La teoria fenomenologica di Ginzburg-Landau

Sebbene la teoria di London giustifichi l’effetto Meissner, non `e esaustiva per trattare la coesistenza tra campo magnetico e superconduttivit`a ad esempio nello stato intermedio dei superconduttori del tipo-I o nello stato misto di quelli del tipo-II. La teoria di Ginzburg e Landau (teoria G-L) fu proposta di proposito per trattare questo stato intermedio [36].

In questa teoria la transizione di fase termodinamica superconduttore-normale `

e trattata come una transizione del secondo ordine, in quanto le misure di ca- lore specifico in funzione della temperatura e in assenza di campo magnetico presentano una discontinuit`a a T = Tc, con calore latente nullo. Questa osser-

vazione ha permesso a Ginzburg e Landau di estendere la teoria di Landau per le transizioni di fase del secondo ordine [35] alla transizione superconduttiva. Il formalismo della teoria elaborata da Landau per le transizioni di fase del secondo ordine si fonda sulle seguenti assunzioni:

• Si sceglie come parametro d’ordine il campo scalare complesso

ψ(r) = |ψ(r)|eiϕ(r) (1.3.19) allora, il modulo al quadrato del parametro d’ordine |ψ|2 rappresenta la densit`a di elettroni superconduttivi

ns = |ψ(r)|2 (1.3.20)

• La transizione di fase `e continua e per determinare lo stato di equilibrio termodinamico in assenza di campi, si espande l’energia libera del su- perconduttore in serie di potenze di |ψ|2_{, con coefficienti α(T ) e β(T )}

funzioni regolari della temperatura fs= fn+ α(T )|ψ|2 +

1

2β(T )|ψ|

4_{+ . . . (1.3.21)}

dove fn `e la densit`a di energia dello stato normale.

• Successivamente, a partire dalla teoria microscopica, Gor’kov deriv`o i risultati di GL con il potenziale di coppia ∆(r), e dimostr`o che ψ(r) `e proporzionale a ∆(r) e che e∗ = 2e. Il parametro d’ordine per la transizione conduttore/superconduttore `e interpretato come la funzione d’onda che descrive il moto del centro di massa della coppia di elettroni. ψ si annulla nella fase normale e cresce nella fase superconduttiva:

1.3 Teorie fenomenologiche 19

ψ 6= 0 T < Tc (1.3.23)

Imponendo la condizione di equilibrio termodinamico, ovvero che fs sia mini-

ma, dall’Eq.(1.3.21) si trova

ψ2 = −α

β ≡ |ψ∞|

2 _(1.3.24)

a T = Tc il valore di equilibrio |ψ∞|2 si annulla e pertanto α(T ) cambia segno

nel punto di transizione. La variazione di α con la temperatura in prossimit`a di Tc si assume sia proporzionale a (T − Tc) per cui α diviene positivo a T > Tc

e la densit`a di energia libera dell’Eq.(1.3.21) risulta minima a ψ = 0.

In presenza di un campo magnetico esterno, per considerare l’accoppiamento del campo con le correnti nel campione si deve procedere come nella meccanica quantistica, e nella densit`a di energia libera Eq.(1.3.21) si deve aggiungere un contributo cinetico che assume la seguente forma:

1 m∗|( ~ i∇ − e ∗ A)ψ|2 (1.3.25)

per assicurare l’invarianza di gauge riscriviamo la densit`a di energia libera come: fs = fn0+ α(T )|ψ(r, T )|2+ β 2|ψ(r, T )| 4₊ 1 2m∗|( ~ i∇ − e ∗ A)ψ|2+µ0 2 h 2 _(1.3.26)

dove A `e il potenziale vettore per il campo magnetico locale microscopico h, fn0 densit`a di energia libera dello stato normale in campo nullo. Se si impone

la condizione di minimo per l’energia libera rispetto alle variazioni di ψ ed A, si trovano le equazioni di Ginzburg e Landau per ψ(r) e per il potenziale vettore A(r) : 1 2m∗( ~ i∇ − e ∗ A)2ψ + β|ψ|2ψ = −α(T )ψ (1.3.27) j = e ∗_µ 0 m∗ ~ i(ψ ∗_{∇ψ − ψ∇ψ}∗ ) −e ∗_µ2 0 m∗ ψ ∗ ψA (1.3.28) Le due equazioni ottenute consentono, una volta risolte con le assegnate con- dizioni al contorno, di conoscere l’andamento del parametro d’ordine e la distribuzione delle correnti superconduttive.

Lunghezze caratteristiche di G-L

Le propriet`a elettromagnetiche in un superconduttore sono determinate da due lunghezze caratteristiche, la lunghezza di coerenza ξ e la profondit`a di penetrazione λ, che definiscono rispettivamente le scale di variazione spaziale di ψ(r) e B(r).

