Le equazioni risolte dal modulo Pressure Acoustics

I problemi di risoluzione di un campo di pressione generato da fenomeni di natura acustica consistono nella determinazione del campo di pressione p considerando però che la pressione subisce piccole variazioni rispetto al valore di riferimento p0 della pressione

continuità o di conservazione della massa, delle quali si ricorda di seguito la formulazione: { 𝜕𝑢⃗⃗ 𝜕𝑡+ (𝑢⃗⃗ ∙ ∇)𝑢⃗⃗ = − 1 𝜌∇p 𝜕𝜌 𝜕𝑡+ ∇ ∙ (ρ𝑢⃗⃗) = 0 (2.1) Nella formulazione acustica classica qualsiasi processo termodinamico è assunto come reversibile ed adiabatico, cioè isoentropico.

Si suppone quindi, per la natura stessa del problema, che le variazioni nello stato stazionario del fluido siano piccole e che si verificano su un fluido in condizione inziali di assenza di moto (𝑢⃗⃗⃗⃗ = 0) e di densità iniziale 𝜌_{0 0} e pressione stazionaria 𝑝₀:

{ 𝑝 = 𝑝0+ 𝑝′ 𝜌 = 𝜌₀+ 𝜌′ 𝑢⃗⃗ = 0⃗ + 𝑢⃗⃗′ con {𝑝_𝜌′′ ≪ 𝑝_{≪ 𝜌}0 0 (2.2) Inserendo queste condizioni nelle relazioni che governano il problema (2.1) e considerando soltanto i termini lineari delle variabili che compaiono in esse si ottiene:

{ 𝜕𝑢⃗⃗ 𝜕𝑡 = − 1 𝜌∇p′ 𝜕𝜌 𝜕𝑡+ 𝜌0(∇𝑢⃗⃗′) = 0 (2.3) Una delle variabili dipendenti, la densità 𝜌, può essere eliminata dalla formulazione precedente esprimendola in termini di pressione e bloccando l’ espansione in serie di Taylor della relazione seguente al primo ordine, cioè al termine lineare:

𝜌′₌𝜕𝜌

𝜕𝑝|_𝑠 𝑝′= 1

𝑐_𝑠𝑝′ (2.4) In cui 𝑐_𝑠 è la velocità del suono isoentropica ad entropia s costante. Dalla condizione (2.4) si può quindi ricavare una utile espressione che fornisce una condizione da tenere in considerazione nella risoluzione di un problema acustico linearizzato:

|𝑝′| ≪ 𝑝0𝑐𝑠2 (2.5) Esprimendo infine l’ equazione di continuità (2.3-2) considerando lì espressione (2.4) e mantenendo solo i termini lineari si ricava l’ equazione dell’ onda in un mezzo privo di perdite nella sua formulazione più generale:

1 𝜌𝑐_𝑠2 𝜕2_𝑝 𝜕𝑡2 + ∇ ∙ (− 1 𝜌(∇𝑝 − 𝑞⃗⃗⃗⃗ )) = 𝑄𝑑 𝑚 (2.6) In cui:

 𝜌 è la densità del fluido;

 𝑞⃗⃗⃗⃗ _𝑑 è un termine che si riferisce ad eventuali sorgenti sonore di tipo dipolo;

 𝑄_𝑚 si riferisce ad eventuali sorgenti di tipo monopolo.

Si nota subito che nelle modellazioni che verrano proposte di seguito i termini 𝑞⃗⃗⃗⃗ e 𝑄_{𝑑 𝑚} saranno sempre nulli, ottenendo così la formulazione classica dell’ equazione dell’ onda di D’ Alembert già fornita nel Capitolo 1:

1 𝜌𝑐𝑠2 𝜕2_𝑝 𝜕𝑡2+ ∇ ∙ (− 1 𝜌(∇𝑝)) = 0 (2.6 𝑏𝑖𝑠) Si osserva infine che i termine 𝜌𝑐𝑠2 che compare nella (2.6) viene anche definito modulo di

comprimibilità adiabatico, generalmente indicato con K, che corrisponde all’ inverso del

modulo di comprimibilità del fluido, cioè 𝜅 = 1/𝐾.

