Un'analisi del prezzo degli European Union Allowances per CO2 : approccio endogeno e approccio risk neutral

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Politecnico di Milano

Scuola di Ingegneria Industriale e Informazione

Corso di Laurea in Ingegneria Matematica

Tesi di Laurea Magistrale

Un’analisi del prezzo degli European Union Allowances per

CO

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: approccio endogeno e approccio risk-neutral

Relatore: Prof. Carlo SGARRA

Tesi di Laurea di:

Maximilian CASTELLANI Matricola: 782018

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Abstract

L’obiettivo del presente percorso di tesi consiste nella modellizzazione e nell’a-nalisi del prezzo degli EUA - European Union Allowances - scambiabili all’interno della regolamentazione European Trading Scheme. Negli ultimi anni questa tema-tica ha assunto rilevanza crescente, da qui ne deriva la necessit`a di approfondire l’argomento. In particolare, al fine di offrire un ampio spettro di analisi, abbiamo scelto di adottare una duplice prospettiva: un approccio di tipo endogeno, pi`u dettagliato, e un altro di tipo risk-neutral.

Nella prima trattazione, a partire dalla dinamica del processo d’inquinamento caratterizzante le singole aziende, abbiamo ricavato un modello d’equilibrio per il numero di permessi detenuti e per il prezzo che ne deriva. Adottando un nuovo ap-proccio, abbiamo modellizzato le emissioni tramite i processi di tipo Merton Jump Diffusion (capitolo 1) e Ornstein Uhlenbeck (capitolo 2), generalizzando in questo secondo caso il modello ad un generico numero di aziende presenti sul mercato. Successivamente nel capitolo 3 proseguiamo con l’implementazione numerica delle soluzioni individuate tramite il metodo montecarlo condizionale, al fine di ese-guire uno studio dell’impatto sul prezzo d’equlibrio, esercitato dai parametri che descrivono le emissioni e dall’allocazione iniziale dei permessi.

Nel capitolo 4 presentiamo invece il secondo approccio, dove modellizziamo il prezzo spot dei certificati tramite l’introduzione del convenience yield. In parti-colare, questo termine valorizza l’opportunità di detenere un’attività nel presente piuttosto che nel futuro. Le dinamiche che scegliamo di adottare per il prezzo e per il convience yield sono state definite a partire dalla letteratura esistente, e sviluppate in base alle peculiarità che abbiamo introdotto nella modellizzazione dell’inquinamento. Tale procedimento ci consente di pervenire ad un’equazione a derivate parziali integro-differenziale, valida per la valutazione di contratti scritti sul valore degli EUA.

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Abstract

The aim of this thesis is the analysis and modelling of the EUA - European Union Allowances - price, tradable permits within the ETS framework. This topic has taken on a growing relevance during the last few years and this implies the need to deepen the subject. In order to offer a wide view with this analaysis, we have chosen a twofold approach: one is endogenous and more detailed, the other is risk-neutral.

We first provide, starting from the emission dynamic for the polluters, an equilibrium model to evaluate, at each time step, the permits’ allocation among the companies and the resulting price. Introducing an innovation, we describe the emissions with two types of processes: Merton Jump Diffusion (chapter 1) and Ornstein Uhlenbeck (capther 2). In the latter case we also generalize the model to account for a multi-firm case. Afterwards we put on in chapter 3 a numerical method - conditional montecarlo - in a two-firm market to conduct a sensitivity analysis of the equilibrium permit price with respect to the parameters of the companies’ pollution processes and to the initial permits’ endowment.

In the second part of the work, presented in chapter 4, we consider the permit spot price dynamic and we model it through a Jump Diffusion process, with Mean Reversion induced by the definition of a convenience yield, the amount of benefit or premium associated with holding an underlying product rather than owning a futures contract on it. Our choice is based on previous papers and is developed by the features that we have introduced in the pollution model. Thus we are able to provide a partial integro-differential equation that could be used to price derivatives on the EUA spot price.

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Indice

Introduzione 11

1 Il modello endogeno con un processo Jump Diffusion 19 1.1 Il caso di due aziende sul mercato . . . 22 1.1.1 Soluzione per il primo passo temporale . . . 25 1.1.2 Generalizzazione per ogni istante temporale . . . 28 2 Il modello endogeno con un processo Ornstein-Uhlenbeck 33 2.1 Il caso di due aziende . . . 35 2.2 Il modello per un generico numero di aziende . . . 37

3 Il metodo numerico 43

3.1 L’analisi per la dinamica Jump Diffusion . . . 44 3.2 L’analisi per la dinamica Ornstein-Uhlenbeck . . . 50 4 La modellizzazione in ambito risk-neutral 55

Conclusione 61

Bibliografia 65

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Elenco delle figure

1 Volumi di trading per EUA, in milioni di tonnellate . . . 13

2.1 Emissioni giornaliere per una centrale a carbone . . . 34

3.1 Emissioni e prezzo dei certificati (α1 = 0.15, α2 = 0.1) . . . 44

3.2 Emissioni e prezzo dei certificati (α1 = −0.15, α2 = 0.01) . . . 45

3.3 Prezzo dei certificati al variare di α1 . . . 46

3.4 Prezzo dei certificati al variare di σ1 . . . 47

3.5 Prezzo dei certificati al variare di λ1 . . . 47

3.6 Prezzo dei certificati al variare di µ1 . . . 48

3.7 Prezzo dei certificati al variare di δ1 . . . 49

3.8 Prezzo dei certificati al variare di N1 e N2 . . . 49

3.9 Prezzo dei certificati al variare di µ1 . . . 50

3.10 Prezzo dei certificati al variare di σ1 . . . 51

3.11 Prezzo dei certificati al variare di θ1 . . . 52

3.12 Prezzo dei certificati al variare di N1 e N2 . . . 52

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Elenco delle tabelle

1 Fasi del sistema EU ETS . . . 12 2 Esempi di prezzo e volume per EUA (Fonte: mercato EEX) . . . 13

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Introduzione

Negli ultimi anni si assiste ad un’attenzione sempre maggiore verso i cambiamen-ti climacambiamen-tici, da parte delle iscambiamen-tituzioni preposte a monitorare questa evoluzione e a legiferare in materia, al fine di trovare dei metodi efficaci di riduzione dell’in-quinamento globale. Tra questi, il CO2 trading e pi`u in generale gli strumenti

di policy basati sul mercato hanno assunto un ruolo rilevante: infatti i benefici economici di questo approccio rispetto alla più tradizionale regolamentazione di tipo command and control, basata sulla standardizzazione del livello di emissioni e delle procedure operative, sono stati ampiamente stabiliti1. Questa modalità, in cui i permessi sono scambiabili, risulta dunque efficace poichè genera un segnale di prezzo che stimola le aziende verso nuove e più efficienti tecnologie per ridurre le proprie emissioni.

Nel 2005, per cercare di raggiungere gli obiettivi fissati dal Protocollo di Kyoto (ridurre le emissioni di gas serra dell’8%, rispetto ai livelli del 1990, entro la fine del 2012), la Commissione Europea ha dato il via al primo meccanismo di trading di emissioni denominato European Union Emission Trading Scheme (EU ETS), che attualmente risulta il pi`u grande al mondo: tutte le installazioni che superano i 20MW sono incluse nello schema, di diverse tipologie quali impianti siderurgici, cementifici, cartiere, raffinerie e forni a coke. Vi partecipano pi`u di 12.000 aziende, centrali elettriche ed altre tipologie d’impianti che costituiscono, in termini di emissioni, il 50% per i livelli di CO2 e il 40% per i gas serra2, rispetto al totale

prodotto negli stati membri della EU3_.

Ogni nazione partecipante propone un National Allocation Plan (NAP) che include dei limiti alle emissioni di gas serra per le centrali elettriche ed altre fonti consistenti di emissioni, sottoposti successivamente all’approvazione della Commis-sione Europea. Dopo un iniziale periodo di prova, nel 2008 sono stati rinnovati i

1_{Klaassen (1996), Baumol and Oates (1988), Tietenberg (1985), Muller and Mestelman (1994)} 2_{Per le installazioni qui considerate: CH}

4, N2O, HFC e PFC, SF6. Inoltre esiste una scala

d’equivalenza, in termini di CO2, che permette di comparare le emissioni di vario tipo tramite il

global warming potential (GWP).

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Introduzione

piani d’allocazione validi fino al 2012, anno di inizio del terzo periodo (vedi tabella 1).

2005-2007, primo periodo: Fase di ”learning by doing”. EU ETS si afferma con successo come il pi`u grande mercato di emissioni. Il numero di permessi, basato sulle stime del fabbisogno, si rivela essere eccessivo; in conseguenza di ci`o il prezzo dei certificati crolla verso lo zero durante il 2007.

2008-2012, secondo periodo: Si aggiungono Islanda, Norvegia e Lichtenstein (01.01.2008). Il numero di permessi `e ridotto del 6,5% durante il periodo ma le emissioni, a causa della crisi economica e della conseguente riduzione del-la domanda, sono scese maggiormente. Questo ha condotto ad un surplus di certificati inutilizzati che pesano sul prezzo.

2013-2020, terzo periodo: Vengono messe in atto riforme rilevanti. I pi`u grossi cambiamenti sono l’introduzione di un cap globale, ridotto progressiva-mente ogni anno, e un progressivo aumento dell’allocazione dei permessi trami-te asta, in sostituzione della fornitura gratuita. Anche la Croazia si unisce al programma (01.01.2013).

Tabella 1: Fasi del sistema EU ETS

Entrando nel dettaglio, il sistema adottato è di tipo cap-and-trade: il cap in-dica un target o un limite fissato che diminuisce nel tempo (dal 2013 diminuirà di 1,74% su base annua), mentre il termine trade si riferisce alla possibilità di scambiare i permessi, definiti European Union Allowances (EUA). Tali certificati, che danno a chi li possiede la possibilità di emettere una tonnellata di CO2, sono

emessi dal regolatore e allocati alle installazioni partecipanti tramite asta oppure tramite grandfathering, ovvero sulla base delle emissioni fatte registrare in prece-denza4. A questo si aggiunge la presenza di una penalit`a (inizialmente fissata a 40e/t, attualmente pari a 100 e/t) che un impianto `e tenuto a pagare se ad ogni controllo annuale del proprio livello di emissioni non possiede un numero sufficiente di permessi.

