L’EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Fsi(r) =∫ Σsimz (E) Φi(r,E) dE (14)

0

- il numero d’interazioni con assorbimento

∞

Fai(r) =∫ Σaimz (E) Φi(r,E) dE (15)

0

E così via. Le unità del flusso delle microparticelle sono: microparticelle cm³ / s.

2. DENSITÀ DI CORRENTE DELLE MICROPARTICELLE

Il flusso netto delle microparticelle nel campo è descritto dal vettore J ed è chiamato densità vettoriale di corrente di microparticelle. I moti delle microparticelle in ogni punto del campo sono la sovrapposizione di un infinito numero di differenti raggi di microparticelle, ciascuno avente una intensità dIi(r,E,ω), data analogamente all’eq. (2). La densità vettoriale di corrente delle microparticelle è ottenuta con un vettore d’intensità dIi(r,E,ω), diretto nella direzione di ω, che è la direzione del moto delle microparticelle lungo questi raggi con energia compresa tra E ed E + dE.

Può scriversi, semplicemente, sostituendo a v_i(E) similmente come nella eq. (2) il vettore v_i(E):

dIi(r,E,ω) = ni(r,E,ω) vi(E) dΩ dE. (16) Il vettore Ji nel punto P di fig. 2 è definito come l’integrale doppio di dIi(r,E,ω), su tutto l’angolo solido:

∞

Ji = ∫ ∫4π ni(r,E, ω) vi(E) dΩ dE. (17)

0

Il significato fisico di J_i può essere chiarito considerando uno dei suoi componenti. Consideriamo ad esempio il componente x di Ji, che è Jix. Per la (17), la componente Jix è:

∞

Jix = ∫ ∫4π ni(r,E, ω) vi(E) cos θix dΩ dE (18)

0

dove θix è l’angolo tra vi(E) e l’asse x. Rispetto al sistema di riferimento disegnato in Figura 1 la quantità vi(E) cos θix applicata all’aria unitaria attraversata è uguale al volume di un cilindro, inclinato di un angolo θix, di lunghezza vi avente l’area unitaria sul piano yz. Chiaramente, tutte le microparticelle in questo volume hanno velocità all’interno dell’angolo solido dΩ di v_i(E), cioè ni(r,E,ω) vi(E) cos θix dΩ microparticelle attraversano l’unità di area per secondo, per quel particolare valore di dE, perpendicolarmente all’asse x. L’integrazione elimina le microparticelle che tornano indietro. Il cos θix è positivo per le microparticelle che si muovono da sinistra a destra e negativo al contrario. Il flusso netto delle microparticelle Jix è positivo per le microparticelle che vanno da sinistra a destra, invece se Jix è negativo il flusso netto si muove al contrario. Le conclusioni per l’asse x possono essere estese per ogni direzione, per ogni componente di Ji. Di conseguenza, la componente di Ji nella direzione del versore di n, data dal prodotto scalare Jin = Ji x n è uguale all’intensità del flusso netto delle microparticelle che transitano attraverso un’area unitaria normale ad n.

3. L’EQUAZIONE DI CONTINUITÀ

Consideriamo un volume arbitrario V di un organismo. Durante il flusso di microparticelle indirettamente ionizzanti, alcune di queste possono interagire con i nuclei dell’organismo rimbalzando oppure possono essere assorbite (cattura radiativa) o fissionare. I frammenti prodotti dalle fissioni possono causare l’effetto Compton, l’effetto fotoelettrico, creazioni di coppie, la diffusione coerente, decadimento γ, raggi β, raggi χ mentre le particelle dei flussi indirettamente ionizzanti che non hanno interagito lasciano il volume imperturbate. Le microparticelle direttamente

ionizzanti, i fasci di radiazioni γ ed χ produrranno con le loro interazioni l’effetto Compton, l’effetto fotoelettrico, raggi x, creazioni di coppie, la diffusione coerente, mentre le particelle dei flussi direttamente ionizzanti che non hanno interagito e così anche i fasci di radiazioni γ ed χ che non hanno interagito o che non sono stati completamente assorbiti abbandoneranno il volume. Alle microparticelle del flusso all’interno del volume si aggiungeranno altre microparticelle emesse dalle sorgenti esistenti e prodotte in V.

