I
l metodo di affrontare gli Zetetici è, in generale, racchiuso in queste leggi: 1. Se ci si interroga su una “lunghezza”, ma l’equazione o la proporzione ènascosta dall’aspetto di ciò che è fornito nel problema33, l’incognita cercata
sarà un “lato”.
2. Se ci si interroga su un “piano”, ma l’equazione o la proporzione è nascosta dall’aspetto di ciò che è fornito nel problema, l’incognita cercata sarà un “quadrato”.
33Viète fa riferimento al fatto che quando si risolve un problema non è sempre immediato
individuare la relativa equazione o proporzione, il più delle volte occorre riflettere bene e interpretare nel modo giusto i dati forniti dal problema.
3. Se ci si interroga su un “solido”, ma l’equazione o la proporzione è nascosta dall’aspetto di ciò che è fornito nel problema, l’incognita cercata sarà un “cubo”.
Pertanto, la grandezza incognita salirà o scenderà per sua natura insieme alle grandezze comparatæ34.
4. Sia le grandezze date, sia quelle incognite saranno “confrontate35” e saran-
no combinate, secondo le condizioni prestabilite dal problema, mediante la somma, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione, sempre rispettando la legge fissa degli omogenei. [Letteralmente:]n.c.
È chiaro quindi che alla fine si troverà qualcosa che è uguale alla grandezza cercata o alla potenza verso la quale si eleva, che sarà composta interamente da grandezze note o in parte da grandezze note e in parte dalla grandezza incognita in questione, oppure da grandezze con un grado inferiore in scala36.
Esempio
Nell’equazione x2 = ab, x2 è la grandezza cercata, cioè l’incognita, men-
tre ab è la grandezza equivalente all’incognita, che è complessivamente il prodotto di due grandezze note, cioè a e b.
Invece nell’equazione x3= cx2, x3è l’incognita, mentre cx2è la grandez-
za equivalente all’incognita, che è il prodotto di una grandezza nota c e di un’incognita di grado inferiore al terzo x2. Quindi il prodotto cx2 è
costituito in parte da una grandezza nota e in parte da una grandezza incognita di grado inferiore.
n.c.
5. Per semplificare le cose è necessario che le grandezze note siano distinte da quelle incerte, ricercate con un simbolo fissato, generale e ben distinguibile; per esempio indicando le grandezze incognite con l’elemento A o ancora
34Ci si riferisce sempre al principio di omogeneità e quindi al fatto che le grandezze com-
paratæ devono concordare in genere, cioè in dimensione, con la potenza, il grado maggiore
raggiunto dalle grandezze incognite.
35Si intende aggiungere e sottrarre grandezze da espressioni algebriche o uguagliare
grandezze o espressioni fra loro.
36«Manifestum est igitur aliquid tandem inventurum iri magnitudini de qua quæritur vel
suæ ad quam adscendet potestati æquale, idque factum omnino sub magnitudinibus datis, vel factum partim sub magnitudinibus datis & incerta de qua quæritur, aut ejus parodico ad potestatem gradu.» p. 8 di [18].
con una vocale E, I, O, U o Y e le grandezze note con le lettere B, G, D o diversamente con le consonanti.37
6. Si chiama elemento omogeneo dell’equazione o elemento omogeneo secondo
una data misura, il termine che si ottiene sommando o sottraendo tra loro
i prodotti composti interamente da grandezze note. Esso costituisce una parte dell’uguaglianza
Esempio
Prodotti composti interamente da grandezze note sono per esempio B in G e D in C.
La loro somma è B in G + D in C e la loro differenza B in G− D in C. Nelle seguenti equazioni
A quadrato = (B in G + D in C)−→ x2= bg + dc
A quadrato = (B in G− D in C) −→ x2= bg− dc
(B in G + D in C) e (B in G− D in C) corrispondono all’elemento
omogeneo dell’equazione rispetto ad A quadrato, in quanto sia B in G che D in C appartengono al genere dei “piani”, cioè hanno la stessa dimensione
di A quadrato.
n.c. 7. Allo stesso modo, si chiama elemento omogeneo della combinazione o ele-
mento omogeneo secondo il grado, il termine che si ottiene sommando o
sottraendo tra loro i prodotti composti da grandezze note e da grandezze di grado inferiore rispetto al grado complessivo del prodotto, cioè rispetto alla potenza.
Esempio
Prodotti composti da una grandezza nota e una grandezza di grado infe- riore rispetto al grado complessivo del prodotto sono A quadrato in B e
A quadrato in G.
La loro somma è (A quadrato in B + A quadrato in G), la loro differenza (A quadrato in B− A quadrato in G). Nelle seguenti espressioni
A cubo + A quadrato in B + A quadrato in G−→ x3+ bx2+ gx2
A cubo + A quadrato in B− A quadrato in G −→ x3+ bx2− gx2
37Diversamente nella notazione odierna, per converzione si utilizzano le ultime lettere del-
l’alfabeto x, y, z,... per indicare le incognite e le prime per i parametri, cioè le grandezze note.
