David Bohm
2.5.2 La condizione di Separabilit` a
Altra assunzione fondamentale per la derivazione del Teorema di Bell `e la gi`a citata condizione di Separabilit`a, che ora assume la seguente forma:
Separabilit`a: i risultati di un esperimento sono indipendenti dai ri- sultati dell’altro, cio`e `e possibile agire su una parte dell’intero sistema senza agire sulla restante parte di quello stesso sistema.
La condizione di Separabilit`a pu`o essere scritta come segue:
p(La i/Li∧ Rj ∧ Rbj∧ λ) = p(L a i/Li∧ Rj ∧ λ) (2.13) p(Rb j/Li∧ Rj ∧ Lai ∧ λ) = p(R b j/Li∧ Rj ∧ λ) (2.14)
Anche la condizione di Separabilt`a appare essere in stretto lega- me con la condizione di Strong Locality, ossia con la Fattorizzabi- lit`a. Non a caso si mostra facilmente che, partendo da un condizio- ne vera per definizione di probabilit`a, `e possibile derivare la condi- zione di Fattorizzabilit`a, utilizzando le due condizioni di Localit`a e Separabilit`a: p(Lai ∧ R b j/Li∧ Rj∧ λ) = p(Lai/Li∧ Rj∧ Rbj ∧ λ) · p(R b j/Rj∧ Li∧ λ)
Per definizione di probabilit`a
= p(La
i/Li∧ Rj ∧ λ) · p(Rbj/Rj ∧ Li∧ λ)
Per la condizione di Separabilit`a32
32
Si noti che quella appena ottenuta non `e altro che la condizione di Com- pleteness, per cui sembra esserci uno stretto legame anche tra Separabilit`a e Completeness.
= p(La
i/Li∧ λ) · p(Rbj/Rj ∧ λ)
Per la condizione di Localit`a.
Esiste, dunque, uno stretto legame tra Fattorizzabilit`a, Localit`a e Separabilit`a.
2.5.3
La diseguaglianza di Bell
Utilizzando la notazione introdotta nel paragrafo precedente, mos- triamo quella che Bell chiama diseguaglianza quadrangolare, che `e appunto meglio nota come diseguaglianza di Bell :
p(L+x ∧ R+y|Lx∧ Ry) + p(L+y ∧ R+z|Ly∧ Rz) ≥ p(L+x ∧ R+z|Lx∧ Rz)33
(2.15) Ricordiamo che le predizioni quantistiche per gli esiti di misura- zione contenuti nell’equazione precedente sono dati dalle gi`a citate equazioni (2.4)-(2.7): p(L+i ∧ Rj+|Li∧ Rj) = 1 2sin 2ϕij 2 p(L− i ∧ Rj−|Li∧ Rj) = 1 2sin 2ϕij 2 p(L+i ∧ R− j|Li∧ Rj) = 1 2cos 2ϕij 2 p(L− i ∧ R+j|Li∧ Rj) = 1 2cos 2ϕij 2 Pertanto: p(L+ x ∧ R+y|Lx∧ Ry) = 1 2sin 2ϕxy 2 p(L+y ∧ Rz+|Ly ∧ Rz) = 1 2sin 2ϕyz 2 33
Questa forma di diseguaglianza di Bell `e stata proposta da B. van Fraassen (1982).
p(L+x ∧ R+z|Lx∧ Rz) =
1 2sin
2ϕxz
2
In tal modo la diseguaglianza quadrangolare di Bell pu`o essere scritta direttamente come:
1 2sin 2ϕxy 2 + 1 2sin 2ϕyz 2 ≥ 1 2sin 2ϕxz 2 (2.16) Il Teorema di Bell `e stato considerato uno dei risultati pi`u im- portanti del XX secolo, in quanto le previsioni dateci dal formalismo della Meccanica Quantistica violano la diseguaglianza quadrangolare.
Vediamo in maniera dettagliata in che modo. Poniamo ϕxy = 30◦, ϕyz= 30◦ e ϕxz = 60◦.
Allora possiamo scrivere la nostra diseguaglianza di Bell diretta- mente come: 1 2(0.25) + 1 2(0.25) ≥ 1 2(0.75) Dalla quale a sua volta si ottiene:
0.125 + 0.125 ≥ 0.375 0.25 ≥ 0.375 Che chiaramente `e una falsit`a.
Dalla violazione del Teorema di Bell, consegue l’impossibilit`a di un completamento della Teoria Quantistica che rispetti la condizione di Fattorizzabilit`a, e pertanto anche tutte le condizioni di Separabilit`a, Completeness e Localit`a, da cui appunto essa deriva.
Ora si tratta di mostrare che, non solo il formalismo della Mecca- nica Quantistica, ma anche la natura viola la diseguaglianza di Bell.
Nel dicembre del 1982, Alain Aspect con la collaborazione di due ricercatori, Jean Dalibard e G´erard Roger, dell’Istituto di Ottica del- l’Universit`a di Parigi, ha raccolto la sfida per una rigorosa verifica del- le ipotesi non-localistiche della teoria quantistica. Aspect ha realizza- to una serie di apparecchiature sofisticatissime nel campo dell’ottica- fisica, che hanno permesso di risolvere il contenzioso che ormai da mezzo secolo opponeva i fisici che si riconoscevano nelle posizioni classiche, con i fisici quantistici della scuola di Copenhagen.34
34
A. Aspect, J. Dalibard, G. Roger, “Experimental tests of Bell’s inequality using time-varying analyzers”, Physical Review Letters, 49 (1982), pp. 1804-1807.