Il 30 aprile di ogni anno l’azienda consegna un numero di permessi equivalen-te all’ammontare totale delle emissioni dell’anno precedenequivalen-te5_{. Questo volume `}_e

verificato da una terza parte in loco e da remoto mentre i crediti usati per copri-re le emissioni vengono cancellati dal sistema, tramite il Community Independent Transaction Log (CITL). Inoltre i certificati che non sono utilizzati possono essere, oltre che venduti, posti a riserva per essere disponibili l’anno successivo. Tuttavia non è possibile invece prenderli a prestito, ovvero usare alcuni crediti del prossimo anno ora e non averli più disponibili in futuro. Infine si specifica che qualsiasi ope-ratore che non riesce a coprire il proprio livello di emissioni è tenuto non solo al

4_{cfr. Bahn et al. (1997) per una spiegazione dettagliata circa l’allocazione iniziale di permessi} 5_{cfr. articolo 12(3) della Direttiva 2003/87/EC}

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Introduzione

Figura 1: Volumi di trading per EUA, in milioni di tonnellate

pagamento della suddetta penalit`a ma anche, l’anno successivo, a coprire l’eccesso di inquinamento con degli ulteriori permessi.

17/09/2013 26/09/2013 Prezzo 5.44 e/tCO2 5.32 e/tCO2

Volume 3.461.500 tCO2 4.020.000 tCO2

Tabella 2: Esempi di prezzo e volume per EUA (Fonte: mercato EEX)

I tre mercati pi`u importanti per i permessi di CO2, in termini di volumi di

scambio, risultano essere: European Energy Exchange (EEX, Lipsia), European Climate Exchange (ECX, Londra) e Powernext (Parigi). Inoltre, a livello teorico, il prezzo d’equilibrio degli EUA è pari ai costi marginali di abbattimento delle emissioni (cfr. Seifert et. al. (2008, [23])). Intuitivamente, tale risultato è sensato in quanto è ragionevole acquistare i permessi se i costi marginali di riduzione sono maggiori del prezzo degli EUA, mentre invece conviene ridurre le emissioni se questi costi sono minori del prezzo dei certificati. Un altro importante risultato stabilisce che, all’interno dello schema di trading, i costi marginali per l’abbattimento sono uguali per ogni azienda (cfr. Rubin, 1996).

La domanda e l’offerta di certificati EUA sono influenzate da molteplici fattori. Consideriamo in particolare cinque fonti di rischio/opportunit`a:

• Prezzo del combustibile • Meteo

• Prodotto interno lordo • Progresso tecnologico • Situazione politica

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Introduzione

Innanzitutto, il rapporto tra i prezzi di gas e carbone determina quale materia prima verrà più probabilmente impiegata, specialmente nella produzione di ener-gia elettrica. In particolare il gas necessita meno EUA rispetto al carbone, per un MWh, dunque la domanda di permessi sarà minore quando il carbone è meno economico rispetto al gas. Il tempo atmosferico risulta essere un fattore impor-tante che influenza la dinamica della domanda e dell’offerta di energia elettrica: ad esempio durante un’estate molto calda, la temperatura dell’acqua di mari e fiumi si innalza e diminuisce quindi la capacità di raffreddamento degli impianti nucleari6. Ciò determina una riduzione dell’efficienza che dev’essere compensata da altre installazioni, che potrebbero emettere più CO27. Per quanto concerne

la crescita ecomica, risulta evidente che un incremento del PIL implica maggiori volumi di produzione. Ciò necessariamente porta ad un incremento della doman-da di energia che, a sua volta, innalza la richiesta, quindi il prezzo, dei certificati EUA. Tuttavia tale dato aggregato può essere previsto con una confidenza tale da rendere l’impatto appena esposto, su base giornaliera, non eccessivamente si-gnificativo. Allo stesso modo l’innovazione tecnologica è un processo di sviluppo piuttosto lento, soprattutto per quanto riguarda l’implementazione su larga sca-la, quindi i suoi effetti si possono ragionevolemente considerare compensati dalla riduzione annua del cap. Proprio questo decremento annuo, imposto dal regolare dello schema ETS, indica che le decisioni a livello politico e le conseguenti leggi emanate influiscono in maniera sostanziale sul prezzo degli EUA.

Le aziende coinvolte in questo schema hanno dunque molta libertà nella scelta di come adempiere alle richieste di riduzione delle emissioni. Infatti non è richiesta alcuna tecnologia particolare, non è imposto un tasso di emissione uniforme e le installazioni inquinanti possono anche scegliere di non rispettare i livelli massimi fissati. Tuttavia il trading dei suddetti permessi fornisce alle aziende che hanno metodi a basso costo per ridurre le emissioni un incentivo, in quanto potrebbero avere un surplus di certificati da poter vendere ad altre installazioni che, altrimenti, dovrebbero sostenere un processo di riduzione degli inquinanti molto costoso.

Per quanto concerne poi la diminuzione delle emissioni, sono possibili tre tec-niche generali8:

6_{Esemplificativo in tal senso `}_{e il caso dell’unit`}_{a 2 del reattore nucleare di Milestone nel}

Connec-ticut, chiuso il 12/08/2012 a causa dell’elevata temperatura dell’acqua marina che ha raggiunto i 24.8℃, un grado al di sopra del limite imposto dalle regole di sicurezza del reattore.

7_{Un esempio particolare `}_{e il seguente: a seguito del disastro di Fukushima del marzo 2011, il}

Giappone ha deciso di chiudere e manutenere ogni 13 mesi tutti i suoi reattori. Ci`o ha portato ad un forte decremento della produzione di energia da reattori nucleari (-94%) e ad un incremento, intorno al 20%, delle emissioni di CO2(fonte IEA, settembre 2013).

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Introduzione

• Diminuire i volumi in uscita, ovvero scalare al ribasso l’impianto.

• Cambiare il processo produttivo o gli input usati, come ad esempio il com-bustibile.

• Installare dei filtri nella parte finale per rimuovere gli inquinanti prima dell’immissione nell’ambiente.

Analizzando la prima soluzione, si può considerare più un’eccezione che la regola: la situazione tecnologica europea è infatti abbastanza avanzata e la domanda, per particolari prodotti come l’energia elettrica e i minerali grezzi, è anelastica. Per quanto riguarda la possibilità di fuel-switching, ovvero di cambiare il carburan-te del processo, si nota che è generalmente implementato di rado (escludendo la sostituzione del carbone con gas naturale). Questo perchè le grosse installazioni acquistano forniture di carburante stipulando dei contratti di lunga durata, rima-nendo cosi piuttosto legati alle decisioni prese. Inoltre il cambio di combustibile `

e generalmente messo in pratica quando esiste una sensibile differenza di prezzo9_,

pertanto `e anche plausibile che l’andamento del prezzo dei permessi non abbia effettivamente reso vantaggiosa quest’opportunit`a. Infine, sull’implementazione della terza strada incide il fatto che gli investimenti infrastrutturali in questo tipo di tecnologia impongono un impegno di anni che tipicamente richiede parecchio tempo prima di essere efficace10. Pertanto, alla luce del fatto che questi investi-menti risultano costosi, duraturi e irreversibili, non sono considerati come perfetta sostituzione dei permessi di emissione.

L’assunzione principale, che sottende questa regolamentazione, `e che il trading dei crediti tra le parti permette di raggiungere una data riduzione di emissioni al minor costo possibile, considerando le installazioni nel loro complesso. Pertan-to, come accennato inizialmente, questo sistema ”valorizza l’inquinamento” e ne aumenta il prezzo al crescere della domanda di certificati, rendendo dunque pi`u vantaggioso investire in tecnologie pulite.

Dato che l’inizio ufficiale dello scambio di permessi e futures risale al 2005, ci sono diversi lavori che hanno investigato il comportamento del prezzo dei contratti spot e future per CO2 mentre pochi studi sono stati fatti circa la relazione tra i due

mercati. Benz e Tr¨uck (2009, [5]), Seifert et al. (2008, [23]) cosi come Paolella e Ta-schini (2008, [21]) hanno fornito un’analisi econometrica dell’andamento del prezzo dei permessi e hanno analizzato diversi modelli per la dinamica del prezzo spot, validi a breve termine. In particolare Seifert considera un agenete rappresentativo

9_{Un altro importante e realistico fattore sono i costi di start-up} 10_{Farzin and Kort (2000) and Zhao (2003)}

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Introduzione

che decide se investire o meno nella riduzione del livello d’inquinamento. Il model-lo si basa sulla decisione di abbattimento ottimo per un’azienda che emette CO2,

quindi `e molto variabile rispetto al valore atteso delle emissioni totali. Conrad et al. (2011) modellizza il processo di adeguamento del prezzo in risposta al rilascio di annunci/dati ad alta frequenza. Hanno ipotizzato che le decisioni della Com-missione Europea sul National Allocation Plan hanno un impatto significativo ed immediato sul prezzo degli EUA, che in particolare cresce quando vengono annun-ciate notizie migliori delle attese circa lo sviluppo economico futuro. Fehr e Hinz (2006, [15]) hanno scoperto che un aumento del cambio di combustibile (carbone → gas) incide significativamente sul prezzo spot. Burtraw et al. (2002), B¨ohringer e Lange (2005, [7]), Schleich et al. (2006, [22]) effettuano delle simulazioni sul mercato della CO2 al variare di cambiamenti nei diversi parametri che

determina-no il mercato. Chevallier (2009, [12]) esamina invece la relazione empirica tra i profitti sui futures di CO2 e i cambiamenti delle condizioni macroeconomiche,

ar-gomentando che il guadagno dei futures può essere debolmente previsto sulla base di due variabili del mercato azionario ed obbligazionario: il tasso di dividendo dell’equity e il premio per i bond spazzatura. Sempre Chevallier (2011) suggerisce che le revisioni annuali del livello d’inquinamento, insieme all’incertezza crescente sugli accordi internazionali post-Kyoto, possa spiegare l’instabilità della volatilità per i prezzi degli EUA. Infine, esaminando il prezzo dei permessi e dei derivati associati, Daskalakis et al. (2009, [14]) mostrano come i partecipanti a questo schema di trading adottino una tecnica standard di definizione del prezzo tramite non arbitraggio.