Per ogni evento delle microparticelle dentro questo volume si soddisfa la seguente equazione, che chiameremo “l’equazione di continuità”.

Essa afferma: “L’incremento nel tempo del numero di microparticelle e fotoni dentro il volume V, anche diffuse e diffusi, per effetto delle sorgenti esistenti e prodotte (prodotti di fissione, elettroni, raggi β, raggi γ, raggi χ) e dei flussi delle microparticelle deve eguagliare la quantità del flusso entrante delle microparticelle e fotoni in V, aumentato dal numero di microparticelle e di fotoni prodotti dalle sorgenti in V per gli effetti Compton, fotoelettrico, creazioni di coppie, fissione, cattura radiativa, diffusione coerente, diminuito della quantità delle microparticelle nel volume V del flusso uscente e delle quantità di microparticelle assorbite o diffuse che causano: l’effetto Compton, l’effetto fotoelettrico, la creazione di coppie, la fissione, la cattura radiativa, la diffusione coerente, i fotoni.”

Se ni(r,t) è la densità delle microparticelle nel volume V al tempo t, il numero totale delle microparticelle in V è semplicemente: ∫v ni(r,t) dv. La condizione di continuità può essere scritta come:

d/dt ∫v ni(r,t) dv = quantità entrante + quantità prodotta – quantità causante effetto fotoelettrico - quantità causante l’effetto Compton - quantità causante la creazione di coppie – quantità causante la cattura radiativa – quantità causante la diffusione coerente – quantità causante la fissione – quantità perduta (19) La quantità entrante è il numero delle microparticelle entrante nel volume V. E’ data dal valore del flusso di microparticelle i attraversanti l’area A delimitante il volume V. Considerata un’area unitaria dA di versore n lungo r, se n è un versore diretto verso l’esterno della superficie dA, delimitante una porzione di V, J1i(r,t) x n dA è la quantità netta, del flusso di microparticelle esterno che attraversa dA. La quantità totale di microparticelle che attraversa la superficie interna è:

quantità entrante = ∫A J1i(r,t) x n dA (20) La produzione delle microparticelle per causa di tutti i fenomeni elencati può essere rappresentata per mezzo di una funzione di distribuzione s(r,t) della sorgente che è uguale al numero di microparticelle emesse per cm³/s in un punto P distante r in V al tempo t. La quantità totale di produzione di micropaticelle in tutto V è perciò:

quantità prodotta = ∫v s(r,t) dv (21) La quantità di microparticelle in V assorbita causante i fenomeni elencati può essere scritta in funzione del flusso di particelle:

∞

quantità assorbita = ∫ ∫_v ( Σimz creazione di coppie (r,E) + Σimz cattura radiativa (r,E)+ Σimz fissioni (r,E))

0

Φi(r,E) dv dE (22) tenendo anche conto delle variazione della sezione d’assorbimento per effetto dell’energia delle microparticelle incidenti in V.

SICUREZZA E PREVENZIONE: ESPERIENZE A CONFRONTO

La quantità di microparticelle in V diffusa causante i fenomeni elencati può essere scritta in funzione del flusso di particelle:

∞

quantità diffusa = ∫ ∫v (Σimz Compton (r,E) + Σimz effetto fotoelettrico (r,E) + Σimz raggi γ (r,E) +

0

+ Σimz raggi β (r,E)) Φi(r,E) dv dE (23)

La perdita di microparticelle in V può essere definita in funzione del flusso vettoriale della densità delle microparticelle. Così Ji(r,t) x n è uguale al valore del flusso di microparticelle attraverso l’area unitaria normale al versore n lungo r in seguito al fenomeno causato dalle microparticelle i . Se n è un versore diretto verso l’esterno della superficie A, delimitante V, allora J_2i(r,t) x n dA è la quantità netta, del flusso di microparticelle esterno che attraversa dA. La quantità totale di microparticelle che attraversa la superficie interna è allora:

quantità perduta = ∫_A J_2i(r,t) x n dA (24)

Ponendo:

