzione oggetto che pesi esclusivamente la differenza fra dato predetto e dato osservato la procedura predice bene il dato predetto, il modello invece non è affidabile poiché si concentra intorno a proprietà medie non rappresentative del modello di well-log di partenza. Includendo il termi-
66 CAPITOLO 5. CONCLUSIONI ne di regolarizzazione sui modelli, che tiene conto della norma euclidea fra modello predetto