Più in generale, i primi lavori che trattano delle tecniche, basate sul mercato, per affrontare il problema dell’inquinamento sono di Coase (1960) e Dales (1968). In questi paper, la problematica della riduzione delle emissioni è inquadrata nell’ot-tica economica di tipo costi-benefici, in relazione al concetto di diritti di proprietà: si propone in particolare l’idea base dei certificati scambiabili. Basandosi su que-sta propoque-sta, Montgomery (1972) fornisce una giustificazione teorica rigorosa di come un approccio basato sul mercato induca all’allocazione efficiente dei costi di abbattimento delle emissioni tra le diverse fonti d’inquinamento. Deriva inoltre condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio e l’efficienza del mercato, nella si-tuazione in cui più aziende che cercano di massimizzare il proprio profitto vogliono minimizzare i costi totali per adeguarsi a quanto stabilito dal regolatore.

Come detto in precedenza, molti tra gli attuali lavori di ricerca si basano sul risultato teorico, mostrato e discusso da Cronshaw e Kruse (1996) e Rubin (1996), tale per cui, in un mercato efficiente, il prezzo d’equilibrio dei permessi `e uguale

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Introduzione

al costo marginale della più economica soluzione per ridurre l’inquinamento. Ta-le risultato, tuttavia, è ricavato in un modello stilizzato che ignora l’incertezza. Schennach (2000) sistema questa forte limitazione ed estende il modello di Rubin. Questo lavoro è tra i primi che analizza implicitamente il prezzo dei permessi con un modello stocastico. Nonostante l’autore non fornisca una soluzione analitica esatta del problema di ottimizzazione, ipotizza che quando nuove informazioni sono disponibili è possibile che il processo d’inquinamento e di prezzo abbiano cuspidi e discontinuità.

Per quanto riguarda invece la seconda parte di questo lavoro, la modellizzazio-ne sotto la misura modellizzazio-neutrale al rischio e l’introduziomodellizzazio-ne del convenience yield, diversi studi hanno mostrato che il prezzo di prodotti finanziari e delle materie prime seguono un processo con ritorno verso la media, che indica un meccaniscmo di bi-lanciamento interno. Gibson e Schwartz (1990, [16]) hanno sviluppato un modello a due fattori gaussiano. Sempre Schwartz (1997) e Miltersen e Schwartz (1998) hanno proposto un modello a tre fattori (prezzo spot, convenience yield, tasso d’in-teresse) per la valutazione di futures su materie prime. Milunovich e Joyeux (2010, [20]) e Montagnoli e De Vris (2010) studiano la cointegrazione tra prezzo spot e future e valutano l’efficienza delle prime due fasi del mercato delle emissioni. Liu e Tang (2010) mostrano, con uno studio econometrico, il comportamento stocastico del prezzo in presenza di eteroschedasticit`a nel convenience yield. Infine Zang e Wei (2011) e Chang et al. (2013, [10]) mostrano, tramite evidenze empiriche, co-me la co-mean-reversion sia riscontrabile nel convenience yield e nel prezzo spot sul mercato EU ETS.

In questo lavoro generiamo in maniera endogena le dinamiche di prezzo dei per-messi scambiabili in presenza di asimettria informativa. Il modello si basa su un numero finito T di periodi, un numero fissato di aziende e un’allocazione iniziale, data a ciascuna compagnia, predeterminata e di pubblico dominio. In partico-lare, come abbiamo visto precedentemente, è relativamente difficile modificare il proprio processo produttivo o gli output in un breve periodo di tempo. Pertan-to, assumiamo che ciascuna azienda emetta secondo un processo stocastico dato in maniera esogena. Inoltre, data la tipologia e l’eterogeneità delle installazioni presenti nello schema, ipotizziamo che vi sia indipendenza tra i diversi processi inquinanti. A partire da questo studiamo come, date le condizioni finali sul prezzo spot alla luce della presenza di penalità, la minimizzazione dei costi da parte di ciascuna azienda porti alla determinazione del numero di permessi d’equilibrio de-tenuti dalle singole compagnie e del prezzo d’equilibrio degli EUA. In particolare, nel primo e nel secondo capitolo, presentiamo due possibili modelli del processo

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Introduzione

d’inquinamento e deriviamo cosi le corrispondenti equazioni che determinano il numero di permessi detenuti ed il prezzo. Per entrambi eseguiamo poi, nel terzo capitolo, un’analisi di sensibilit`a del prezzo rispetto ai parametri del modello con un approccio di tipo ceteris paribus, tramite l’utilizzo di simulazioni montecarlo. Infine nel quarto capitolo uniamo le caratteristiche distintive dei precedenti due modelli e modellizziamo, in questo caso in misura neutrale al rischio, direttamente il valore dei permessi per CO2, introducendo il concetto di convenience yield e

inserendolo nella dinamica del prezzo spot degli EUA.

Segnatamente, il lavoro `e organizzato come segue: nel capitolo 1 modellizziamo il processo d’inquinamento con un processo di tipo Merton Jump Diffusion in pre-senza di due aziende operanti sul mercato, nel capitolo 2, all’interno dello stesso modello di mercato, descriviamo la dinamica delle emissioni tramite un processo di tipo Ornstein-Uhlenbeck e includiamo la presenza di un generico numero n di aziende. Nel capitolo 3 implementiamo numericamente quanto visto nei due capi-toli precedenti e valutiamo, tramite simulazioni montecarlo, la dinamica del prezzo dei permessi al variare dei parametri che descrivono il processo d’inquinamento. Infine al capitolo 4 consideriamo, sotto una misura di martingala equivalente, le due caratteristiche principali dei modelli al capitolo 1 e 2 e modellizziamo il prezzo spot dei certificati alla luce di questi due aspetti e tramite l’introduzione del conve-nience yield, termine che misura la convenienza di detenere un’attivit`a finanziaria piuttosto che un future legato a questa.

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Capitolo 1

Il modello endogeno con un

processo Jump Diffusion

Partendo dalla trattazione presente nell’articolo di Chesney e Taschini (2011, [11]), che propongono di cogliere la dinamica delle emissioni tramite un moto browniano geometrico (GBM):

dQi,t

Qi,t

= µidt + σidWi,t,

ampliamo la modellizzazione e includiamo la presenza di salti. In particolare si sceglie un processo di tipo Merton Jump Diffusion (MJD), modello incluso nella categoria degli Exponential Levy, quindi della seguente forma:

Qt= Q0eLt

dove il processo stocastico cadlag (Lt)t≥0su (Ω,F, P) `e un processo di Levy, quindi

per definizione ha le seguenti propriet`a (cfr. [13]): (1) L0 = 0 .

(2) Incrementi indipendenti: per ogni sequenza crescente di tempi t0, . . . , tn,

le variabili aleatorie Lt0, Lt1 − Lt0, . . . , Ltn − Ltn−1 sono indipendenti.

(3) Incrementi stazionari: la legge di Lt+h− Lt non dipende da t.

(4) Continuit`a stocastica: ∀ε > 0, lim

h→0P(|Lt+h− Lt| ≥ ε).

In particolare quest’ultima condizione non implica che le traiettorie siano continue ma serve ad escludere i processi con salti ad istanti di tempo fissati (non casuali), che possono essere considerati effetti stagionali (calendar effects) e quindi esulano la nostra trattazione. Ci`o significa che per un generico istante t, la probabilit`a di

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CAPITOLO 1. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO JUMP DIFFUSION

vedere un salto in t `e nulla: le discontinuit`a si verificano a tempi aleatori.

All’interno della suddetta classe, optiamo per un processo composto da un moto browniano con drift (processo diffusivo continuo) e da un processo di Poisson composto (processo di salto discontinuo) tale che

Lt = mt + σWt+ Nt X i=1 Yi, m = α − σ2 2 − λk . (1.1) Entrando nel dettaglio, consideriamo innazitutto il poisson composto: un pro-cesso stocastico con intensit`a λ > 0 e distribuzione dell’ampiezza di salto f definito da Xt= Nt X i=1 Yi,

dove le grandezze dei salti Yi sono i.i.d. con distribuzione f e Nt `e un processo di

Poisson di parametro λ, indipendente da (Yi)i≥1.

La nostra scelta ricade in particolare sulla normalit`a dell’ampiezza di salto, per-tanto risulta che

Yi i.i.d.

∼ N (µ, δ2_).

Inoltre, il processo di Poisson composto (processo di Levy costante a tratti) `e definito ad attivit`a finita in quanto la sua misura di Levy

ν(A)def_{= E[#{t ∈ [0, 1] | ∆X}t6= 0, ∆Xt ∈ A}, A ∈B(R)

è finita (il numero medio di salti per unità di tempo è finito), dato che

ν(dx) = λf (dx) ⇒ Z +∞

−∞

ν(dx) = λ < +∞.

Deriviamo ora il modello proposto. Ipotizziamo che durante un piccolo inter-vallo temporale dt il processo d’inquinamento salti da Qt a ytQt (indichiamo con

yt l’ampiezza di salto assoluta). Allora la grandezza di salto relativa (differenza

percentuale del livello d’inquinamento causata dal salto) sar`a pari a dQt

Qt

= ytQt− Qt Qt

= yt− 1.