(A quadrato in B+A quadrato in G) e (A quadrato in B−A quadrato in G) corrispondono all’elemento omogeneo della combinazione, infatti ogni ter- mine, A quadrato in B e A quadrato in G, è il prodotto di una grandezza nota B e G e una grandezza di grado inferiore rispetto ad A cubo, cioè A quadrato.
n.c. 8. Gli omogenei secondo il grado accompagnano la potenza con la quale sono
combinati e insieme ad essa costituiscono una parte dell’equazione. In- vece un omogeneo secondo una data misura viene uguagliato solamente alla potenza, cioè all’incognita di grado massimo, che per la legge degli omogenei deve essere dello stesso genere o ordine, se quella non è com- binata con altre grandezze; diversamente, se la potenza è combinata con delle grandezze omogenee secondo il grado, l’omogeneo secondo una data misura verrà uguagliato all’intera combinazione.
Esempio
(A quadrato in B) e (A quadrato in G) sono elementi omogenei secondo il grado A quadrato, pertanto possono accompagnare la potenza A cubo, mediante la somma e la sottrazione, costituendo una parte dell’equazione. (D piano in C + F solido) è un elemento omogeneo secondo una data misura, che può essere uguagliato a:
• A cubo, ottenendo l’equazione
A cubo = D piano in C + F solido,
che tradotta in termini moderni corrisponde all’equazione x3= dc+f ,
dove d piano, c lunghezza, f solido.
• (A cubo± A quadrato in B ± A quadrato in G), se A cubo è accom- pagnata da grandezze omogenee secondo il grado, ottenendo
A cubo±A quadrato in B±A quadrato in G = D piano in C+F solido,
in termini moderni x3± bx2± gx2 = dc + f , dove d piano, c e b
lunghezze, f solido.
n.c. 9. Quando degli omogenei secondo una data misura sono combinati con degli
omogenei secondo il grado, si dice che si sta applicando il principio del- l’antitesi se le grandezze congiunte, positivamente o negativamente, ven- gono spostate da una parte all’altra dell’equazione, secondo i segni op-
posti di congiunzione. Applicando tale principio l’equazione non viene alterata38.
Proposizione I
L’antitesi non modifica l’equazione.
Dimostrazione: si consideri l’equazione
A quadrato− D piano = G quadrato − B in A. (1.1) Applicando l’antitesi si ha che
A quadrato + B in A = G quadrato + D piano; (1.2) si vuole dimostrare che l’equazione (1.1) non viene alterata da questa trasformazione, secondo il segno di operazione opposta.
Infatti aggiungendo da entrambe le parti (D piano + B in A) ad (1.1), dalle nozioni comuni segue che
A quadrato− D piano + (D piano + B in A) =
G quadrato− B in A + (D piano + B in A).
Ora in ogni parte dell’equazione l’operazione opposta annulla quella data, nella prima parte D piano, nella seconda B in A, così da ottenere (1.2).39
10. Si può applicare un ipobibasmo quando in tutti termini dell’equazione si può raccogliere a fattor comune una potenza della grandezza incognita e per questo non appare subito l’elemento omogeneo secondo una data misura. L’ipobibasmo corrisponde ad un’uguale riduzione della potenza e delle grandezze incognite di grado inferiore, in modo che al posto del- l’elemento omogeneo secondo il grado minore ci sia un omogeneo secondo una data misura, a cui vengono uguagliate tutte le restanti grandezze. In questo modo l’uguaglianza non viene alterata40.
38Viète con il termine antitesi, indica quello che oggi chiamiamo principio del trasporto,
conseguenza del primo principio di equivalenza delle equazioni. Esso, in accordo con quanto sostenuto da Viète, afferma proprio che si può trasportare un termine da un membro all’altro dell’equazione, purchè lo si cambi di segno.
39In notazione moderna: se consideriamo l’equazione x2− d = y2− bx, quello che si vuole
dimostrare è che x2+ bx = y2+ d. Aggiungendo ad entrambi i membri (d + bx), si ottiene
x2− d + d − bx = y2− bx + d + bx, cioè x2+ bx = y2+ d.
40«Et si accidat omnes datas magnitudines duci in gradum, & idcirco homogeneum sub
data omnino mensura non statim offerri, fiat Hypobibasmus. Hypobibasmus est æqua de- pressio potestatis & parodicorum graduum observato scalæ ordine, donec homogeneum sub
L’azione dell’ipobibasmo differisce da quella del parabolismo solo in quan- to, attraverso l’ipobibasmo entrambe le parti dell’equazione sono divise da una quantità incognita; attraverso il parabolismo invece sono divise da quantità note, certe, risulta evidente dagli esempi portati dall’autore.
