2.2 La Teoria del Prospetto
2.2.1 La Teoria del Prospetto Cumulativa (Cumulative Prospect Theory)
Nel 199280, Tversky e Kahneman proposero un’evoluzione della Teoria del Prospetto, basata sui modelli di utilità attesa rank dependent: la Teoria del Prospetto Cumulativa (TPC), o Cumulative Prospect Theory (CPT).
La principale novità rispetto alla Teoria del Prospetto si ha nella diversa derivazione dei pesi decisionali da applicare agli esiti in condizioni di incertezza. Se, infatti, nella Teoria del Prospetto i pesi dipendono dalla probabilità del singolo esito, perciò un guadagno e una perdita con medesima probabilità di realizzo verranno pesati allo stesso modo, nella Teoria Cumulativa i pesi dipendono dalla distribuzione cumulata di probabilità. Inoltre, si applicano funzioni di ponderazione diverse a seconda che si tratti di guadagni o perdite. Ne consegue che ciascun esito avrà un proprio peso.
Similmente a quanto accade nei modelli rank dependent81, nell’ipotesi di esiti ordinati in modo tale che 𝑥𝑖 sia migliore di 𝑥𝑗 se 𝑖 < 𝑗, il peso di un guadagno sarà:
𝜋𝑖+= 𝑤+( − 𝐹(𝑥𝑖+1)) − 𝑤+( − 𝐹(𝑥𝑖))
dove
𝑤+(·) è funzione di ponderazione dei guadagni;
𝐹(·) è la funzione cumulata di probabilità.
Ciò significa che il peso decisionale dell’esito 𝑥𝑖 è la differenza tra la funzione di ponderazione applicata alla probabilità di ottenere un esito maggiore o uguale a 𝑥𝑖 e la funzione di ponderazione applicata alla probabilità di ottenere un esito strettamente migliore.
Analogamente, nel caso di perdita si avrà un peso pari a: 𝜋𝑖−= 𝑤−( − 𝐹(𝑥
𝑖)) − 𝑤−( − 𝐹(𝑥𝑖+1))
dove
𝑤−(·) è funzione di ponderazione delle perdite.
79 Levy, J. S. (1992), An Introduction to Prospect Theory. Political Psychology, 13(2), pp. 171-
186.
80 Tversky, A. e D. Kahneman (1992), Advances in Prospect Theory: Cumulative Representation
of Uncertainty, Journal of Risk and Uncertainty, 5, pp. 297-323.
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Diversamente da quanto visto essere valido nei modelli rank dependent, questo significa che il peso decisionale di una perdita è la differenza tra la funzione di ponderazione applicata alla probabilità di ottenere un risultato negativo peggiore o uguale a 𝑥𝑖 e la
funzione applicata alla probabilità di ottenere un risultato strettamente peggiore di 𝑥𝑖. Dunque, il valore di un prospetto aleatorio si può scrivere come:
𝑉 = ∑ 𝜋𝑖𝑣(𝑥𝑖) 𝑛
𝑖=1
dove
𝜋𝑖 sono i pesi decisionali ottenuti per i guadagni e le perdite, calcolati nel modo riportato precedentemente.
Dopo diversi esperimenti empirici, Kahneman e Tversky sono giunti ad una formulazione della funzione di ponderazione dei guadagni e delle perdite, che è la seguente:
𝑤+(𝑝) = 𝑝 0,61 (𝑝0,61+ ( − 𝑝)0,61)1 0,61 𝑤−(𝑝) = 𝑝 0,69 (𝑝0,69+ ( − 𝑝)0,69)1 0,69 dove 𝑝 è la probabilità cumulata.
Si veda la Figura 14. A differenza del modello semplice, dunque, oltre a considerare le probabilità cumulate, si considera anche una diversa funzione di ponderazione, che assume valori diversi a seconda che si riferisca al dominio dei guadagni o delle perdite. Dalla Figura 14 si può facilmente evincere come le funzioni di ponderazione siano concave per valori piccoli di probabilità e convesse per valori elevati. Di conseguenza, per eventi probabilisticamente estremi, i pesi sono molto sensibili alle probabilità. Quando, invece, si considerano probabilità intermedie, la sensibilità è più bassa e la pendenza della funzione è minore.
In altre parole, l’aumento della probabilità di realizzare una vincita da 0,40 a 0,41 ha un impatto sulla scelta molto più ridotto rispetto ad una variazione della probabilità da 0,01 a 0,02 o da 0,98 a 0,99.