Per variazioni spaziali del parametro d’ordine sufficientemente lente, |ψ(r)|2 pu`o essere sostituito con ψ∞, dove ψ∞ `e il valore di ψ all’equilibrio definito

dalla 1.3.24. Ricorrendo all’Eq.(1.3.28) di G-L per le correnti e prendendo il rotore di j si ottiene:

j = −µ0e

∗2

m∗ |ψ∞|

2_{A (1.3.29)}

ovvero, la teoria generale di G-L si riduce alla relazione di proporzionalit`a tra j ed A postulata da London quando il parametro d’ordine non varia nello spa- zio.

Da questa relazione trova conferma l’identificazione del modulo del parame- tro d’ordine |ψ∞|2 con la densit`a di coppie superconduttive ns, e si pu`o de-

durre l’equazione di smorzamento del campo magnetico con la profondit`a di penetrazione λ = r m∗ µ0e∗2|ψ∞|2 (1.3.30) Vicino Tc, |ψ∞|2 risulta proporzionale a (Tc− T ) e λ varia proporzionalmente

a (Tc− T )−

1

2 e diverge a T = T_c.

Dovendo considerare le variazioni spaziali del parametro d’ordine ψ, si intro- duce la funzione normalizzata χ = ψ(r)_ψ

∞, dove ψ∞ `e il valore all’equilibrio.

Supponendo nullo il campo locale (A = 0) per una geometria unidimensionale l’Eq. (1.3.27) si riscrive come

ξ2d

2_ψ

dx2 + ψ − |ψ|

2_{ψ = 0 (1.3.31)}

dove ξ `e una lunghezza caratteristica detta lunghezza di coerenza data da

ξ = s

~2

2m∗_|α| (1.3.32)

Il parametro d’ordine varia nello spazio su una distanza comparabile a ξ che aumenta come (Tc− T )−

1

2 in prossimit`a di T_c.

Il rapporto tra le due lunghezze caratteristiche `e detto parametro di Ginzburg κ = λ

1.3 Teorie fenomenologiche 21

adimensionale e approssimativamente indipendente dalla temperatura, infat- ti, vicino a Tc, λ diverge come (Tc− T )−

1

2 e ξ come indicato nell’Eq.(1.3.32).

La classificazione in superconduttori del tipo-I e tipo-II dipende dal valore di questo parametro.

Consideriamo infatti l’energia superficiale Σn,s associata all’interfaccia di se-

parazione tra una regione normale ed una superconduttiva in presenza di un campo magnetico H. Nel passare da una regione all’altra, l’induzione magne- tica e il parametro d’ordine variano spazialmente su lunghezze dell’ordine di λ e ξ rispettivamente; la diversa variazione spaziale dei due contributi determina la formazione di un’energia Σn,s all’interfaccia pari alla somma algebrica dell’e-

nergia di condensazione, calcolata a T = 0K, e dell’energia di magnetizzazione Σn,s = 1 2µ0H 2 cξ − 1 2µ0H 2_{λ (1.3.34)}

Nel caso in cui λ > ξ (in un superconduttore di tipo-II) pu`o esistere un valore di campo H < Hc per cui l’energia superficiale `e negativa, ed `e energetica-

mente favorevole trovarsi in uno stato con numerose zone d’interfaccia norma- le/superconduttore.

A seconda che κ sia minore o maggiore dell’unit`a, l’energia superficiale pu`o risultare rispettivamente positiva o negativa. Σn,s, `e positiva per κ < √1₂ nei

superconduttori di tipo-I, poich´e in una regione di spessore δ ∼ (ξ − λ), del- l’ordine di 10−5− 10−4 _{cm, avviene l’espulsione completa del campo magnetico}

per qualsiasi temperatura inferiore a Tc, con un incremento dell’energia com-

plessiva del sistema. Al contrario, per κ > √1

2 l’energia superficiale `e negativa, e pertanto superato

un determinato campo magnetico Hc1, per il superconduttore `e energetica-

mente favorevole dividersi in una fitta alternanza di domini normali e super- conduttivi, in modo che la comparsa di interfacce di separazione determini l’abbassamento dell’energia totale. Questo `e quanto accade in un supercon- duttore di tipo-II, in cui λ `e pi`u grande di ξ; infatti, per Hc1(T ) < H < Hc2(T )

il campo magnetico pu`o penetrare in domini normali, mantenendo l’ordine su- perconduttivo nel resto del sistema (Stato misto).

Riassumendo si ha: κ < √1

2 Σn,s > 0 ⇒ superconduttori tipo − I (1.3.35) κ > √1