Σaimz (r,E) = Σimz creazione di coppie (r,E) + Σimz cattura radiativa (r,E)+ Σimz fissioni (r,E) (25) Σsimz (E) = Σimz Compton (r,E) + Σimz effetto fotoelettrico (r,E) + Σimz raggi γ (r,E) + Σimz raggi β (r,E) (26) sostituendo nella (19) si ottiene:

∞

d/dt ∫_v n(r,t) dv= ∫_A J_1i(r,t) x n dA + ∫_v s(r,t) dv - ∫ ∫_v Σ_aimz (r,E) Φ_i(r,E) dv dE -

∞ 0

∫ ∫v Σsimz (r,E) Φi(r,E) dv dE- ∫A J2i(r,t) x n dA (27)

0

L’eq. (27) può essere posta in una forma più conveniente usando il teorema della divergenza, trasformando il termine integrato su una superficie ad un integrale di volume:

∫A Jki(r,t) x n dA = ∫v divJki(r,t) dv con k =1,2, l’eq. (24) diventa:

∞

d/dt ∫v n(r,t) dv =∫v divJ1i(r,t) dv + ∫v s(r,t) dv - ∫ ∫v Σiamz (r,E) Φi(r,E) dv dE

∞ 0

- ∫ ∫v Σismz (r,E) Φi(r,E) dv dE- ∫v divJ2i(r,t) dv (28)

0

Poiché tutti gli integrali integrano nello stesso volume, semplificando:

∞ ∞

d/dt n(r,t) =div J_1i(r,t) + s(r,t) - ∫ Σ_aimz(r) Φ_i(r,E)dE - ∫ Σ_simz(r) Φ_i(r,E)dE - divJ_2i(r,t) (29) 0 0

Tenuto conto di tutte le i-esime microparticelle, interagenti con tutti gli elementi m–esimi e tutti i loro isotopi z-esimi si può scrivere in generale l’equazione di continuità applicata all’interno di un organismo in un campo di microparticelle:

∞ ∞

d/dt n(r,t) =Σ [div J1i(r,t) + s(r,t) - ∫ Σaimz(r) Φi(r,E)dE - ∫ Σsimz(r) Φi(r,E)dE - divJ2i(r,t)] 30)

i,m,z 0 0

Nelle eq.(22),(23),(28),(29),(30) sono nulli i termini corrispondenti ai fenomeni che non sono presenti nei singoli casi particolari. Dall’equazione di continuità si deduce che: alla sezione d’urto

totale macroscopica corrispondente: Σaimz (r,E) + Σsimz (E) corrisponde quella microscopica totale σaimz (r,E) + σsimz (E).

Il coefficiente di attenuazione lineare μ è dato da:

μ = ρ NA/M (σaimz (r,E) + σsimz (E))= ρ NA/M (σimz Compton (r,E) + σimz effetto fotoelettrico (r,E) + σimz raggi γ (r,E) + σimz raggi β (r,E) + σimz creazione di coppie (r,E) + σimz cattura radiativa (r,E)+ σimz fissioni (r,E) )(31) il coefficiente di attenuazione massico è μ/ρ ed è indipendente dall’assorbitore;

il coefficiente di trasferimento di energia massico all’organismo per particelle è:

μ_tr / ρ = N_A/M (f_compton σimz Compton (r,E) + ffotoelettrico σimz effetto fotoelettrico (r,E) + f_{raggi γ} σimz raggi γ (r,E) + fraggi β σimz raggi β (r,E) +fcoppie σimz creazione di coppie (r,E) +fcattura σimz cattura radiativa (r,E)+f fissioni σimz fissioni

(r,E)) (32) dove con “ f “ si è indicata la media della frazione dell’energia della particella incidente che è trasferita in ciascun tipo di interazione;

il coefficiente di assorbimento di energia massico per le particelle indirettamente ionizzanti è dato da [ μtr / ρ] (1-g) dove g è la frazione di energia delle particelle perse.

