frontabili.
L
a prima e perpetua legge delle uguaglianze o delle proporzioni, dal momen- to che è stata concepita per le grandezze omogenee, è detta legge degli omogenei ed è la seguente:1. Gli omogenei, cioè le grandezze dimensionalmente omogenee, possono es- sere confrontati solo con altri omogenei.9
9p. 2 di [18]: «Homogenea homogeneis comparari».
Questa legge rappresenta la proprietà fondamentale delle proporzioni ed afferma, in termini moderni, che tutti i numeri, che compongono un’equazione devono avere la stessa dimensione; pertanto, solo tali grandezze possono essere sommate o sottratte, in quanto appartenenti allo stesso o al corrispondente grado, sebbene questo non valga per la moltiplicazione e la divisione. La legge di omogeneità proposta da Viète si riferisce alla Definizione 3 del libro V degli Elementi di Euclide:«La proportione è di due grandezze del medesimo genere in quanto appartiene alla quantità, una certa convenienza». Vedi p. 62 di [4].
Secondo questa definizione, esistono “rapporti” solo tra grandezze omogenee e con il termine “rapporto” si intende una relazione tra due grandezze dello stesso, o del corrispondente tipo rispetto alle dimensioni. Inoltre il termine compositio, in questo contesto, significa aggiungere e sottrarre grandezze da espressioni algebriche o uguagliare grandezze o espressioni fra loro. Viète dunque considera la teoria delle proporzioni, alla luce della teoria delle equazioni, intesa come teoria di calcolo.
Infatti, come affermava Adrasto, non si può sapere in che modo si com- binino fra loro le grandezze eterogenee10. E così
Se a una grandezza è aggiunta una grandezza questa è omogenea con quel- la.
Se a una grandezza è sottratta una grandezza questa è omogenea con quel- la.
Se una grandezza è moltiplicata per un’altra grandezza, il prodotto è etero- geneo a entrambe.
Se una grandezza è divisa per un’altra grandezza, ciò che si ottiene è etero- geneo a entrambe.
L’aver trascurato ciò fu la causa di tanta incertezza e cecità da parte degli antichi analisti.
2. Sono chiamate scalari quelle grandezze che ascendono o discendono di genere in genere per loro stessa natura.11
3. Le grandezze incognite sono anche chiamate grandezze scalari:
“lato” o “radice” [è la prima grandezza scalare: x]n.c., “quadrato” [è la seconda grandezza scalare: x2]n.c.,
“cubo” [è la terza grandezza scalare: x3]n.c.,
“quadrato-quadrato” [è la quarta grandezza scalare: x4]n.c.,
“quadrato-cubo” [è la quinta grandezza scalare: x5]n.c.,
“cubo-cubo” [è la sesta grandezza scalare: x6]n.c.,
“quadrato-quadrato-cubo” [è la settima grandezza scalare: x7]n.c.,
“quadrato-cubo-cubo” [è l’ottava grandezza scalare: x8]n.c.,
“cubo-cubo-cubo” [è la nona grandezza scalare: x9]n.c.
E a loro volta i rimanenti devono essere indicati seguendo questa serie e questo procedimento.
10Teone (Hiller) p. 73:
τ `α μ `εν γ `αρ ἀνομογενῆ πῶς ΄εχει πρ `ος ᾿ἀλληλά Φησιν ’’Αδραστος εἰδ ΄εναι ἀδύνατον. Risulta che Teone si valse del commentario al Timeo platonico composto dal peripatetico Adrasto di Afrodisiade (II secolo d.C.), a sua volta dipendente dall’analoga opera di Posidonio, e di una fonte neopitagorica.
11p. 3 di [18]: «Magnitudines quæ ex genere ad genus sua vi proportionaliter adscendunt
vel descendunt, vocentur Scalares.»
4. I generi delle grandezze confrontabili12, come sono stati enunciati ordi- natamente per gli scalari, sono:
“lunghezza” o “larghezza”, “piano”, “solido”, “piano-piano”, “piano-solido”, “solido-solido”, “piano-piano-solido”, “piano-solido-solido”, “solido-solido- solido”.