Ma dalle ipotesi fatte sulla distribuzione dei salti, sappiamo anche che ln(yt) i.i.d.

∼ N (µ, δ2_{). Ma questo implica che}

E[yt] = eµ+

δ2

2 V ar[y_t] = e2µ+δ 2

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A questo punto, l’equazione differenziale stocastica che incorpora le suddette pro-priet`a e rientra nella nostra modellizzazione `e la seguente:

dQt

Qt

= (α − λk)dt + σdWt+ (yt− 1)dNt (1.2)

dove α è il drift del processo d’inquinamento, σ è la volatilità istantanea condizio-natamente al fatto che non ci siano salti, Wtè un moto browniano standard e Nt

`

e il processo di Poisson precedentemente menzionato.

Un’assunzione standard `e considerare Wt, Nt e yt tra loro indipendenti. Inoltre

l’ampiezza di salto relativa, yt−1, `e lognormale con media E[yt−1] = eµ+

δ2

2 −1 ≡ k.

Questo poich`e il valore atteso del cambiamento relativo indotto dalla parte di salto dNtnell’intervallo di tempo dt `e λkdt, in quanto E[(yt−1)dNt] = E[yt−1]E[dNt] =

kλdt. Questa `e la parte di salto predicibile. Allora il drift del processo αdt `e cor-retto dal termine −λkdt al fine di rendere il termine di salto un’innovazione non predicibile:

E dQt

Qt

= E[(α − λk)dt] + E[σdWt] + E[(yt− 1)dNt]

= (α − λk)dt + 0 + λkdt = αdt .

Risolviamo ora l’equazione differenziale stocastica (1.2) per verificare che sia un exponential Levy nella forma (1.1). Consideriamo in particolare, per processi di tipo Jump Diffusion nella forma

Xt = X0+ Z t 0 bsds + Z t 0 σsdWs+ Nt X i=1 ∆Xi,

la formula di Ito (cfr. Cont, Tankov [13]):

df (Xt, t) = ∂f (Xt, t) ∂t dt + bt ∂f (Xt, t) ∂x dt + σ2 t 2 ∂2_{f (X} t, t) ∂x2 dt+ + σt ∂f (Xt, t) ∂x dWt+ [f (Xt−+ ∆Xt) − f (Xt−)].

(22)

Applicando suddetta formula a f (Qt, t) = ln(Qt), otteniamo

d ln(Qt) = ∂ ln(Qt) ∂t dt + (α − λk)Qt ∂ ln(Qt) ∂Qt dt + σ 2_Q2 t 2 ∂ ln(Qt) ∂Q2 t dt+ + σQt ∂ ln(Qt) ∂Qt dWt+ [ln(ytQt) − ln(Qt)] = (α − λk)Qt 1 Qt dt +σ 2_Q2 t 2 − 1 Q2 t dt + σQt 1 Qt dWt+ [ln(yt)+ + ln(Qt) − ln(Qt)] = (α − λk)dt − σ 2 2 dt + σdWt+ ln(yt),

integrando poi tra 0 e t, si trova proprio il processo (1.1).

1.1 Il caso di due aziende sul mercato

Discostandoci dall’analisi del prezzo dei certificati fatta da Seifert et al. (2008, [23]) o da Fehr e Hinz (2006, [15]), in cui è presente un agente rappresentativo o un social planner rispettivamente, consideriamo una situazione in cui diverse aziende (in questo caso due) operano sul mercato e il risultato dell’interazione tra le loro strategie di ottimizzazione è il driver fondamentale del prezzo. Inoltre, l’intrinseca incertezza per quanto riguarda il livello di emissioni incide sulla per-cezione del mercato di una maggior flessibilità dei permessi EUA rispetto ad altre misure di abbattimento dell’inquinamento. Altri fattori che incidono in tal senso sono l’incertezza della domanda per prodotti o servizi, che porta ad una variazione dei livelli di produzione, l’incertezza del monitoraggio, la variabilità nella qualità degli input utilizzati, l’aleatorietà della situazione meteorologica e ambientale. In aggiunta a ciò c’è un’informazione imperfetta, comune a tutte le aziende, riguardo i livelli di emissione che porta generalmente a due situazioni, entrambe piuttosto indesiderate: da un lato trovarsi in una situazione con pochi permessi e dall’altro possedere un surplus di certificati. Infatti il primo scenario implica un eccesso di emissioni nell’ambiente con una conseguente penalità per la violazione mentre il secondo caso rappresenta un valore di mercato e/o produttivo non realizzato. Risultato di queste condizioni è la necessità di partecipare in questo mercato al fine di ribilanciare il proprio conto crediti vendendo o acquistando permessi. In-fatti l’evidenza data dai prezzi storici suggerisce che una buona parte delle aziende

(23)

coinvolte cambiano dinamicamente le proprie posizioni al fine di assicurare la co-pertura delle emissioni alla fine del periodo. Tuttavia da un lato alcune società comprano o vendono in maniera continuativa i permessi in base alla differenza tra la propria posizione e il valore atteso del futuro livello di emissioni, dall’altro le restanti aziende hanno un approccio più speculativo e vendono i propri permessi quando il prezzo è altro, ricomprandoli poi in seguito qual’ora ne avessero bisogno o se il prezzo dovesse essere sufficientemente basso.

Modellizziamo quindi il mercato in maniera multiperiodale con la presenza di due aziende che scambiano permessi.

Sia (Ω,F, {F}t≥0, P) lo spazio di probabilit`a, dove la filtrazione {Ft}t≥0 `e data

dalle σ-algebra Ft = σ(∪i∈IQi,s, s ∈ [0, t]) con I = {1, 2}. Ciascuna installazione

emette continuamente inquinanti secondo un processo endogeno di tipo MJD ed inoltre ipotizziamo che vi sia indipendenza tra le due aziende e quindi tra le loro emissioni1_.

Abbiamo pertanto che: dQi,t

Qi,t

= (αi− λiki)dt + σidWi,t+ (yi,t− 1)dNi,t, Q1,t ⊥ Q2,t

Indichiamo ora con Xi,t la quantit`a di permessi che la i-esima societ`a compra

(Xi,t > 0) o vende (Xi,t < 0) all’istante t e con Ni,0 l’allocazione iniziale di

per-messi di cui dispone ciascuna azienda. Nello schema ETS, di tipo cap-and-trade, la riduzione del target `e fissata all’inizio di ogni fase (annualmente), pertanto l’ammontare di permessi scambiati `e dato da:

N = N1,0+ N2,0

Inoltre il numero di certificati che ogni azienda possiede al tempo t `e definibile, ricorsivamente, come: δi,t def = Ni,0+ t X s=0 Xi,s = δi,t−1+ Xi,t ∀ t = 1, 2, . . . , T − 1.

Pertanto, dato che il numero totale di permessi `e fissato, abbiamo il seguente

1_{Lo schema ETS copre 5 diversi settori industriali, pi`}_{u di 12000 installazioni in 25 paesi}

europei. Risulta pertanto plausibile che due aziende, anche se operanti nello stesso settore, abbiano distinti fattori, a livello tecnico, economico e operativo, che ne determinano le emissioni.

(24)

vincolo di mercato:

δi,t+ δi,t = N ∀ t = 0, 1, . . . , T − 1. (1.3)

Tale equazione si pu`o riformulare equivalentemente come: X1,t = −X2,t ∀ t = 0, 1, . . . , T − 1.

Definiamo ora l’ammontare netto di inquinamento accumulato (NAPV) per ogni azienda i, al generico istante t, come

N AP Vi,t def = Z t 0 Qi,tds − δi,t−1 ∀ t = 0, 1, . . . , T − 1

Per quanto concerne la possibilit`a di conoscere il livello di emissioni di ciascuna azienda, introduciamo un’ipotesi secondo la quale al tempo t ∈ [0, T ] l’azienda i conosce esattamente il suo inquinamento netto, pari a

Z t

0

Qi,tds − δi,t−1,

mentre invece ha solo una conoscenza parziale del volume netto d’inquinamento prodotto dall’azienda j, in particolare con un ritardo che si considera pari ad un passo temporale:

Z t−1

0

Qj,sds − δj,t−1.

Detto altrimenti, l’asimmetria informativa legata all’ammontare delle emis-sioni implica la presenza di un effetto ritardo sul valore atteso dell’NAPV del-l’altra azienda. Questo comporta il fatto che lo scambio di permessi ad ogni istante t avviene ipotizzando un certo valore atteso dell’inquinamento dell’altra installazione.

Consideriamo ora la situazione a T , istante finale in cui avviene il computo dei permessi necessari per coprire le proprie emissioni. Se entrambe le aziende sono in una situazione di eccesso di certificati, allora i permessi in surplus non avranno valore. Al contrario, se almeno un’azienda è a corto di permessi, allora questi avranno un prezzo ˜P ∈ (0, P ], poichè altrimenti la società che non ha sufficienti certificati pagherà direttamente la penale.

In accordo quindi con la costruzione del mercato esposta sopra, al tempo T `e possibile individuare le seguenti quantit`a, necessarie per calcolare la posizione finale delle due aziende:

(25)

• quanti permessi i vende a j, se i `e in surplus e j in deficit Γdef= min δi,T −1− Z T 0 Qi,sds + ; Z T 0 Qj,sds − δj,T −1 +

• quanti permessi i compra da j, se i `e in deficit e j in surplus Σdef= min Z T 0 Qi,sds − δi,T −1 + ; δj, T − 1 − Z T 0 Qj,sds +

Pertanto è possibile stabilire la spesa che l’azienda dovrà sostenere in T attra-verso la somma di tre quantità: l’ammontare della penalità, l’esborso che l’azienda i elargisce a j e viceversa l’introito che i percepisce da j. Usando la notazione appena introdotta, otteniamo che:

STXi,T = P Z T 0 Qi,sds − δi,T −1 + − Σ + ˜P Σ − ˜P Γ

Tuttavia, seguendo l’ipotesi fatta da Chesney e Taschini ([11] e anche in [21]), `e ragionevole assumere che ci sia indifferenza, per ciascuna installazione in deficit, tra acquistare i permessi o pagare la penalit`a e che non vi sia un’azienda in posizione di forza sul mercato.

