La modellizzazione in ambito risk-neutral
CAPITOLO 4. LA MODELLIZZAZIONE IN AMBITO RISK-NEUTRAL
mo di comprare oggi l’attivit`a finanziaria Ste indichiamo con ψ(∆t) il convenience
yield durante l’intervallo ∆t. In T avremo quindi un profitto aleatorio pari a ST − St+ ψ(T − t)
Se invece vendiamo allo scoperto un future, scritto su St con scadenza in T ,
otterremo il seguente introito aleatorio: Ft,T − ST
Ma allora la posizione cosi costruita non presenta aleatoriet`a e dunque avr`a un ritorno atteso pari al tasso privo di rischio r, ovvero
[ST − St+ ψ(T − t)] + [Ft,T − ST] = (er(T −t)− 1)St
e semplificando otteniamo che
Ft,T = er(T −t)St− ψ(T − t)
Come detto, per una generica attivit`a finanziaria il convenience yield pu`o essere sia positivo che negativo. Pertanto scegliamo di modellizzarlo con un processo di tipo Ornstein-Uhlenbeck nella seguente forma:
dct = θ(µ − ct)dt + σcdWtc
Consideriamo ora il prezzo spot dei certificati scritti su CO2. Come abbiamo
indicato nell’introduzione, esistono vari lavori che mostrano come informazione aggiuntiva disponibile implichi discontinuit`a nel prezzo dei permessi. Sulla scorta di questa considerazione, in aggiunta alle motivazioni addotte durante il capitolo 2, optiamo per un processo di tipo Merton Jump Diffusion in cui il drift non `e costante ma `e influenzato dal convenience yield. In particolare
dSt
St
= (α − ct− λk)dt + σSdWtS+ (yt− 1)dNt
con le ipotesi fatte in precedenza circa indipendenza e distribuzione dei salti. Iniziamo per prima cosa a porci in una dinamica neutrale al rischio, per le ragioni introdotte all’inizio del capitolo. Si nota subito come il mercato non `e completo, dato che il convenience yield non `e ne osservabile ne scambiabile sul mercato. Pertanto non sar`a possibile garantire l’unicit`a della misura di martingala
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equivalente e si rende necessaria l’introduzione di un premio per il rischio, che si aggiunger`a agli altri parametri del modello e la cui determinazione implicher`a l’individuazione della misura neutrale al rischio. Alla luce di quanto appena detto, modellizziamo il convenience yield in Q come
dct= θ(µ − ct− ησc)dt + σcdWtc (4.1)
dove Wc
t, con un abuso di notazione, `e ora un moto browniano standard nell’inco-
gnita misura di martingala Q e η `e il premio per il rischio associato al convenience yield. Questa riformulazione discende dal teorema di Girsanov nel caso scalare ed in particolare dal kernel della derivata di Radon-Nykodim di Q rispetto a P.
Per quanto riguarda invece il processo del prezzo spot, ci appoggiamo alla trattazione ormai standard di Merton. Essenzialmente, in questo approccio non si da un prezzo al rischio di salto in quanto si ipotizza che il termine legato ai salti sia idiosincratico, non sistematico e pertanto l’impatto di questa fonte di aleatoriet`a `
e diversificabile. Alla luce di questa considerazione, imponiamo ora che anche il processo di prezzo spot sia risk-neutral. Sostanzialmente quindi, dovendo imporre che
e−rtSt Q − martingala, ovvero EQ[dSt] = rStdt,
troviamo che il prezzo dei certificati segue la seguente dinamica, sotto la misura di probabilit`a neutrale al rischio:
dSt
St
= (r − ct− λk)dt + σSdWtS+ (yt− 1)dNt (4.2)
Motiviamo ora l’introduzione del convenience yield all’interno del drift del prezzo spot. Questa modellizzazione ci permette di includere la mean-reversion nel nostro modello. Infatti, consideriamo i due moti browniani positiavemente correlati:
dWtSdWtc = ρdt, ρ > 0.