E a loro volta i rimanenti devono essere indicati seguendo questa succes- sione e questo procedimento.
5. Fra gli scalari, il grado più alto in relazione al “lato” e quello corrispon- dente alla grandezza nota (comparata), è chiamato potenza. Gli altri scalari più piccoli sono detti gradi “parodici alla potenza”, cioè inferiori.13
6. Una potenza è semplice (pura) “cum adfectione vacat”, cioè quando è priva di grandezze combinate.
Se una potenza è associata ad una grandezza che è il prodotto di un grado inferiore e un coefficiente è una potenza combinata (adfecta).
Sono potenze pure il “quadrato”, il “cubo”, il “quadrato-quadrato”, il “quadrato-cubo”, il “cubo-cubo” e così via.14
Sono potenze combinate di secondo grado:
(a) Un “quadrato” seguito da un “piano”, che è il prodotto di un “lato” e di una “lunghezza” o “larghezza”:
[ x2+ xa. ]n.c.
Sono potenze combinate di terzo grado:
12Le grandezze confrontabili (comparatæ), vanno intese come quelle grandezze note uguagli-
ate o messe in relazione con le grandezze incognite (scalares), perciò, in base alla legge degli omogenei, devono concordare dimensionalmente con la grandezza sconosciuta. Pertanto “lunghezze”, “piani” o “solidi” vanno uguagliati con x, x2 o x3. Le stesse considerazioni,
come si vedrà successivamente, si possono estendere al prodotto di grandezze note e incognite. Infatti se si considera il prodotto ax2della “lunghezza” a e del “quadrato” x2, esso risulta un
“solido”, che può essere uguagliato solo al “cubo” x3.
13Con il termine potenza si indica l’esponente più alto delle grandezze scalari, cioè il grado
più alto dell’equazione, che determina la dimensione delle grandezze comparatæ. Queste sem- brano indipendenti all’interno dell’equazione, ma in realtà possiedono un’unità dimensionale prestabilita dalla dimensione massima delle grandezze scalari. Infine per quanto riguarda le restanti grandezze incognite di grado inferiore (reliquæ inferiores scalares), Viète conclude definendole «gradus parodici ad potestatem» (p. 3 di [18]), cioè semplicemente gradi inferiori.
14Per esempio x3è una potenza pura, invece x3+ax2è una potenza adfecta, cioè una potenza
combinata con altre grandezze, nel rispetto della legge fondamentale degli omogenei. Si noti infatti come la grandezza incognita di terzo grado x3 sia congiunta (comparata) mediante la
(a) Un “cubo” seguito da un “solido”, che è il prodotto di un “quadrato” e di una “lunghezza” o “larghezza”:
[ x3+ x2a; ]n.c.
(b) Un “cubo” seguito da un “solido”, che è il prodotto di un “lato” e di un “piano”:
[ x3+ xb con b piano; ]n.c.
(c) Un “cubo” seguito da un “solido”, che è il prodotto di un “quadrato” e di una “lunghezza” o “larghezza” o è il prodotto di un “lato” e di un “piano”:
[ x3+ x2c e x3+ xd con d piano. ]n.c.
Sono potenza combinate di quarto grado:
(a) Un “quadrato-quadrato” seguito da un “piano-piano”, che è il prodot- to di un “cubo” e di una “lunghezza” o “larghezza”:
[ x4+ x3a; ]n.c.
(b) Un “quadrato-quadrato” seguito da un “piano-piano”, che è il prodot- to di un “quadrato” e di un “piano”:
[ x4+ x2b con b piano; ]n.c.
(c) Un “quadrato-quadrato” seguito da un “piano-piano”, che è il prodot- to di un “lato” e di un “solido”:
[ x4+ xc con c solido; ]n.c.
(d) Un “quadrato-quadrato” seguito da un “piano-piano”, che è il prodot- to di un “cubo” e di una “lunghezza” o “larghezza” o è il prodotto di un “quadrato” e di un “piano”:
[ x4+ x3d o x4+ x2e con e piano; ]n.c.