Da quest’ipotesi discende che ˜P = P e dunque

ST =    0 se ∀ i ∈ I R₀T Qi,sds ≤ δi,T −1 P se ∃ i ∈ I t.c. R₀T Qi,sds > δi,T −1 Xi,T = Z T 0 Qi,sds − δi,T −1 + − Γ, ∀ i ∈ I.

1.1.1 Soluzione per il primo passo temporale

Dalla struttura del mercato nasce un problema di minimizzazione dei costi per ogni azienda (qui consideriamo in particolare l’installazione i). In particolare ad un passo dalla fine del periodo di compliance, quindi in T − ∆t, la spesa da minimizzare risulter`a essere

min

X1,T −∆t

{ST −∆tX1,T −∆t+ e−η∆tEP[STX1,T|F 1

T −∆t]} (1.4)

La modellizzazione del processo inquinante avviene, come abbiamo detto, tra-mite due processi di tipo MJD. Pertanto, ricordando che si considerano

(26)

indipen-CAPITOLO 1. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO JUMP DIFFUSION

denti tra loro Wt, Nte yt, la legge di Lt= ln

Qt Q0 ha la seguente rappresentazione tramite serie: P(Lt= x) = +∞ X i=0 P(Nt= i) P(Lt = x|Nt = i) = +∞ X i=0 e−λt(λt)i i! N (x; mt + iµ, σ 2_{t + iδ}2₎ Dove in particolare: N (x; mt + iµ, σ2t + iδ2) = 1 p2π(σ2_{t + iδ}2₎exp −(x − (mt + iµ)) 2 2(σ2_{t + iδ}2₎ .

Derivando ora la condizione al prim’ordine per il problema di minimizzazione (1.4), otteniamo che: ST −∆t ≡ e−η∆tP EPh1RT 0 Q1,sds>δ1,T −∆t|F 1 T −∆t i + + e−η∆t_{P E}_Ph1_δ 1,T −∆t> RT 0 Q1,sds1 RT 0 Q2,sds>δ2,T −∆t|F 1 T −∆t i (1.5) Introduciamo anche l’asimmetria informativa ipotizzata tra le due aziende e ap-prossimiamo il processo d’inquinamento, in particolare discretizziamo l’ammontare totale delle emissioni, tenendo conto delle informazioni note in T − ∆t dall’azienda i: Z T 0 Q1,sds ' Z T −∆t 0 Q1,sds + Q1,T −∆teL 1 ∆t∆t Z T 0 Q2,sds ' Z T −2∆t 0 Q2,sds + Q2,T −2∆teL 2 2∆t∆t

con ∆t intervallo di tempo infinitesimo.

Considerando ora il primo dei due valori attesi in (1.5), si ottiene che:

EPh1RT 0 Q1,sds>δ1,T −∆t |F1 T −∆t i = P Z T −∆t 0 Q1,sds + Q1,T −∆teL 1 ∆t∆t > δ 1,T −∆t

(27)

CAPITOLO 1. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO JUMP DIFFUSION = P (L1∆t > ln(β)) con β def = δ1,T −∆t− RT −∆t 0 Q1,sds Q1,T −∆t∆t =

Z

+∞ ln(β) +∞ X i=0 e−λ∆t_(λ∆t)i i! N (y; m1∆t + iµ1, σ 2 1t + iδ 2 1) dy = +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! P ( bL 1 ∆t > ln(β)) con bL1∆t def = L1_∆t| N1 ∆t = i = +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! P Z > ln(β) − (m1∆t + iµ1) pσ2 1∆t + iδ21 con Z ∼ N (0, 1) = +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! Φ (d1,T −∆t,i) dove d1,T −∆t,i def = ln Q1,T −∆t∆t δ1,T −∆t− RT −∆t 0 Q1,sds + m1∆t + iµ1 pσ2 1∆t + iδ12 .

Analogamente consideriamo il secondo termine in (1.5). In questo caso, per indipendenza tra i due processi, otteniamo che `e possibile considerare i seguenti due valori attesi:

EPh1δ1,T −∆t> RT 0 Q1,sds |F1 T −∆t i = . . . = +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! Φ (−d1,T −∆t,i) EPh1RT 0 Q2,sds>δ2,T −∆t|F 1 T −∆t i _lag = _P Z T −2∆t 0 Q2,sds + Q2,T −2∆teL 2 2∆t2∆t > δ 2,T −∆t = . . . = +∞ X i=0 e−λ2∆t(λ2∆t)i i! Φ (d lag 2,T −∆t,i) con

d_{2,T −∆t,i}lag def=

ln Q2,T −2∆t2∆t δ2,T −∆t− RT −2∆t 0 Q2,sds + m22∆t + iµ2 pσ2 22∆t + iδ22

Otteniamo quindi che

ST −∆t = e−η∆tP +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! Φ (d1,T −∆t,i) + _X+∞ i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! Φ (−d1,T −∆t,i) _X+∞ i=0 e−λ2∆t(λ2∆t)i i! Φ (d lag 2,T −∆t,i) = e−η∆tP [1 − b_P_{T −∆t}1 ] (1.6)

(28)

CAPITOLO 1. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO JUMP DIFFUSION con in particolare b PT −∆t1 = +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! Φ (−d1,T −∆t,i) +∞ X i=0 e−λ2∆t(λ2∆t)i i! Φ (−d lag 2,T −∆t,i)

Tuttavia `e possibile considerare, simmetricamente, la seconda azienda2_,

tro-vando che:

ST −∆t = e−η∆tP [1 − bPT −∆t2 ]

dove, analogamente a quanto appena visto

b PT −∆t2 = +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! Φ (−d2,T −∆t,i) +∞ X i=0 e−λ2∆t(λ2∆t)i i! Φ (−d lag 1,T −∆t,i) d2,T −∆t,i def = ln Q2,T −∆t∆t δ2,T −∆t− RT −∆t 0 Q2,sds + m2∆t + iµ2 pσ2 2∆t + iδ22

d_{1,T −∆t,i}lag def= ln _Q 1,T −2∆t2∆t δ1,T −∆t− RT −2∆t 0 Q1,sds + m12∆t + iµ1 pσ2 12∆t + iδ12

Pertanto, uguagliando i due prezzi cosi trovati e usando la condizione di mer-cato (1.3), `e possibile trovare il numero di permessi posseduti al tempo T − ∆t da ciascuna azienda tramite la seguente equazione:

b

PT −∆t1 = bP 2

T −∆t sapendo che δi,t+ δi,t = N.

Infine si ricava il prezzo ST −∆t da una delle due formulazioni.

1.1.2 Generalizzazione per ogni istante temporale

Iniziamo anzitutto considerando il problema di minimizzazione dei costi, per la prima azienda, all’istante T − 2∆t:

min

X1,T −2∆t

{ST −2∆tX1,T −2∆t+ e−η∆tEP[ST −∆tX1,T −∆t+ e −η∆t

STX1,T |F1T −2∆t]}

2_{Si considera, per semplificare la notazione, lo stesso tasso di sconto per entrambe le aziende.}

(29)

Calcolandone poi la condizione al prim’ordine, otteniamo che

0 ≡ ST −2∆t+ e−η∆tEP ST −∆t ∂X1,T −∆t ∂X1,T −2∆t + X1,T −∆t ∂ST −∆t ∂X1,T −2∆t F 1 T −2∆t (1.7)

Questo per due ragioni: la prima deriva dalla condizione al bordo, per cui ST = {0, P }. Da ci`o segue immediatamente che

X1,T

∂ST

∂X1,T −2∆t

= 0

Il secondo motivo deriva invece dalle seguenti condizioni sul numero di permessi scambiati, assunzioni fatte privilegiando la trattabilit`a del modello3:

∂X1,T −(j−1)∆t ∂X1,T −j∆t = −1, ∂X1,T −(j−k)∆t ∂X1,T −j∆t = 0 dove k ∈ {2, . . . , j} (1.8) e pertanto: ST ∂X1,T ∂X1,T −2∆t = 0.

Consideriamo ora il secondo termine nel valore atteso in (1.7). Ricordando l’equazione del prezzo (1.6), otteniamo che

∂ST −∆t ∂X1,T −2∆t = ∂ ∂X1,T −2∆t e−η∆tPh1 − b_P_{T −∆t}1 i (1.9) = e−η∆tP Ξ1 +∞ X i=0 e−λ2∆t(λ2∆t)i i! Φ (−d lag 2,T −∆t,i) + +e−η∆tP +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! Φ (−d1,T −∆t,i) Ξ2

con la seguente notazione:

Ξ1 = +∞ X i=0 e−λ∆t(λ∆t)i i! φ (−d1,T −∆t,i) ∂d1,T −∆t,i ∂X1,T −2∆t Ξ2 = +∞ X i=0 e−λ2∆t(λ2∆t)i i! φ (−d_{2,T −∆t,i}lag )∂d lag 2,T −∆t,i ∂X1,T −2∆t

3_{Sarebbe necessario introdurre una BFSDE in quanto ad ogni passo temporale t la variabile}

di controllo, i permessi Xt, `e funzione sia delle quantit`a scambiate in precedenza sia del futuro

(30)

Tuttavia, definendo ora

a1 def = δ1,T −2∆t+ X1,T −∆t− Z T −∆t 0 Q1,sds blag₂ def= δ2,T −2∆t+ X2,T −∆t− Z T −2∆t 0 Q2,sds

con X1,s= −X2,s ∀ s ∈ {0, . . . , T − ∆t} per la condizione di clearing del mercato

(1.3), `e possibile usare l’espressione iterativa di δi,t e le assunzioni sulla variabile

di controllo (1.8) al fine di notare che ∂a1 ∂X1,t−2∆t = 0 ∂b lag 2 ∂X1,t−2∆t = 0.