Allora il processo che governa il convenience yield ct induce una debole mean-
reversion nella dinamica risk-neutral del prezzo spot poich`e, quando St aumenta
in seguito ad un incremento di WS
t , la presenza di correlazione positiva rende
probabile un aumento di ct e ci`o, a sua volta, rende minore il drift di St.
Affrontiamo ora il problema della valutazione di un generico contratto derivato scritto sul prezzo dei permessi. Indichiamo il valore di questo strumento finanzia- rio con la notazione V (t, St, ct), rendendo esplicito il fatto che nello spazio filtrato
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nience yield, la valutazione del contratto dipende dal valore assunto dai processi sottostanti.
Utilizzando ora il lemma di Ito per processi di Levy ad attivit`a finita, gi`a richiamato nel primo capitolo, calcoliamo il differenziale di V (t, St, ct) nel seguente
modo (omettiamo il riferimento esplicito alle variabili, qualora non fosse necessario, per chiarezza notazionale):
dVt = ∂V ∂tdt + ∂V ∂SdS cont t + ∂V ∂cdct+ 1 2dt ∂2V ∂S2σ 2 SS 2 +∂ 2V ∂c2 σ 2 c + 2 ∂2V ∂S∂cρσSσc + + [V (t, ytSt, ct) − V (t, St, ct)]dNt,
dove con cont indichiamo la parte continua del differenziale del prezzo spot. Se passiamo ora al prezzo spot logaritmico e consideriamo la derivata del con- tratto rispetto al nuovo processo definito logprice, `e possibile ricavare la seguente relazione (espressioni analoghe per derivate seconde e miste):
xt def = log(St) ⇒ ∂V ∂S = ∂V ∂x 1 S
Esplicitando ora il differenziale precedentemente ricavato tramite le espressioni risk-neutral (4.1) e (4.2), si ottiene che
dVt = ∂V ∂t + ∂V ∂x(r − ct− λk) + ∂V ∂cθ(µ − ct− ησc) + 1 2 ∂2V ∂x2σ 2 S+ +1 2 ∂2V ∂c2 σ 2 c+ ∂2V ∂x∂cρσSσc dt + ∂V ∂xσSdW S t + ∂V ∂cσcdW c t+ + V (t, ytSt, ct) − V (t, St, ct) dNt.
Tuttavia, come detto, stiamo lavorando in una misura neutrale al rischio, che esiste ma non `e unica data l’incompletezza del mercato. Allora sappiamo, data l’ipotesi di incorrelazione tra la componente di salto del prezzo spot e il mercato, che il valore atteso della crescita di questo contratto `e pari al tasso d’interesse privo di rischio r. Pertanto otteniamo la seguente relazione:
EQ[dVt] = rVtdt = = ∂V ∂t + ∂V ∂x(r − ct− λk) + ∂V ∂cθ(µ − ct− ησc) + 1 2 ∂2V ∂x2σ 2 S+ +1 2 ∂2V ∂c2 σ 2 c + ∂2V ∂x∂cρσSσc dt + EQ[(V (t, ytSt, ct) − V (t, St, ct))dNt],
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utilizzando il fatto che il moto browniano standard ha media nulla. Ma ora `e possibile usare l’ipotesi di indipendenza tra il numero di salti (Poisson) e l’entit`a del salto (Lognormale), e ottenere in particolare che
EQ[(V (t, ytSt, ct) − V (t, St, ct))dNt] = EQ[V (t, ytSt, ct) − V (t, St, ct)]λdt.
Semplificando ora l’espressione imposta in precedenza, `e possibile ricavare la se- guente relazione per V (t, St, ct):
0 = ∂V ∂t − rVt+ ∂V ∂x(r − ct− λk) + ∂V ∂cθ(µ − ct− ησc) + 1 2 ∂2V ∂x2σ 2 S+ +1 2 ∂2V ∂c2 σ 2 c + ∂2V ∂x∂cρσSσc+ λ EQ[V (t, ytSt, ct) − V (t, St, ct)].