Nella figura qui di seguito riportata vediamo una schematizzazione delle apparecchiature utilizzate da Aspect nei suoi esperimenti:
Figura 2.5.3: Esperimento di Aspect, Dalibard, Roger (1982)
Al centro abbiamo un atomo di Calcio eccitato il quale produce una coppia di fotoni correlati che si muovono lungo percorsi oppo- sti. Lungo uno di questi percorsi (nel caso rappresentato in figura, il percorso A), di tanto in tanto e in maniera del tutto casuale, viene inserito un filtro (un cristallo birifrangente), il quale, una volta che un fotone interagisce con esso, pu`o, con probabilit`a pari a 12, devia- re il fotone stesso oppure lasciarlo proseguire indisturbato per la sua strada facendosi attraversare. Agli estremi di ogni tragitto previsto per ciascun fotone `e posto un rilevatore.
Il risultato dell’esperimento di Aspect si mostr`o in accordo con le predizioni statistiche della Teoria Quantistica35. Come conseguenza
di questo fatto, la diseguaglianza di Bell veniva considerata come sperimentalmente confutata e pertanto veniva messa in discussione la condizione di Fattorizzabilit`a in tutte le sue parti fondamentali di Separabilit`a, Completeness e Localit`a.
2.6
Causalit`a e localit`a
Le tre condizioni di Completeness, Localit`a e Separabilit`a sono stret- tamente legate al nostro concetto di Causalit`a, ciascuna ovviamen-
35
Dopo il 1982 sono stati effettuati numerosi esperimenti volti a verificare o con- futare le previsioni della Meccanica Quantistica e quindi anche quanto mostrato dalla diseguaglianza di Bell. Uno degli esperimenti pi`u celebri `e stato effettuato al CERN di Ginevra nel 2007 da Gisin e Thew; si veda N. Gisin e R. Thew (2007).
te in maniera diversa. Vediamo dapprima il legame tra Localit`a e Causalit`a.
I due concetti di Causalit`a e Localit`a appaiono essere strettamen- te intrecciati e questo perch´e noi possediamo una concezione locale di Causalit`a. Cosa si intende esattamente per “concezione locale di causalit`a”?
Una risposta a questo quesito pu`o essere facilmente fornita citando la distinzione proposta da Wesley Salmon in Scientific Explanation and the Causal Structure of the World, tra genuini processi causali e pseudo-processi causali.
Ecco cosa ci dice Salmon:
Special relativity demands that we make a distinction bet- ween causal processes and pseudo-processes. It is a fundamen- tal principle of that theory that light is a first signal - that is, no signal can be transmitted at a velocity greater than the velocity of light in a vacuum. There are, however, certain processes that can transpire at arbitrarily high velocities - at a velocity vastly exceeding that of light. This fact does not violate the basic relativistic principle, however, for these ’pro- cesses’ are incapable of serving as signals or of transmitting information. Causal processes are those that are capable of transmitting signals; pseudo-processes are incapable of doing
so.36
E ancora:
The basic method for distinguishing causal processes from pseudo-processes is the criterion of mark transmission. A cau- sal process is capable of transmitting a mark; a pseudo-process
is not.37
Uno fra i tanti esempi di processo pseudo-causale, proposto da Salmon, `e il seguente:
Consider a car travelling along a road on a sunny day. As the car moves at 100 Km/hr, its shadow moves along the shoulder at the same speed. The moving car, like any material object, constitutes a causal process; the shadow is a pseudo- process. If the car collides with a stone wall, it will carry
36
W.C. Salmon, Scientific Explanation and the Causal Structure of the World, Princeton, Princeton University Press, 1984, p. 141.
37
the marks of that collision [...]. If, however, only the shadow of the car collides with the stone wall, it will be deformed momentarily, but it will resume its normal shape just as soon
as it has passed beyond the wall.38
Ecco la definizione che il filosofo d`a per trasmissione del marchio (MT):
MT: Let B be a process that, in the absence of interactions with other processes, would remain uniform with respect to a characteristic Q, which it would manifest consistently over an interval that includes both of the space-time points A and B (A 6= B). Than, a mark (consisting of a modification of Q into Q’), which has been introduced into process P by means of a single local interaction at point A, is transmitted to point B if P manifests the modification Q’ at B and at all stages of the
process between A and B without additional interventions.39
Da quanto esplicitato sopra discerne il principio pi`u generale di trasmissione di una struttura (ST):
ST: If a process is capable of transmitting changes in struc- ture due to marking interactions, than that process can be said
to transmit its own structure.40
Cio`e: se un processo `e capace di trasmettere un marchio dovuto a qualche interazione con la sua struttura, esso allora `e anche capace di trasmettere la sua stessa struttura. L’abilit`a di trasmettere un mar- chio `e il criterio per riconoscere i processi causali. Ma questo marchio pu`o essere trasmesso solo attraverso un processo che si propaga ad una velocit`a non superiore a quella della luce.
Ci`o che si apprende dai passi appena citati `e, non solo che esiste un forte legame tra Causalit`a e Localit`a, ma anche il fatto fonda- mentale che questo stesso legame derivi da una delle interpretazioni pi`u accreditate della Teoria della Relativit`a, secondo cui non sarebbe possibile che i processi causali possano propagarsi a velocit`a maggiore di quella della luce41.
38 Ivi, p. 143. 39 Ivi, p. 148. 40 Ivi, p. 154. 41
Molti fisici e filosofi sostengono la tesi secondo cui la Teoria della Relativit`a proibisca che i processi causali si propaghino a velocit`a maggiore di quella della luce. Tuttavia su questo punto esistono differenti opinioni. Per una descrizione pi`u approfondita del dibattito tuttora in corso si veda T. Maudlin (2002), pp. 1-5.
Giunti a tal punto, ritengo sia indispensabile fare un breve cenno alle nozioni di Causalit`a e temporalit`a nella Teoria della Relativit`a.