(e) Un “quadrato-quadrato” seguito da un “piano-piano”, che è il prodot- to di un “cubo” e di una “lunghezza” o “larghezza” o è il prodotto di un “lato” e di un “solido”:
(f) Un “quadrato-quadrato” seguito da un “piano-piano”, che è il prodot- to di un “quadrato” e di un “piano” o è il prodotto di un “lato” e di “solido”:
[ x4+ x2e con e piano o x4+ xf con f solido; ]n.c.
(g) Un “quadrato-quadrato” seguito da un “piano-piano”, che è il prodot- to di un “cubo” e di una “lunghezza” o “larghezza” o è il prodotto di un “quadrato” e di un “piano” o è il prodotto di un “lato” e di “solido”:
[ x4+x3d o x4+x2e con e piano o x4+xf con f solido. ]n.c.
Allo stesso modo possono essere trovate le potenze combinate corrispon- denti agli altri gradi della scala; [letteralmente:]n.c.
se sarà gradito conoscere anche quanti siano i generi delle potenze combinate per ciascun grado, si consideri un numero di unità minore del termine che è prodotto dalla progressione geometrica da unità in doppio rapporto e che hanno lo stesso ordine della potenza considerata.15
[Dunque se si vuole conoscere quanti siano i generi delle potenze combinate per ciascun grado, occorre considerare “la progressione geometrica di unità
in doppio rapporto” :
1 : 2 = 2 : 4 = 4 : 8 = 8 : 16 = 16 : 32 = ... ,
i cui termini sono: 1 2 4 8 16 32 ... , per poi considerare il ter-
mine della successione, che occupa la posizione corrispondente al grado della potenza considerata, diminuito di un’unità.]n.c.
Per esempio, le potenze combinate del quarto grado sono 7, esattamente quante quelle che abbiamo citato poco fa. Infatti il quarto termine della progressione con rapporto doppio è 8, da cui sottratta un’unità 7. Al- lo stesso modo si trova per il quinto grado che i generi delle potenze combinate sono 15.
7. I coefficienti che moltiplicano grandezze scalari16, che sono inferiori rispet-
to alla potenza e quindi producono una grandezza omogenea da sommare
15p. 4 di [18]: «Quot autem in unoquoque gradu sint potestatum adfectarum genera, si
cognoscere placuerit, sumitur numerus unitate minor quam fit in progressione ab unitate dupla, terminus eiusdem ordinis atque potestas proposita.»
16Viète parla di «magnitudines adscititiae» (p. 4 di [18]), cioè grandezze associate,
alla potenza, sono detti “sottograduali”.
“Lunghezza” o “larghezza”, “piano”, “solido”, “piano-piano”, sono gran- dezze sottograduali.
Dunque se si sarà considerata una grandezza di quarto grado, “quadrato- quadrato”, a cui è associato un “piano-piano” che è il prodotto di un “lato” e un “solido”, il “solido” sarà una grandezza sottograduale; invece il “lato” sarà il grado mancante per raggiungere il quarto.
[In termini moderni se si considera l’espressione di quarto grado
x4+ bx x4 Quadrato-quadrato bx Piano-piano b Solido x Lato si ha che: la magnitudo adscititia è bx; il coefficiente o sottograduale è b;
il gradus parodici ad potestatem, cioè il grado inferiore rispetto alla potenza
x4, è x.]n.c.
Oppure se si sarà considerata una grandezza di quarto grado, “quadrato- quadrato”, seguita da un “piano-piano”, che è il prodotto di un “quadrato” e di un “piano”, il “piano” sarà una grandezza sottograduale; il “quadrato” sarà il grado mancante per arrivare al quarto.
[In altre parole se si considera l’espressione di quarto grado
x4+ cx2,
x4 Quadrato-quadrato cx2 Piano-piano
c Piano x2 Quadrato
si ha che:
la magnitudo adscititia è cx2;
il coefficiente o sottograduale è c piano;
il gradus parodici ad potestatem, cioè il grado inferiore rispetto alla potenza
x4, è x2.]n.c.