La soluzione ideale e l’assioma della scelta

Arrow definendo il concetto di bliss point ha posto le basi per la definizione di soluzione ideale (Arrow, 1967) che si basa sulla teoria dell’economia del benessere, la quale si basa a sua volta sui criteri di efficienza dell’allocazione delle risorse ed equità nella loro distribuzione fra individui che compongono la collettività. Un’efficiente allocazione delle risorse si raggiunge solo quando non è possibile un’ulteriore

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allocazione che aumenti il benessere di un determinato individuo senza diminuire il benessere di un altro individuo. È fondamentale individuare il punto di benessere (sociale) ottimale dell’intera collettività considerando che si parla di un gruppo d’individui e ragionando in ottica

paretiana, è necessario creare un ordinamento delle preferenze di ciascun

individuo in quanto il benessere individuale, ovvero le utilità individuali, non possono essere confrontate fra loro.

Ottimo paretiano si definisce come una situazione nella quale,

indipendentemente dalla specifica allocazione delle risorse, non è possibile trovare un’altra che porti ad un incremento della ricchezza di alcuni senza sottrarre ricchezza ad altri. La ragione dell’importanza dell’ottimo di Pareto è intuitiva: se esiste una soluzione che comporta un incremento del guadagno di qualcuno senza che nessuno subisca delle perdite, vuol dire che esistono delle risorse che non sono state allocate o che sono state allocate male, meglio quindi cambiare allocazione. Nel caso dell’ottimo paretiano, infatti, l’ulteriore arricchimento di qualcuno passa necessariamente per l’impoverimento di qualcun altro.

Il dilemma del prigioniero mette in luce un concetto cardine dell’economia: l’ottimo di Pareto è razionale dal punto di vista collettivo, ma non lo è affatto dal punto di vista individuale; in sostanza, se gli n agenti di un gioco (e quindi, per estensione, di un mercato) agiscono secondo la razionalità individuale, cioè col solo fine di massimizzare il proprio profitto personale, non è detto che essi raggiungano un ottimo di Pareto. In alcuni casi lo raggiungono ed in altri no, in quest’ultimo caso le loro azioni comportano una dispersione o una cattiva allocazione di risorse.

La combinazione di beni rispetto alla quale l’utente risulta essere indifferente, identifica un ranking di curve di indifferenza dove il benessere aumenta solo se si passa ad una curva di indifferenza maggiore o inferiore. In questo caso il punto ideale corrisponde al massimo livello di benessere ―raggiungibile‖ da un determinato individuo in relazione al livello di benessere raggiunto dall’altro, attraverso il più efficiente utilizzo delle risorse.

Nel 1973 Zeleny ha proposto l’assioma della scelta attraverso il quale la scelta è finalizzata a minimizzare la distanza non geometrica, dal punto ideale bypassando il problema di un’esatta quantificazione del concetto di benessere sostituita dal grado di prossimità a tale benessere (Zeleny, 1973).

Più grande è la distanza, minore è il grado di soddisfazione ottenuto. La distanza è quindi inversamente proporzionale al grado di soddisfazione nel perseguimento di un determinato obiettivo e deve essere considerata come una possibile approssimazione delle scelte operate dal decisore.

51 La figura 2.3 mostra graficamente l’obiettivo del metodo che sta nella ricerca della soluzione più vicina al punto di maggior benessere, minimizzando la distanza che lo separa dalla scelta intrapresa dal decisore. Come visibile dalla figura 2.3, i punti f e g rappresentano le due soluzioni collocate sulla frontiera dell’efficienza paretiana che definisce lo spazio dalle scelte tecnicamente possibili.

Figura 2.3 Efficienza paretiana

―Date m alternative (k = 1, ..., m) e n criteri (i = 1, ..., n), lo spazio delle alternative può essere espresso in forma matriciale come:

dove yik è il valore raggiunto dal criterio i-esimo per l’alternativa k-

esima. Il punto ideale è allora definito dal seguente vettore:

Utilizzando questi elementi, può essere costruita la seguente funzione di distanza:

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(2.1)

da cui deriva, per definizione, che dik = 1 se yik = yi* altrimenti 0 ≤ dik

≤1.

In tal modo l’insieme di tutte le alternative ammissibili può essere mappato, attraverso gli operatori nello spazio delle distanze. L’alternativa ideale viene cosi ad essere trasformata in un vettore di unità d*= {1, ..., 1}, poiché se yik = yi* ne consegue che dik = di* = 1‖ (Romano, 2006).

L’alternativa ideale è quindi rappresentata da quella con il massimo valore per tutti i criteri, contrapposta all’alternativa antiideale ovvero quella con il valore più basso per tutti i criteri, come visto nella figura 2.4.

Figura 2.4 Calcolo della distanza dall’ideale tramite il teorema di Pitagora

Proiettando tutto in un sistema di assi cartesiano, attraverso il quale vengono considerati due soli obiettivi, il calcolo della distanza può essere risolto attraverso il teorema di Pitagora utilizzando la seguente formula:

53 (2.2)

dove

d = distanza dall’ideale dell’alternativa xa,ya = coordinate del punto a

xb,yb = coordinate del punto b

Considerando un caso di pianificazione con più di due obiettivi il calcolo della distanza viene risolto attraverso la formula:

(2.3)

dove

dj = distanza dall’ideale dell’alternativa j – esima

vnj = valore dell’attributo del n – criterio della alternativa j–esima

Un altro metodo di risoluzione della matrice multicriteriale è rappresentato dal metodo della distanza di Manhattan (Zeleny, 1982), mostrato nella figura 2.5:

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Figura 2.5 Calcolo della distanza dall’ideale tramite il metodo della distanza di

Manhattan

Formula di calcolo della distanza di Manhattan:

(2.4)

dove

dj = distanza dall’ideale dell’alternativa j – esima

vnj = valore dell’attributo del n – criterio della alternativa j–esima

e dal metodo della distanza dell’infinito o di Chebychev mostrato attraverso la formula seguente:

d

= max v

dove

dj = distanza dall’ideale dell’alternativa j – esima

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2.1.3 La ricerca di un compromesso ed il concetto