Nel cap.11 abbiamo studiato il campo elettrostatico, cioè il campo elet- trico generato da cariche in quiete e che quindi si mantiene costante nel tempo. Nel precedente capitolo si è visto che un campo magnetico è genera- to da una corrente elettrica, che è costituita da cariche in movimento, op- pure da un magnete permanente; se le correnti sono stazionarie (cioè non cambiano nel tempo) e sono fermi i magneti, il campo prodotto si mantiene costante (campo magnetostatico)..
Se le condizioni di stazionarietà non sono rispettate, compare una nuova fenomenologia. Sperimentalmente si possono fare le seguenti osser- vazioni:
• Una spira conduttrice è posta in un campo magnetico. Spostando la sorgente che
genera il campo (che può essere indifferentemente un magnete permanente o un conduttore percorso da corrente), si osserva il passaggio di una corrente nella spi- ra.
• Una spira conduttrice è posta in un campo magnetico. Spostando la spira, si può os-
servare in essa il passaggio di una corrente.
• Due spire conduttrici sono poste una vicina all’altra. Facciamo circolare in una di
esse una corrente variabile nel tempo; si osserverà il passaggio di una corrente nell’altra.
Queste fenomenologie non sono immediatamente spiegabili con quanto è stato detto finora. Per arrivare a comprenderle occorre che ci do- tiamo degli strumenti idonei, analizzando il concetto di flusso del campo magnetico e di flusso concatenato con una spira.
15.1 Il flusso del campo magnetico
Definiamo il flusso del vettore campo magnetico attraverso una su- perficie A, analogamente a quanto si è fatto quando abbiamo definito nel § 11.4 il flusso del campo elettrico con la formula [11.9]. Si suddivide la su- perficie A in tante piccole porzioni !Ai. Indicando con B ! i il valore del campo
magnetico su tale elemento di superficie e con !A ! i il vettore uguale in mo- dulo all’area !Ai e diretto ortogonalmente all’elemento di superficie, si defi-
nisce flusso del campo magnetico attraverso la superficie A come:
!A( ! B )= B ! i" #A ! i i
$
,Nicolò Beverini
118
ovvero, passando al limite per !Ai ' 0 :
[15.1] !A( ! B )= B!" dA! A
#
Nel sistema internazionale l’unità di misura di flusso magnetico, de- finita tramite la [15.1], è denominata weber (Wb):
1 Wb = 1 T "1 m
Quando nel § 11.5 si era applicato il teorema di Gauss al campo elet- trico, avevamo considerato un volume di spazio V, delimitato da una super- ficie chiusa A, e si era trovato che il flusso del vettore campo elettrico attra- verso tale superficie era proporzionale alla carica complessiva contenuta nel volume V. Il teorema di Gauss si applica anche al campo magnetico; siccome però, com’è noto, non esistono cariche magnetiche isolate, se ne deducie che:
TEOREMA DI GAUSS PER IL CAMPO MAGNETICO: Il flusso del vettore B attraverso !
una qualunque superficie chiusa è sempre nullo.
15.2 Il flusso concatenato con una spira
Si abbia una spira conduttrice (cioè un filo conduttore chiuso ad a- nello) e consideriamo due superfici *1 e *2 , entrambe delimitate dal peri-
metro della spira. L’insieme di queste due superfici costituisce una superfi- cie chiusa, che racchiude al suo interno un volume V. In base al teorema di Gauss, il flusso di B ! attraverso questa superficie chiusa è zero: questo si- gnifica che il flusso entrante in V, attraverso la superficie *1 è uguale al
flusso uscente da V, attraverso la superficie *2.
Visto che *1 e *2 erano due superfici arbitrarie, se ne può concludere
che:
Il flusso di B attraverso una qualunque superficie che si appoggia ad una stessa linea
chiusa non dipende dalla particolare superficie considerata, ma solo dal suo contorno.
Visto appunto che il flusso non dipende dalla particolare superficie, si può definire il flusso di campo magnetico concatenato con una spira come il flusso di B ! calcolato attraverso una qualsiasi superficie che ha tale spira
per contorno.
15.3 L’induzione elettromagnetica
Torniamo ai fatti sperimentali presentatati all’inizio del capitolo. Pos- siamo spiegare tutte questi fenomeni osservando che la produzione di una corrente elettrica in una spira è collegata alla variazione del flusso del vet- tore B ! concatenato con la spira. Quantitativamente:
Quando varia il flusso del campo magnetico concatenata con una spira conduttrice, in questa viene indotto una forza elettromotrice pari alla variazione del flusso nell’unità di tempo:
Elementi di fisica 119 [15.2] e = ! d"B dt .
Questa formula è nota come legge dell’induzione elettromangetica o legge di Faraday.
Ricordando la definizione di flusso [15.1], serviamo che ,B può va-
riare:
• perché varia il valore di B; • perché varia l’area A;
• perché cambia l’angolo tra B e ! A . !
Si noti il segno negativo nella [15.2]. Esso significa che la forza elet-
tromotrice indotta tende a produrre un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso. Questo affermazione prende il nome di legge di Lenz.
Se il circuito comprende un numero N di spire, i flussi relativo alle singole spire si sommano e la forza elettromotrice indotta sarà moltiplicata per N: [15.3] e = !N d"B dt
Come esempio di applicazione della legge di Faraday, esaminiamo il seguente esempio, che analizza il caso di una spira in ruotazione con velo- cità angolare costante all’interno di un campo magnetico uniforme.
Esempio
Si calcoli la forza elettromotrice (f.e.m.) e la corrente indotta in una spira di resisten- za R e di area A che ruota in un campo magnetico uniforme B con una velocità an-! golare costante
! =
d"
dt intorno ad un asse perpendicolare alla direzione di
!
B .
Indicando con + l'angolo compreso tra la direzione di B e la normale alla !
superficie della spira, all’istante t si ha:
!B = !
B "A ! = B A cos# = B A cos$t e quindi, applicando la legge di Faraday:
e t
( )
= !d"B
dt =e0 sin#t,
dove e0 = BA! . Si ottiene dunque un valore istantaneo della f.e.m. oscillante tra –e0 e e0,con un periodo pari a
2!
" .
Di conseguenza, il valore della corrente istantanea circolante nella spira è:
Nicolò Beverini 120 con i0= eR0 = BA! R .
Nell’uso comune in elettrotecnica si parla perciò di f.e.m. alternata e di cor-
rente alternata e si definisce f.e.m. efficace eeff e corrente efficace ieff il valore
quadratico medio su un periodo rispettivamente della f.e.m. e della corrente1.
Poiché sin 2x = 1 2! sin 2x dx 0 2!
"
= 1 2, si ha che: [15.4] eeff = e0 2 ieff = e0 2 . La potenza dissipata nella spira è:
w t
( )
= e t( )
i t( )
=e0!i0 sin2"t . Il valore medio della potenza dissipata w è quindi:w = 1 2e0 i0 = 1 2 e02 R = 1 2i0 2R ,
ovvero, esprimendosi in termini di tensione efficace e di corrente efficace:
w = eeff ieff = eeff2 R = ieff 2 R .
1 Per definizione, il valor medio della funzione periodica ƒ(t), di periodo T, è data da
f = 1
2! f (t) dt
0 2!
"
e il valore quadratico medio da f2 = 12! f
2(t) dt 0
2!