Prendendo in considerazione il termine in valore atteso, si nota come questo sia da considerare globale in quanto i salti (lognormali) possono assumere qualsiasi valore sulla retta reale. Ricordandoci dell’espressione in termini logaritmici del prezzo spot e utilizzando il fatto che
yt ∼ log N eµ+ δ2 2 , e2µ+δ 2 (eδ2 − 1) ⇒ zt def = log(yt) ∼ N (µ, δ) `
e possibile esplicitare, sfruttando la misura di Levy per il processo Merton Jump Diffusion e le definizioni logaritmiche del prezzo spot e dell’ampiezza di salto, il valore atteso nel seguente modo:
λ EQ[V (t, xt+ zt, ct) − V (t, xt, ct)] = Z R [V (t, x + z, c) − V (t, x, c)]ν(dz) dove ν(z) = λf (z) f (z) = √1 2πδe −(z−µ)2 2δ2 .
In realt`a il precedente integrale risulta essere non banale solo per il primo termine ed in particolare l’equazione differenziale pu`o essere riscritta, alla luce di quanto visto, nel seguente modo:
∂V ∂t − (r + λ)Vt+ (r − ct− λk) ∂V ∂x + θ(µ − ct− ησc) ∂V ∂c + 1 2σ 2 S ∂2V ∂x2+ + 1 2σ 2 c ∂2V ∂c2 + ρσSσc ∂2V ∂x∂c + Z R V (t, x + z, c)ν(dz) = 0.
La relazione appena trovata rientra nella categoria delle PIDE (Partial Integro- Differential Equations), caratterizzate in particolare da un termine globale legato
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alla possibilit`a di salto nella dinamica del sottostante. In questo caso inoltre sussiste una particolare condizione per un generico contratto di tipo europeo con scadenza fissata all’istante T in quanto, data la regolamentazione del mercato EU ETS, il prezzo dei permessi assumer`a solo due possibili valori.
Infatti, ricordiamo che sussiste la seguente condizione finale sul prezzo spot dei certificati d’emissione:
ST =
0 se tutte le aziende i ∈ I hanno sufficienti permessi
P se esiste un’azienda i ∈ I che non abbia sufficienti permessi In generale comunque, `e possibile implementare degli schemi numerici ad ele- menti o differenze finite per risolvere la PIDE ricavata precedentemente, che in particolare `e simile all’equazione che si ottiene all’interno del modello di Bates (salti e volatilit`a stocastica). Le tecniche di risoluzione saranno pertanto simili e si rimanda ai lavori di Briani, Natalini, Papi e Ferrari (INRIA) per quanto riguarda il metodo a differenze finite e di Avila e Rapiman per lo schema ad elementi finiti (generalizzazione hp-FEM).
Conclusione
Il nostro lavoro, motivato dalla crescente importanza assunta in questi anni dal mercato dei permessi di emissione per CO2 all’interno dello schema di trading,
regolato dalla Commissione Europea, denominato ETS, ha affrontato il problema della modellizzazione del prezzo degli EUA (European Union Allowances, nome istituzionale dei certificati allocati e poi scambiabili, che coprono ciascuno una ton- nellata di CO2 emessa). Abbiamo affrontato tale questione in due diversi modi,
introducendo in entrambi i casi delle peculiarit`a innovative: abbiamo principal- mente trattato la questione dal punto di vista endogeno, alla luce del lavoro di Chesney e Taschini, e abbiamo successivamente declinato il problema nell’ambito risk-neutral.
Per quanto riguarda la trattazione endogena, l’elemento innovativo che ab- biamo introdotto nel primo capitolo `e stato quello di descrivere la dinamica del processo d’inquinamento per una generica installazione/azienda tramite un pro- cesso di tipo Merton Jump Diffusion, quindi con un termine di salto, alla luce di possibili variazioni improvvise dovute a guasti dell’impianto o grosse differenze nel- la necessit`a di output. Considerando in particolare il caso di due installazioni, che generano emissioni in maniera indipendente, che intendono minimizzare la propria spesa e nel contempo devono adempiere alla normativa imposta dal regolatore, ot- teniamo due relazioni che governano il numero di permessi detenuti dalle aziende e il loro prezzo, in una situazione d’equilibrio sul mercato. Giungiamo in particolare a trovare che, tramite l’introduzione di un effetto ritardo dovuto all’asimmetria informativa nella conoscenza del proprio ed altrui livello d’inquinamento, il valore dei permessi `e legato alle aspettative future circa la probabilit`a che le aziende non riescano a coprire l’ammontare delle proprie emissioni.