Alla luce di quanto detto, troviamo che ∂d1,T −∆t,i ∂X1,T −2∆t = 1 pσ2 12∆t + iδ12 −1 (Q1,T −∆t∆t)/a1 (Q1,T −∆t∆t) (a1)−2 ∂a1 ∂X1,t−2∆t = 0 ∂d_{2,T −∆t,i}lag ∂X1,T −2∆t = 1 pσ2 2∆t + iδ22 −1 (Q2,T −2∆t2∆t)/blag2 (Q2,T −2∆t2∆t) (blag2 ) −2 ∂b lag 2 ∂X1,t−2∆t = 0 e dunque ∂ST −∆t ∂X1,T −2∆t = 0. (1.10)

Combinando ora i risultati precedentemente trovati, utilizzando ancora le con-dizioni (1.8), il prezzo dei permessi al tempo T − 2∆t sar`a quindi:

ST −2∆t = e−η∆tEP[ST −∆t|F 1 T −2∆t] = e−η2∆t_{P E}_P[1 − b_P_{T −∆t}1 |F1 T −2∆t] (1.11) con b_P1

T −∆t uguale a quanto visto in (1.6). In maniera del tutto analoga, `e

possi-bile risolvere il problema di minimizzazione corrispondente alla seconda azienda, trovando che: ST −2∆t = e−η∆tEP[ST −∆t|F 2 T −2∆t] = e−η2∆t_{P E}_P[1 − b_P_{T −∆t}2 |F2 T −2∆t]

(31)

visto prima consideriamo la funzione obiettivo da minimizzare rispetto a X1,T −j∆t:

ST −j∆tX1,T −j∆t+ e−η∆tEP j X h=1 e−η∆tST −(j−h)∆tX1,T −(j−h)∆t F 1 T −j∆t

Calcolando le condizioni al prim’ordine, segue che:

0 = ST −j∆t ∂X1,T −j∆t ∂X1,T −j∆t + e−η∆t_E_P j X h=1 e−η(h−1)∆tST −(j−h)∆t ∂X1,T −(j−h)∆t ∂X1,T −j∆t + +X1,T −(j−h)∆t ∂ST −(j−h)∆t ∂X1,T −j∆t F 1 T −j∆t .

Usando ora le condizioni (1.8) e tenendo presente il risultato (1.9), `e possibile innazitutto stabilire che

∂ST −(j−k)∆t

∂X1,T −j∆t

= 0 dove k ∈ {1, 2, . . . , j}

e quindi calcolare il prezzo dei permessi al generico istante T − j∆t, perch`e ST −j∆t= e−η∆tEP[ST −(j−1)∆t|F1T −j∆t]

Inoltre, per induzione e sfruttando la legge delle aspettative iterate, vale che: ST −j∆t = e−η∆tEP h e−η(j−1)∆tP_{1 − E}_PPb_{T −∆t}1 |F1_{T −(j−1)∆t} F 1 T −j∆t i = e−ηj∆tP_{1 − E}_PbP_{T −∆t}1 |F_{T −j∆t}1

In maniera del tutto simile a quanto appena visto, `e possibile risolvere il proble-ma di minimizzazione per la seconda azienda e ottenere quindi la seguente coppia di equazioni ad ogni passo temporale k ∈ {1, 2, . . . , T /∆t}:

S_{T −k∆t}1 = e−ηk∆tP_{1 − E}_P b PT −∆t1 |F 1 T −k∆t S_{T −k∆t}2 = e−ηk∆tP_{1 − E}_PPb_{T −∆t}2 |F2_{T −k∆t}

Infine, anche in questo caso si impone l’uguaglianza tra queste due equazioni e usando la condizione di mercato (1.3), `e possibile determinare il numero di permessi

(32)

detenuti dalle singole aziende risolvendo numericamente la seguente relazione:

EP b PT −∆t1 |F 1 T −k∆t = EP b PT −∆t2 |F 2 T −k∆t

(33)

Capitolo 2

Il modello endogeno con un

processo Ornstein-Uhlenbeck

In questo capitolo si deriva il prezzo d’equilibrio dei permessi per l’emissione di CO2 in una situazione in cui sul mercato operano due o pi`u aziende. Come fatto in

precedenza, si assume ragionevolmente l’indipendenza dei processi inquinanti delle singole installazioni e, in questo caso, le si modellizza con un processo Ornstein Uhlenbeck (OU). Ciò permette in particolare di includere nel modello le scelte delle singole aziende in termini di livello di inquinamento su cui assestarsi e la velocità con la quale si vuole raggiungere tale obiettivo. Anche nella presente mo-dellizzazione vige una regola di mercato di tipo ”wait-and-se” in quanto un’azienda compra dei permessi (assumendo che, dalle proiezioni future, risulterà in posizione corta all’istante di compliance T ) se l’altra azienda è in una situazione speculare per la quale ritiene che necessiterà di meno permessi per raggiungere il proprio target al tempo T .

In figura 2.1 si presenta il livello di emissioni giornaliere, nell’arco di un anno, per un’installazione a carbone di circa 350 Megawatt (MW) nel Nord America. I dati sono forniti dalla National and Oceanic Atmospheric Administration (NOAA) e si riferiscono all’anno 2009, monitorati con dei sensori all’uscita dei condotti. Nonostante le fluttuazioni giornaliere, le emissioni continuano ad oscillare intorno ad un valore ragionevolmente compreso tra 15 e 20. Sembra quindi una buona scelta orientarsi verso un modello che includa, tra le sue caratteristiche, il ritorno verso la media (mean-reversion). Inoltre, dando anche importanza alla trattabilit`a del modello, si opta per un processo di tipo OU in quanto risulta normalmente distribuito sia il processo ”istantaneo sia il processo integrato, fattore fondamentale per questa modellizzazione.

(34)

CAPITOLO 2. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO ORNSTEIN-UHLENBECK 0 50 100 150 200 250 300 350 400 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Giorno

Livello di emissioni (x1000 tCO

2

)

Figura 2.1: Emissioni giornaliere per una centrale a carbone

dove Ft = σ(∪i∈IQi,s, ∀s ∈ [0, t]) e I = {1, 2} in questo primo caso. Inoltre,

per quanto detto in riferimento alla modellizzazione con processo Jump Diffusion, assumiamo che ci sia indipendenza tra le produzioni d’inquinamento delle due aziende. Pertanto le emissioni di CO2 seguono un processo OU per gli istanti

t ∈ [0, T ] della seguente forma:

dQi,t = θi(µi− Qi,t)dt + σidWi,t con i ∈ I

dove θi è la velocità di ritorno verso la media, µi è la media di lungo termine e

σi `e la volatilit`a dei due Moti Browniano Standard. Integrando ora tra 0 e T , si

ottiene la soluzione in forma chiusa:

Qi,t = Qi,0e−θit+ µi(1 − e−θit) + σie−θit

Z t

0

eθis_dW

i,s

che in particolare avr`a una distribuzione normale:

Qi,t ∼ N Qi,0e−θit+ µi(1 − e−θit), σ_i2 2θ 1 − e −2θit

Per quello che riguarda la nostra trattazione, se consideriamo un intervallo di tempo ∆t `e possibile valutare il livello di emissioni tramite integrazione:

Z ∆t 0 Qi,sds = Z ∆t 0 Qi,0e−θis+ µi(1 − e−θis) + σie−θit Z s 0 eθis_dW i,s ds

(35)

CAPITOLO 2. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO ORNSTEIN-UHLENBECK

approssimare in maniera ragionevolmente affidabile questo processo nel seguente modo: Z ∆t 0 Qi,sds ' Qi,0e−θi∆t∆t + µi∆t(1 − e−θi∆t) + σie−θi∆t∆t Z ∆t 0 eθis_dW i,s.

2.1 Il caso di due aziende

Ripercorriamo ora i passaggi fatti nel caso Jump Diffusion, considerando ora l’evo-luzione e la conseguente approssimazione precedentemente esposta. Innanzitutto, il numero di permessi totale N inizialmente allocati `e fissato e pertanto vige la seguente condizione di mercato:

N = X

i∈I

Ni,0

δi,t def

= numero di permessi detenuti da i all’istante di tempo t

δ1,t+ δ2,t = N ∀ t ∈ [0, T ] (2.1)

Dunque se si definisce Xi,til numero di permessi comprati o venduti (giornalmente)

da i al tempo t, vale in maniera ricorsiva che:

δi,t = Ni,0+ t X s=0 Xi,s = δi,t−1+ Xi,t ∀ t = 1, 2, . . . , T − ∆t

Si introduce poi l’asimmetria informativa per la quale, ad ogni istante temporale, ciascuna azienda ha una completa conoscenza del proprio livello di emissioni e della posizione di entrambe le società in termini di permessi mentre invece conosce solo parzialmente la quantità d’inquinamento prodotta dall’altra azienda, in particolare fino al passo precedente. Ciò induce un ritardo nel valore atteso del futuro livello di emissioni per l’altra installazione.