Se la sezione d’urto totale microscopica tende a zero la dose assorbita tende a zero, infatti, i danni stocastici per le radiazioni, prodotti all’organismo sarebbero ridotti con il coefficiente di assorbimento di energia massico che tende a zero. Quando il coefficiente di trasferimento di energia massico ed il coefficiente di assorbimento di energia massico per le particelle indirettamente ionizzanti tendono a zero la quantità assorbita in tal caso è:

∞

quantità assorbita = ∫ ∫v Σimz creazione di coppie (r,E) Φi(r,E) dv dE = 0 (33)

0

mentre la quantità diffusa è:

∞

quantità diffusa = ∫ ∫v (Σimz Compton (r,E) + Σimz effetto fotoelettrico (r,E) + Σimz raggi γ (r,E) +

0

+ Σimz raggi β (r,E)) Φi(r,E) dv dE = 0 (34).

Tenendo conto del numero di particelle N0 che entrano nell’organismo, il numero di particelle che riescono ad uscire nuovamente è:

N = N0 exp(μtr / ρ x) (35) Facendo tendere μtr / ρ → 0 allora N = N0, cioèil numero di particelle entranti, eguaglia quelle uscenti ed è, per fare un esempio, come un cristallo che esposto alla luce dei raggi solari li lascia passare imperturbati. In questo caso l’equazione di continuità per le microparticelle applicata all’interno di un organismo in un campo di microparticelle diventa

d/dt n(r,t) =Σ [div J1i(r,t) + s(r,t) - divJ2i(r,t)] (36)

i,m,z

Nel caso di un flusso di fotoni:

la quantità assorbita è:

∞

quantità assorbita = ∫ ∫v Σimz creazione di coppie (r,E) Φi(r,E) dv dE (37);

0

SICUREZZA E PREVENZIONE: ESPERIENZE A CONFRONTO

la quantità diffusaè:

∞

quantità diffusa = ∫ ∫v (Σimz Compton (r,E) + Σimz effetto fotoelettrico (r,E) + Σimz raggi γ (r,E)

0

+ Σimz raggi β (r,E)) Φi(r,E) dv dE (38);

dove nella (35) e nella (36) si è tenuto conto della variazione della sezione d’assorbimento in funzione dell’energia. L’equazione di continuità resta la (30), tenendo conto della (37) e della (38).

Nel caso di un flusso di neutroni le quantità assorbita e diffusa sono:

_∞

quantità assorbita = ∫ ∫v Σimz creazione di coppie (r,E) Φi(r,E) dv dE (39)

0

e

∞

quantità diffusa = ∫ ∫v (Σimz Compton (r,E) + Σimz effetto fotoelettrico (r,E) + Σimz raggi γ (r,E) +

0

+ Σimz raggi β (r,E)) Φi(r,E) dv dE (40) Nel flusso neutronico l’effetto dei secondari carichi si ha dopo che si è verificata la fissione, quale conseguenza del decadimento dei frammenti di fissione e dei nuclei instabili ottenuti. Per diminuire dunque la dose bisogna ridurre le sezioni d’urto macroscopiche e microscopiche di fissione e di cattura radiativa. Questo vuol dire che la variazione di letargia deve essere la più bassa possibile.

Assimilando, allora, l’organismo ad una massa acquosa si ricordano i seguenti valori riportati per la variazione della letargia in Tabella:

Tabella – Valori di letargia Nucleo Numero di massa ξ

H 1 1,000

H2O 0,92

D 2 0,725

Be 9 0,209

C 12 0,158

O 16 0,12

Fe 56 0,0357

U 238 0,00838

D₂O 0,509

dai quali si evince che, se invece della presenza dell’acqua, nell’organismo ci fosse il D₂O, il rallentamento del neutrone richiederebbe un maggior numero di collisioni, e questo richiederebbe più tempo per il rallentamento del neutrone e quindi poiché le sezioni d’urto aumentano al diminuire della velocità del neutrone, per l’equazione di continuità applicata all’interno di un organismo, il minor rallentamento del neutrone accompagnato da un minore aumento delle sezioni d’urto comporta una maggiore probabilità che il neutrone possa uscire dall’organismo.

Anche un notevole miglioramento si avrebbe se le molecole organiche contenessero D anziché H.

4. I RADIONUCLIDI PRESENTI NEL CAMPO

Nel documento Sicurezza e Prevenzione:esperienze a confronto (pagine 195-199)