Proposizione II
L’ipobibasmo non modifica l’equazione.
Dimostrazione: Si consideri l’equazione
A cubo− B in A quadrato = Z piano in A.
Applicando l’ipobibasmo, si ottiene
A quadrato + B in A = Z piano,
ciò significa aver diviso tutto il termine per un comune divisore, da cui segue che l’equazione non è cambiata41.
11. Quando la grandezza incognita con il grado più alto possiede un coef- ficiente, si applica un parabolismo. Esso consiste nel dividere entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente della grandezza incognita di grado più alto; in questo modo l’equazione non viene modificata42.
depressiore gradu cadat in datum omnino homogeneum cui comparantur reliqua. Quo op- ereæqualitas non immutatur. Id autem obiter est demonstrandum.» p. 9 di [18].
Letteralmente:
«C’è un ipobibasmo se accade che tutte le grandezze considerate siano ricondotte ad un certo grado, e per questo motivo non appaia subito l’omogeneo determinato da tutta quanta la misura. L’Ipobibasmo è l’uguale riduzione della potenza e delle grandezze incognite inferiori, facendo attenzione all’ordine di gradazione, finché l’elemento omogeneo determinato dal gra- do inferiore coincida ad un omogeneo completamente noto, a cui vengono uguagliate tutte le grandezze restanti. In questo modo l’uguaglianza non viene alterata. Ma questo va subito dimostrato»
41In notazione moderna: se consideriamo l’equazione x3−bx2= cx, applicando l’ipobibasmo
si ottiene x2+ bx = c con c piano, cioè si sono divisi tutti i termini per il comune divisore
x, sostituendo l’elemento omogeneo secondo il grado inferiore cx, con un elemento omogeneo
secondo una data misura c.
42«Et si accidat gradum altiorem, ad quem adscendet quæsita magnitudo, non ex se sub-
sistere, sed in aliquam datam magnitudinem duci, fiat Parabolismus. Parabolismus est ho- mogeneorum, quibus constat æquatio, ad datam magnitudinem, quæ in altiorem quæsititia gradum ducitur, communis adplicatio; ut is gradus potestatis nomen sibi vendicet, & ex ea tandem æquatio subsistat. Quo opere æqualitas non immutatur. Id autem obiter est demon- strandum» p. 9 di [18].
Letteralmente:
Proposizione III
Il parabolismo non modifica l’equazione.
Dimostrazione: Si consideri l’equazione
B in A quadrato + D piano in A = Z solido.
Applicando il parabolismo si ottiene
A quadrato + D piano
B in A =
Z solido B ;
ciò significa aver diviso tutto il termine per il comune divisore B, da cui segue che l’equazione non è cambiata.43
12. L’equazione deve essere espressa chiaramente ed è detta “ben ordinata” se può essere ricondotta ad una proporzione che soddisfa le seguenti con- dizioni:
• il prodotto degli estremi deve essere composto dalla potenza e dagli elementi omogenei congiunti;
• Il prodotto dei medi deve corrispondere ad un elemento omogeneo secondo una data misura.
Esempio
L’equazione
A quadrato + B in A = G in D + G in C −→ x2+ bx = gd + gc
A in (A + B) = G in (D + C) −→ x(x + b) = g(d + c).
è “ben ordinata” e la proporzione ad essa associata è
A : G = (D + C) : (A + B).
Il prodotto degli estremi A in (A + B) è composto dalla potenza e dal- l’elemento omogeneo congiunto.
Il prodotto dei medi G in (D + C) = (G in D + G in C) corrisponde ad un elemento omogeneo secondo una data misura.
n.c.
ito solo da se stesso, ma è moltiplicato per qualche grandezza data, si applica il parabolismo. C’è parabolismo ogni volta che le grandezze omogenee da cui è formata l’equazione, sono divise da una grandezza data che è moltiplicata dal grado più alto della grandezza incognita, così che quel grado assuma il nome di potenza e che l’equazione finale rimanga fissa in quella potenza. In questo modo l’equazione non è cambiata. Ma ciò è subito da dimostrare.».
43In notazione moderna: se consideriamo l’equazione bx2+ dx = c, dove d piano e c solido,
applicando il parabolismo si ottiene x2+d bx =
c
b con d piano e c solido, cioè si sono divisi
13. Una proporzione è ordinata anche quando è definita da una successione di tre o quattro grandezze, espressa da termini semplici o combinati e produce un’equazione in una sola incognita.
14. La funzione dello Zetetico è quella di associare ad ogni problema un’e- quazione o proporzione. Anche Diofanto nell’Aritmetica cercò di chiarire il suo ruolo, chiaramente utilizzando i numeri e per questo furono ammirate la sua precisione e perizia. Infatti ciò che appare più difficile e nascosto nella logistica numerosa, spesso risulta più familiare e subito ovvio nella logistica speciosa.