Riconsiderando quindi il medesimo problema di minimizzazione della seguente funzione obiettivo:

H = ST −∆tX1,T −∆t+ e−η∆tEP[STX1,T|F 1 T −∆t]

(36)

otteniamo ancora che

ST −∆t = e−η∆tP EPh1RT 0 Q1,sds>δ1,T −∆t|F 1 T −∆t i + + e−η∆t_{P E}_Ph1_δ 1,T −∆t> RT 0 Q1,sds1 RT 0 Q2,sds>δ2,T −∆t|F 1 T −∆t i

Ma ora, il primo valore atteso sar`a esplicitabile come:

P Z T 0 Q1,sds > δ1,T −∆t F 1 T −∆t = P Z T 0 Q1,sds > δ1,T −∆t F 1 T −∆t = = P Z T T −∆t Q1,sds > δ1,T −∆t− Z T −∆t 0 Q1,sds F 1 T −∆t ' P Q1,T −∆te−θ1∆t∆t + µ1∆t(1 − e−θ1∆t) + + σ1∆te−θ1∆t Z ∆t 0 eθ1s_dW 1,s > δ1,T −∆t− Z T −∆t 0 Q1,sds F 1 T −∆t = P σ1∆te−θ1∆t Z ∆t 0 eθ1s_dW 1,s> −Q1,T −∆te−θ1∆t∆t − µ1∆t(1 − e−θ1∆t) + − Z T −∆t 0 Q1,sds + δ1,T −∆t F 1 T −∆t = P S1 < d1,T −∆t|FT −∆t1 = Φ (d1,T −∆t)

dove in questo caso

S1 = e−θ1∆t

R

∆t 0 e θ1s_dW 1,s q 1 2θ1 1 − e −2θ1∆t ∼ N (0, 1) e d1,T −∆t = Q1,T −∆te−θ1∆t+ µ1(1 − e−θ1∆t) + RT −∆t 0 Q1,sds − δ1,T −∆t ∆t σ1 q 1 2θ1 1 − e −2θ1∆t

mentre invece il secondo valore atteso, sfruttando l’ipotesi di indipendenza tra processi d’inquinamento e procedendo con dei calcoli analoghi, avr`a la seguente

(37)

CAPITOLO 2. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO ORNSTEIN-UHLENBECK espressione: EPh1δ1,T −∆t> RT 0 Q1,sds1 RT 0 Q2,sds>δ2,T −∆t|F 1 T −∆t i = Φ (−d1,T −∆t) Φ (d_{2,T −∆t}lag ) dove adesso d_{2,T −∆t}lag = Q2,T −2∆te−θ22∆t+ µ2(1 − e−θ22∆t) + RT −2∆t 0 Q2,sds − δ2,T −∆t 2∆t σ2 q 1 2θ2 1 − e −2θ22∆t

Giungiamo quindi ad un risultato analogo a quanto visto precedentemente perch`e tali risultati sono analogamente replicabili per la seconda azienda. Pertanto, sfruttando le propriet`a della normale cumulata, otteniamo che:

ST −∆t = e−η∆tP1 − Φ (−di,T −∆t) Φ (−dj,T −∆tlag ), coppia di equazioni con i 6= j;

Φ (−d1,T −∆t) Φ (−d lag

2,T −∆t) = Φ (−d2,T −∆t) Φ (d lag 1,T −∆t),

valide in T − ∆t dove d2,T −∆t e d1,T −∆tlag sono definiti in maniera speculare rispetto

a quanto fatto per la prima azienda.

Infine `e possibile trovare il prezzo d’equilibrio ad ogni passo temporale andando a risolvere il problema di minimizzazione dei costi (equivalentemente della prima o della seconda azienda) uguale al caso Jump Diffusion per giungere alle seguenti equazioni: ST −k∆t= e−ηk∆tP 1 − EPΦ (−di,T −∆t) Φ (−d lag j,T −∆t)|F i T −k∆t , i 6= j EPΦ (−di,T −∆t) Φ (−d lag j,T −∆t)|F i T −k∆t = EPΦ (−dj,T −∆t) Φ (−d lag i,T −∆t)|F j T −k∆t, valide ∀ k ∈ {1, 2, . . . , T /∆t}.

2.2 Il modello per un generico numero di aziende

Estendiamo ora la metodologia usata in precedenza, per valutare il prezzo spot d’equilibrio per i permessi di CO2, per studiare la presenza di un generico numero

n di aziende sul mercato, nello stesso scenario temporale. Considereremo ancora i singoli processi d’inquinamento distribuiti come un processo OU e questo ci permette di avere la somma delle emissioni delle singole aziende distribuita in

(38)

maniera normale. Inoltre ipotizziamo anche in questa modellazione l’indipendenza dei processi, ragionevolmente edotta dalla tipologia e dalle caratteristiche delle aziende presenti nello schema ETS.

Si presenta dunque la seguente situazione:

Sia I = {1, 2, . . . , n} l’insieme delle aziende considerate che scambiano crediti di CO2. Considerando la generica azienda i, `e possibile definire un sottoinsieme di

I dato da: I_i− def= I\{i}. Sia inoltre (Ω,F, {Ft}, P) lo stesso spazio probabilizzato

visto precedentemente.

Allora `e possibile considerare:

{Qi,t}T −∆tt=0 ∀ i ∈ I

e distinguere, senza perdita di generalit`a:

Qi,t e Q_I− i ,t def = n X j=1, j6=i Qj,t

Tuttavia, poich`e l’evoluzione di ogni singolo processo `e dQi,t = θi(µi− Qi,t)dt + σidWi,t,

anche la somma degli inquinamenti delle aziende appartenenti a I− sar`a normal-mente distribuita e sar`a governata dalla medesima equazione differenziale stoca-stica: dQ_I− i ,t = θI − i (µI − i − QI − i ,t)dt + σI − i dWI − i ,t dove W_I− i ,t∼ N (0, t).

Concentrandosi quindi sul prezzo d’equilibrio in questa nuova situazione, ogni azienda risolve lo stesso problema di minimizzazione dei costi visto in precedenza. Inoltre siamo in una situazione di asimmetria paritaria: infatti ciascuna installa-zione ha il medesimo ritardo, pari ad un passo temporale, nella conoscenza dei livelli di emissione di tutte le altre aziende.

Si perviene quindi alle medesime equazioni viste, ovvero per ogni k ∈ {1, 2, . . . , T /∆t} il prezzo dei permessi sar`a pari a

ST −k∆t = e−ηk∆tP 1 − EPΦ (−di,T −∆t) Φ (−d lag I−_i ,T −∆t)|F i T −k∆t

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CAPITOLO 2. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO ORNSTEIN-UHLENBECK con d1,T −∆t = Q1,T −∆te−θ1∆t+ µ1(1 − e−θ1∆t) + RT −∆t 0 Q1,sds − δ1,T −∆t ∆t σ1 q 1 2θ1 1 − e −2θ1∆t e dlag I_i−,T −∆t = Q_I− i ,T −2∆te −θ I− i 2∆t + µ_I− i (1 − e −θ I− i 2∆t ) + RT −2∆t 0 QI_i−,sds − δI_i−,T −∆t 2∆t σ_I− i r 1 2θ I− i 1 − e−2θI−_i 2∆t

Pertanto nasce il seguente sistema di n − 1 equazioni, ad ogni passo temporale k:                        EPΦ (−d1,T −∆t) Φ (−d lag I₁−,T −∆t)|F 1 T −k∆t = EPΦ (−d2,T −∆t) Φ (−d lag I₂−,T −∆t)|F 2 T −k∆t EPΦ (−d2,T −∆t) Φ (−d lag I₂−,T −∆t)|F 2 T −k∆t = EPΦ (−d3,T −∆t) Φ (−d lag I₃−,T −∆t)|F 3 T −k∆t

...

EPΦ (−dn−1,T −∆t) Φ (−d lag I_n−1− ,T −∆t)|F n−1 T −k∆t = EPΦ (−dn,T −∆t) Φ (−d lag In−,T −∆t)|F n T −k∆t

il quale, accoppiato con la condizione di mercato che in questo caso diventa:

n

X

i=1

δi,T −k∆t = N ∀ k ∈ {1, 2, . . . , T /∆t}

permette di calcolare ad ogni step il numero di permessi in mano a ciascuna azien-da.

Per trovare i valori appropriati di θ_I− i , µI

−

i e σI

−

i adottiamo la tecnica del

moment-matching, andando ad imporre l’uguaglianza tra le espressioni di, rispetti-vamente, valore atteso e varianza che si trovano considerando da un lato la somma dei singoli processi di inquinamento e dall’altro le stesse aziende come un’unica fonte di inquinamento (esplicitamente, P

i∈I_i−Qi,t e QI_i−,t).

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CAPITOLO 2. IL MODELLO ENDOGENO CON UN PROCESSO ORNSTEIN-UHLENBECK d n X j=1, j6=i Qj,t ! = ∂ ∂t n X j=1, j6=i Qj,t ! dt + n X j=1, j6=i ∂ ∂Wj,t n X j=1, j6=i Qj,t ! dWj,t+ +1 2 n X j=1, j6=i ∂2 ∂W_j,t2 n X j=1, j6=i Qj,t ! dt + n X j=1, j6=i,k n X k=1, j6=i,j ∂2 ∂Wj,t∂Wk,t ρjk n X j=1, j6=i Qj,t ! dt.

