La teoria dell’emissione α

A − 4 per cui, per A  4, si trova

Tα = Q  1 − ⁴ A  ∼ Q

Tipicamente la particella α porta via il 98% del valore Q mentre il restante 2% viene portato via dal nucleo Y . Questa energia di rinculo non `e tuttavia trascurabile: per un valore tipico di Q = 5 MeV, il nucleo Y ha energia dell’ordine dei 100 keV; questa energia `e di gran lunga maggiore dell’energia che lega gli atomi nei solidi.

L’energia cinetica della particella α pu`o essere misurata direttamente con uno spet-trometro magnetico, in tal modo il valore Q pu`o essere determinato.

La relazione di Geiger–Nuttall

Sperimentalmente, come mostrato in figura4.1, si vede che i nuclei che decadono α con grandi energie di disintegrazione Q hanno vite di dimezzamento piccole e viceversa

Q ∼ ¹ t_1/2

quest’ultima prende il nome di relazione di Geiger–Nuttall.

4.2. La teoria dell’emissione α

Supponiamo che la particella α sia preformata all’interno del nucleo radioattivo X. In figura4.2`e mostrata la forma del potenziale di interazione tra il nucleo Y e la particella α in funzione della distanza relativa r.

Figura 4.1.: Misure sperimentali che confermano la regola di Geiger–Nuttall per nuclei dispari–dispari.

Figura 4.2.: La linea orizzontale indica l’energia di disintegrazione (il valore Q); il raggio a pu`o esser preso come la somma dei raggi del nucleo Y e della particella α.

α penetra la barriera di potenziale coulombiano. La costante di disintegrazione del decadimento si pu`o esprimere allora come

λ = f P

dove f `e la frequenza con cui la particella α si presenta alla barriera (ad r = a) e P `e la probabilit`a di trasmissione attraverso la barriera.

La quantit`a f `e dell’ordine di v/a dove v `e la velocit`a relativa tra la particella α ed il nucleo Y . Possiamo trovare v dall’energia cinetica della particella α per r < a, stimando V₀ ≈ 35 MeV per una tipica buca si trova f ≈ 6 · 1021Hz per Q = 5 MeV.

Una stima della probabilit`a di penetrazione della barriera di potenziale pu`o ottenersi considerando il problema unidimensionale discusso in appendiceA.1. Il risultato, (A.1) dipende dalla larghezza e dall’altezza della barriera nonch´e dall’energia della particella. La barriera coulombiana che vede la particella al di sopra della sua energia Q pu`o essere schematizzata come rettangolare di altezza (B − Q)/2 e larghezza (b − a)/2 essendo, vedi figura4.2,

B = ¹ 4πε0

2(Z − 2)e2

a

Il fattore k₂ in (A.1) diventa allora p(2m/}2)(B − Q)/2. Per un tipico nucleo pesante (Z = 90, a = 7.5 fm) si ha B ≈ 24 MeV cos`ı che k2 ≈ 1.6 fm⁻¹. Il raggio b a cui la particella α lascia lascia la barriera vale

b = ¹ 4πε0

2(Z − 2)e² Q

che per Q ≈ 6 MeV vale circa 42 fm. Ne segue k₂(b − a)/2  1 e quindi possiamo approssimare la (A.1) come

P ≈ e^−k2(b−a) ∼ 10⁻²⁵ MeV

per cui λ ∼ 10⁻³ Hz e t_1/2∼ 700 sec. Una cambiamento di Q a 6 MeV porta P ∼ 10⁻³⁰ e t_1/2 ∼ 108 sec. Si vede allora come una stima cos`ı rozza riesce comunque a spiegare l’andamento in figura4.1.