Nel secondo capitolo descriviamo invece un modello di mercato in cui si consi- dera sia il caso di due aziende sia il caso generale con la presenza di n installazioni. In particolare modellizziamo la dinamica dei vari processi d’inquinamento con un processo di tipo Ornstein-Uhlenbeck e perveniamo a delle relazioni che determina- no, all’equilibrio, l’allocazione nel tempo dei permessi e il loro valore in maniera
Conclusione
simile a quanto fatto nel capitolo precedente, assumendo anche in questo frangente che vi sia indipendenza tra le varie emissioni. Tramite questo approccio siamo in particolare riusciti a cogliere la caratteristica mean-reversion di questo segmento di mercato, che si riscontra empiricamente dai dati storici. Anche in questo se- condo frangente giungiamo all’interessante risultato di determinare il prezzo degli EUA in base ai parametri che governano la dinamica del processo d’inquinamento. La modellizzazione endogena ci permette quindi di passare dalla dinamica delle emissioni (scelta) al valore dei certificati che le permettono.
Siamo poi passati nel terzo capitolo all’implementazione numerica, nel caso di due aziende e per entrambi i modelli, tramite un metodo montecarlo condizionale della soluzione cosi costruita. Questo ci ha permesso di valutare in che modo la variazione dei parametri e la dotazione iniziale di permessi vadano ad impattare sul prezzo d’equilibrio, di cui forniamo rappresentazioni grafiche. Questo studio circa la sensibilit`a del prezzo pu`o portare possibili indicazioni al regolatore su come meglio perseguire il suo fine e mostrare alle aziende partecipanti l’importanza di una maggior conoscenza del proprio processo d’inquinamento e quindi di un miglioramento delle stime, con lo scopo di ridurre la spesa per regolarizzare la propria posizione in termini di permessi.
Tenendo conto delle indicazioni e degli spunti presenti nella prima parte di questa trattazione, abbiamo considerato interessante l’introduzione del convenien- ce yield, fattore tipico nei lavori che trattano il mercato delle materie prime e che misura l’opportunit`a di detenere oggi un’attivit`a (finanziaria o meno) rispetto al suo possesso in un istante futuro, ed in particolare abbiamo introdotto sia le carat- teristiche di salto, nella dinamica del prezzo spot dei permessi, che di ritorno verso la media, tramite il convenience yield e indirizzati da vari precedenti lavori (Gibson e Schwarz (1990, [16]), Seifert et al. (2008, [23]), Howison e Schwarz (2012)). La componente innovativa che abbiamo introdotto in questa seconda parte di analisi `e la derivazione di un’equazione a derivate parziali integro-differenziale per la va- lutazione, sotto la misura neutrale al rischio, di contratti derivati scritti sul prezzo spot dei permessi d’inquinamento.
Riassumendo, i risultati originali raggiunti da questo lavoro sono pertanto i seguenti: abbiamo teoricamente risolto il problema della valutazione endogena dei permessi per CO2, proposto da Chesney e Taschini in [11], con due diversi modelli
e abbiamo ottenuto un ampliamento della trattazione, per la seconda dinamica proposta, ad un caso generale con molteplici aziende sul mercato. Abbiamo poi realizzato uno studio, condotto numericamente, circa l’influenza dei parametri, uti- lizzati nella modellizzazione dell’inquinamento prodotto, e della dotazione iniziale
Conclusione
di certificati sul prezzo degli EUA, in situazione d’equilibrio. Infine, alla luce del lavoro fin qui svolto, abbiamo incluso le due caratteristiche introdotte in preceden- za per proporre una dinamica risk-neutral del prezzo spot, nel cui drift `e presente anche un termine di convenience yield. In tale ambito abbiamo derivato una PIDE per valutare contratti derivati che hanno come sottostante il valore dei permessi.