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Figura 14: La funzione di ponderazione delle probabilità cumulate.
Si ricorderà che, secondo la Teoria del Prospetto, i soggetti sono propensi al rischio nel dominio delle perdite e avversi al rischio in quello dei guadagni. Nel caso della TPC, tale
framework di comportamenti non si riscontra, anzi la sua complessità aumenta. Si
considerino i seguenti casi.
Il Gioco A ha una bassa probabilità di una vincita elevata (2.000), mentre il Gioco B ha un’elevata probabilità che si realizza una vincita bassa (105,27). Per entrambi, il valore atteso è pari a 100. Caso 9 Probabilità Vincita 0,95 0 0,05 2.000 Gioco A Probabilità Vincita 0,05 0 0,95 105,27 Gioco B
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Nel caso di TPC, il valore dei giochi diventa:
Nel caso del Gioco A, poiché il valore è maggiore del valore atteso, gli individui risultano propensi al rischio. Lo stesso non si può dire per il Gioco B, in cui il valore del gioco è inferiore a quello atteso e perciò risulta che gli individui sono avversi al rischio.
In generale, si può affermare che gli individui sono avversi al rischio quando affrontano situazioni in cui i guadagni sono abbastanza probabili e di ammontare non elevato; quando invece affrontano situazioni con guadagni poco probabili e di elevato importo, sono propensi al rischio. Questo si verifica, per esempio, nel caso delle lotterie.
Nel dominio delle perdite di osserva l’atteggiamento opposto.
Valore atteso pari a -100. Applicando la TPC si ottiene:
Caso 9
Errore. Il collegamento non è valido.
Caso 10 Probabilità Vincita 0,95 0 0,05 -2.000 Gioco C Probabilità Vincita 0,05 0 0,95 -105,27 Gioco D Peso Valore V(0)=0 V(2.000)= 803,25 Gioco A
Valore del gioco: 0,13*803,25 = 104,42 𝑤+ − 𝑤+ 0,05 = − 0,
𝑤+ 0,05 − 𝑤+ 0 = 0, − 0
Peso Valore
V(0)=0
V(105,27)= 60,20 Valore del gioco: 0,79*60,20 = 47,56
Gioco B 𝑤+ − 𝑤+ 0, 5 = − 0,79 𝑤+ 0, 5 − 𝑤+ 0 = 0, − 0 Caso 10 Peso Valore V(0)=0 V(-2.000)= -1.807,54 Gioco C
Valore del gioco: 0,15*(-1.807,54) = - 271,13 𝑤− 0, 5 − 𝑤− 0 = 0,85 − 0
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In questo caso, il valore del Gioco C è minore del valore atteso, mentre per il Gioco D è maggiore: i soggetti risultano avversi al rischio nel primo caso, propensi nel secondo. In generale, si può dire che i soggetti siano avversi al rischio quando devono affrontare perdite potenzialmente elevate, ma poco probabili; quando devono affrontare perdite più basse e relativamente più probabili, sono propensi al rischio.
Questo tipo di atteggiamento è coerente con la tendenza degli individui a stipulare assicurazioni che proteggono da eventi molto gravi, ma altrettanto rari, e invece lasciare scoperti rischi di entità minore ma che si realizzano con maggiore frequenza.
Caso 10
Peso Valore
V(0)=0
V(-105,27)= -82,84
Gioco D
Valore del gioco: 0,89*(-82,84) = - 73,73 𝑤− 0,05 − 𝑤− 0 = 0, − 0
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CAPITOLO 3
UN’APPLICAZIONE PRATICA
DELLA TEORIA DEL PROSPETTO
Dopo aver presentato le caratteristiche fondamentali della Teoria del Prospetto, in questo capitolo si presenta una sua applicazione nell’ambito della scelta di portafoglio. In particolare, l’analisi si concentrerà su alcuni titoli del mercato italiano, considerati nell’orizzonte temporale compreso tra giugno 2007 e giugno 2008. Obiettivo dell’analisi è quello di instaurare un confronto tra il modello comportamentale della Prospect Theory e il modello di ottimizzazione Mean Variance. Emergerà, dunque, la differenza tra l’investitore emotivo e quello razionale, in un contesto di elevata incertezza come quello rappresentato dalla crisi del 2007-2008.