Il calcolo esatto pu`o esser fatto pensando la barriera coulombiana come formata da infinitesime barriere rettangolari di altezza

V (r) = ¹ 4πε0

2(Z − 2)e² r

e larghezza dr. La probabilit`a di penetrare ognuna di tali barriere, che si estendono da r ed r + dr, `e dP = exp  −^2dr } q 2mV (r) − Q 

la probabilit`a di penetrare l’intera barriera `e allora P = e^−2G

t_1/2 (sec) A Q (MeV) misurato calcolato 220 8.95 10⁻⁵ 3.3 · 10⁻⁷ 222 8.13 2.8 · 10⁻³ 6.3 · 10⁻⁵ 224 7.31 1.04 3.3 · 10⁻² 226 6.45 1854 60 228 5.52 6 · 10⁷ 2.4 · 10⁶ 230 4.77 2.5 · 10¹² 10¹¹ 232 4.08 4.4 · 10¹⁷ 2.6 · 10¹⁶

Tabella 4.2.: Vite di dimezzamento degli isotopi del T h.

dove si `e introdotto il fattore di Gamow

G = r 2m }² Z b a dr^pV (r) − Q che pu`o essere valutato come

G =r 2m Q}2 2(Z − 2)e² 4πε₀ h arccos^√x −^px(1 − x) i (4.3)

dove x = a/b = Q/B. Per x  1, come avviene nella maggior parte dei casi, la quantit`a in parentesi quadra vale π/2 − 2^√2. In questo caso la vita di dimezzamento vale

t_1/2 = 0.693^a c s mc2 2(V0+ Q) ^exp ( 2 s 2mc2 (}c)2Q 2(Z − 2)e² 4πε0  π 2 ^{− 2} Q B ⁾

Il risultato di questo calcolo per gli isotopi pari del T h `e mostrato in tabella4.2. Anche se l’accordo con i valori sperimentali non `e esatto¹ si riesce a riprodurre il trend osservato.

1

Notiamo che in tale modello tra le altre cose non si sono considerate le funzioni d’onda iniziale e finale dello stato nel calcolo della probabilit`a di transizione (si sarebbe dovuta usare la regola d’oro di Fermi), non si `e considerato il momento angolare portato dalla particella α e si `e ipotizzato il nucleo a simmetria sferica con un raggio medio di 1.25A1/3 fm.

I processi di decadimento β base sono

n −→ p + e⁻+ ¯νe decadimento β⁻ p −→ n + e⁺+ νe decadimento β⁺ p + e⁻−→ n + νe cattura elettronica ε

Gli ultimi due accadono solo per protoni legati nei nuclei; essi sono energeticamente vietati per i protoni liberi o per i protoni negli atomi di idrogeno.

Figura 5.1.: Distribuzione delle energie degli elettroni emessi nel decadimento β del

210Bi.

La presenza dei neutrini (non osservati direttamente) nel decadimento β fu ipotizzata da Pauli ne 1931 in base alle seguenti osservazioni:

(i) l’energia delle particelle β non aveva una quantit`a fissata e ben definita dalle con-dizioni iniziali, come nel caso di un decadimento a due corpi (ad esempio come accade nel decadimento α), ma presentava una distribuzione continua come in figura 5.1, quindi senza il neutrino si sarebbe violata la conservazione dell’energia; (ii) guardando ai numeri quantici dello stato iniziale e finale si vede che senza il neutrino

non si conserva neanche lo spin

s_n= ¹

Perch´e i nuclei decadono β?

Nel caso A costante, dalla formula semiempirica di massa (1.11), si ha che la relazione tra massa di un nucleo ed il numero atomico `e quadratica in Z:

M (Z) = aZ²+ bZ + c − δ

Il nucleo che pi`u si avvicina al minimo di tale parabola `e l’isotopo stabile. Il decadimento β `e il modo pi`u conveniente per un nucleo instabile di discendere la parabola di massa ad A costante ed avvicinarsi all’isotopo pi`u stabile.

Figura 5.2.:¹²⁸₅₃ I pu`o decadere in due direzioni; notiamo inoltre che `e energeticamente possibile per ¹²⁸₅₂ T e decadere direttamente in ¹²⁸₅₄ Xe attraverso un doppio decadimento β, essendo per`o quest’ultimo processo altamente improbabile si dice che il nucleo<sup>128</sup><sub>52</sub> T e `e metastabile.

Considerando ora il caso A pari (δ 6= 0) si deduce, vedi figura 5.2, che i nuclei con N = (A − Z) dispari e Z dispari dovrebbero essere tutti instabili; in natura, infatti, esistono solo 5 di tali nuclei che sono stabili:

2

1H, ⁶₃Li, ¹⁰₅ B, ¹⁴₇ N e ⁵⁰₂₃V