Tuttavia, per indipendenza e per la dinamica dei singoli processi, risultano valide anche le seguenti relazioni:

ρjk ≡ 0 ∀ coppia {j, k} ∈ Ii− tale che j 6= k

d n X j=1, j6=i Qj,t ! ≡ n X j=1, j6=i θj(µj − Qj,t)dt + σjdWj,t

Innanzitutto, confrontando le due espressioni della stessa equazione differen-ziale stocastica, notiamo che dovr`a essere necessariamente vera la seguente ugua-glianza: σ_I− i dWI − i ,t= n X j=1, j6=i σjdWj,t

e pertanto, sfruttando ancora l’ipotesi di indipendenza, `e possibile usare l’isometria di Ito e riscrivere questa relazione nel seguente modo:

σ_I2− i = n X j=1, j6=i σ2_j

Per trovare ora θ_I− i e µI − i , ricordiamo che Q_I− i ,t = µI − i + (QI − i ,0− µI − i )e −θ I− i t + σ_I− i e −θ I− i tZ t 0 eθI− i s dW_I− i ,s

e quindi abbiamo le seguenti espressioni di valore atteso e varianza:

E h Q_I− i ,t i = µ_I− i + Q_I− i ,0− µI − i e−θI− i t V arhQ_I− i ,t i = σ2_I− i 2θ_I− i 1 − e−2θI_i−t

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Dunque, sul lungo periodo (stato stazionario) avremo che: lim t→+∞E h Q_I− i ,t i = µ_I− i (2.2a) lim t→+∞V ar h Q_I− i ,t i = σ_I2− i 2θ_I− i (2.2b)

e quindi, usando la definizione che lega l’inquinamento totale alla somma delle singole emissioni, otteniamo che:

lim t→+∞E " _n X j=1, j6=i Qj,t # = lim t→+∞ n X j=1, j6=i E[Qj,t] = n X j=1, j6=i µj (2.3) e, per indipendenza: lim t→+∞V ar " _n X j=1, j6=i Qj,t # = lim t→+∞ n X j=1, j6=i V ar [Qj,t] = n X j=1, j6=i σ2 j 2θj (2.4)

Infine quindi, imponendo l’uguaglianza tra (2.2a) e (2.3) da un lato e (2.2b) e (2.4) dall’altro, riusciamo ad esprimere l’inquinamento totale di I_i− in funzione dei parametri delle singole aziende:

µ_I− i = n X j=1, j6=i µj θ_I− i = σ2_I− i n X j=1, j6=i σ2_j 2θj

(42)

(43)

Capitolo 3

Il metodo numerico

Nei primi due capitoli abbiamo delineato la costruzione teorica, endogena, che porta al prezzo dei certificati EUA in maniera analoga ma con una modellizzazione diversa del processo d’inquinamento, in entrambi i casi esogeno. In particolare il processo di prezzo St tra 0 e T che ne deriva `e d’equilibrio in quanto esistono

n processi δi,t, ciascuno per ogni azienda, che descrivono il numero di permessi

posseduti tali che sia rispettata la condizione di clearing sul mercato.

In particolare si nota che, ad ogni passo temporale, sia la quantit`a di permessi scambiati che il prezzo dei permessi risultano essere, all’equilibrio, il risultato del continuo ribilanciamento di ogni azienda della propria allocazione, basata sull’in-quinamento accumulato fino a quel momento e sull’informazione disponibile circa le posizioni altrui.

Per quanto concerne l’approccio numerico, ci concentriamo sul caso di due aziende e utilizzeremo le seguenti relazioni per la determinazione del prezzo dei permessi: δ1,t+ δ2,t = N ∀ t ∈ [0, T ] (3.1) ST −k∆t = e−ηk∆tP EP[1 − bP 1 T −∆t|F1T −k∆t] (3.2) EP[bP 1 T −∆t|F 1 T −k∆t] = EP[bP 2 T −∆t|F 2 T −k∆t] (3.3)

Inoltre in ogni simulazione consideriamo T = 1 fissato ad un periodo di un anno, ipotizzando 250 giorni di scambio, il fattore di sconto pari al 4% e la penalit`a P `e uguale a 100e/tCO2.

Partendo da t = 0, simuliamo una coppia di processi indipendenti, uno per ogni azienda sul mercato. A questo punto, alla luce dell’ammontare iniziale di permessi Ni,0, valutiamo numericamente la quantit`a di permessi scambiata e quindi il

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CAPITOLO 3. IL METODO NUMERICO

per poi calcolare il prezzo degli EUA implicito (S1

0). Questa procedura `e ripetuta

n volte per valutare il prezzo d’equilibrio atteso S0 = Pn_j=1S0j/n. All’istante di

tempo successivo, t = ∆t, l’effettiva posizione risultante delle due aziende (δi,0)

`e calcolata utilizzando S0, una coppia fissata di processi, scelta arbitrariamente

tra le n coppie simulate, e l’equazione (3.2). Ripetendo poi la procedura sopra descritta ad ogni passo temporale fino a T − ∆t otteniamo il prezzo d’equilibrio dei permessi.

3.1 L’analisi per la dinamica Jump Diffusion

Iniziamo l’illustrazione dell’andamento del prezzo degli EUA, al variare dei pa-rametri che caratterizzano il processo d’inquinamento e dei permessi inizialmente allocati, partendo dai parametri di Chesney e Taschini ([11]), che in particolare riguarderanno la parte diffusiva della dinamica delle emissioni. Gli autori optano per un drift α positivo per entrambe le aziende, rispettivamente pari a 15% e 10%, e per un modesto livello di volatilit`a, fissato al 10% per entrambe. Inoltre i livelli iniziali di emissioni sono Q0 = (50, 25) mentre invece i permessi sono di poco

mag-giori all’inquinamento iniziale per la prima azienda e pari al livello iniziale per la seconda: N0 = (52, 25). 0 50 100 150 200 250 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Tempo Q_i,t 0 50 100 150 200 250 30 40 50 60 70 80 90 100 Tempo St

Figura 3.1: Emissioni e prezzo dei certificati (α1= 0.15, α2= 0.1)

Per quanto riguarda la componente di salto, pu`o essere motivata, dal punto di vista dell’azienda, alla luce di possibili guasti a qualche componente del siste-ma produttivo oppure di improvvise variazioni nell’output richiesto all’installazio-ne. Aggregando questi effetti, li consideriamo innazitutto piuttosto rari, ponendo λ = 0.1, e inoltre con media leggermente positiva pari a µ = 0.1 e δ = 0.2, per entrambe le aziende. Perci`o ci aspettiamo che il prezzo abbia un trend positivo e

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CAPITOLO 3. IL METODO NUMERICO

che raggiunga il livello di penalit`a. L’evoluzione del prezzo mostrata in figura 3.1 lo conferma. 0 50 100 150 200 250 20 25 30 35 40 45 50 55 Tempo Qi,t 0 50 100 150 200 250 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Tempo S_t

Figura 3.2: Emissioni e prezzo dei certificati (α1= −0.15, α2= 0.01)

Mantenendo ora gli stessi parametri che determinano l’andamento e la frequen-za dei salti e il medesimo ammontare di permessi inizialmente disponibile, poniamo α1 = −0.15, invertendo il segno rispetto a quanto appena fatto, e riduciamo il

se-condo drift (α2 = 0.01). Nel contempo manteniamo costante le volatilit`a associate

ai due moti browniani. Ci si può quindi attendere, globalmente, un effetto op-posto rispetto a quanto visto sopra, ovvero il prezzo dei permessi avrà un trend discendente e andrà a zero: anche questa previsione è verificata in figura 3.2.

Dopo aver descritto il metodo numerico adottato e due possibili andamenti delle emissioni e del prezzo, iniziamo ora un’analisi circa la sensibilità del prezzo d’equilibrio rispetto ai parametri dei processi inquinanti delle due aziende. L’ap-proccio qui presentato è di tipo ceteris paribus. Fissiamo quindi per prima cosa un insieme di parametri che costituirà la situazione base; studieremo poi l’andamento del prezzo degli EUA al variare di un singolo parametro, in particolare per la prima azienda, considerando i restanti termini pari a questo caso inziale. Appoggiando-ci ancora ai parametri scelti da Chesney e Taschini per quanto riguarda la parte diffusiva e per i dati iniziali di emissioni e permessi, scegliamo il seguente insieme di parametri:

α = (0.15, 0.10), σ = (0.10, 0.10), Q0 = (50, 25), N0 = (52, 25),

λ = (0.10, 0.05), µ = (0.10, 0.20), δ = (0.20, 0.20)

Il primo parametro di cui consideriamo l’influenza sul prezzo è il drift della parte diffusiva, α1. Come ci si potrebbe aspettare, tanto più grande è questo valore

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CAPITOLO 3. IL METODO NUMERICO 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tempo S t α₁ = 0.5 α₁ = 0.25 α₁ = 0.1 α₁ = − 0.1 α₁ = − 0.25 α₁ = − 0.5

Figura 3.3: Prezzo dei certificati al variare di α1

emissioni in T . Questa previsione è confermata dalla figura 3.3: infatti il prezzo tende alla penalità o a zero quanto maggiore o minore è il valore del drift. Inoltre, in questa particolare simulazione, anche quando α1 = −0.1 il prezzo cresce fino a

raggiungere i 100e: questo perch`e un salto positivo rende insufficiente il numero di permessi.

Analizziamo ora come si comporta il prezzo dei permessi in base ad una va-riazione della volatilità della parte diffusiva. La figura 3.4 mostra come, per le nostre simulazioni, al crescere dell’incertezza, sul livello futuro delle emissioni per l’azienda 1, il prezzo tenda ad oscillare maggiormente ed in particolare sia ne-cessario un periodo di tempo più lungo per avvicinarsi al valore della penalità. Ciò mostra inoltre che, in una situazione di scarsa accuratezza/sicurezza sul va-lore dell’N AP V , il ribilanciamento continuo effettuato dall’azienda incida sulle fluttuazioni del prezzo degli EUA.

Dopo aver trattato l’impatto dei parametri della parte diffusiva, consideriamo ora la componente di salto dei processi inquinanti. Innanzitutto facciamo variare l’intensit`a del processo di Poisson λ1 e quindi la frequenza di salto. Come si evince

dalla figura 3.5, la prima simulazione con λ1 = 0.05 mostra il prezzo tendere a

zero senza grandi oscillazioni, alla luce della bassa intensità. Al crescere della possibilità di registrare un salto del livello delle emissioni, si nota come l’intensità del processo di Poisson induca un comportamento più variabile del prezzo dei permessi, rendendo possibili dei cambiamenti di oltre il 50% in un breve periodo

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CAPITOLO 3. IL METODO NUMERICO 0 50 100 150 200 250 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tempo S t σ₁ = 0.05 σ₁ = 0.15 σ₁ = 0.25 σ₁ = 0.4

Figura 3.4: Prezzo dei certificati al variare di σ1

di tempo. 0 50 100 150 200 250 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Tempo S t λ₁ = 0.05 λ₁ = 0.15 λ₁ = 0.3 λ₁ = 0.6

Figura 3.5: Prezzo dei certificati al variare di λ1

Per quanto riguarda ora i parametri di media e varianza dell’ampiezza di salto, si prevede che abbiano qualitativamente lo stesso effetto di media e varianza della parte diffusiva ma su scala leggermente minore, in quanto il caso base prevede