Nell’ equazione (2.6) i termini velocità del suono 𝑐 = 𝑐(𝑥⃗⃗) e 𝜌 = 𝜌(𝑥⃗⃗) possono dipendere dalla coordinata spaziale 𝑥⃗⃗ , ma sono generalmente indipendenti dal tempo o variano lentamente al variare di esso.

Un caso particolare molto importante da enunciare nel caso di onda sonora con variazione armonica nel tempo, per il quale la pressione segue la seguente legge di variazione nel tempo:

𝑝(𝑥⃗⃗, 𝑡) = 𝑝(𝑥⃗⃗)𝑒𝑖𝜔𝑡 _(2.7) In cui:

 𝜔 = 2𝜋𝑓 [rad/s] è la frequenza angolare;

 𝑓 [Hz] è la frequenza.

Ipotizzando che i termini relativi alle sorgenti abbiano la stessa dipendenza dal tempo, l’equazione dell’ onda si riduce all’ equazione non omogenea di Helmholtz:

∇ ∙ (−1

𝜌(∇𝑝 − 𝑞⃗⃗⃗⃗ )) −𝑑 𝜔2_𝑝

𝜌_𝑐𝑐_𝑐2= 𝑄𝑚 (2.8) In cui il pedice c apposto alle quantità densità e velocità del suono indica che essa potrebbe anche assumere valore complesso. E’ il caso tipico di mezzi caratterizzati da perdite, come i materiali porosi o i fluidi altamente viscosi, i quali possono essere

Nel dominio del tempo la formulazione utilizzata per l’equazione dell’ onda è invece, come abbiamo già detto, quella classica espressa dall’ equazione dell’ oinda (2.6), con cs=c e

𝑝 = 𝑝(𝑥⃗⃗, 𝑇).

Nel dominio del tempo possono essere modellate, in termini di fenomeni dipendenti dalla frequenza, soltanto delle dipendenze la cui conoscenza è certa e precisa, fatto che limita il numero di modelli fluidi implementabili nel modulo Pressure Acoustics, Transient.

Un modo per modellare fenomeni di smorzamento nel dominio del tempo è quello di aggiungere un termine dato dal prodotto di un coefficiente numerico per la derivata prima temporale della pressione, in modo da tenere di conto dell’ attenuazione delle onde sonore come segue: 1 𝜌𝑐_𝑠2 𝜕2_𝑝 𝜕𝑡2− 𝑑𝑎 𝜕𝑝 𝜕𝑡 + ∇ ∙ (− 1 ρ(∇𝑝 − 𝑞⃗⃗⃗⃗ )) = 𝑄𝑑 𝑚 (2.10) In cui 𝑑_𝑎 è il termine di smorzamento, che corrisponde ad una sorgente monopolo proporzionale alla derivata temporale della pressione e che non compare comunque nella formulazione generale dell’ equazione dell’ onda risolta di default dal software nel dominio del tempo.

Anche quando il fenomeno di propagazione delle onde avviene in un mezzo privo di perdite, si possono comunque avere delle attenuazioni nella propagazione delle onde dovute all’interazione con i bordi del dominio modellato: tale fenomeno riguarda in particolare i bordi modellati attraverso condizioni di impedenza.

2.1.3 Le equazioni risolte dal modulo Pressure Acoustics

Il modulo Acoustic-structure Interaction è un ramo del software Comsol Multiphysics che permette di modellare fenomeni nei quali la pressione del fluido, trattato come dominio acustico, genera un carico agente sul dominio solido e, viceversa, l’accelerazione del dominio solido nfluenza lo stato del fluido sotto forma di una accelerazione normale che si trasmette all’interfaccia solido- fluido.

Infatti questo modulo unisce in modo automatico i due moduli Pressure Acoustics e Solid

Mechanics e può essere utilizzato sia nel dominio delle frequenze, nel quale l’equazione

risolta per il dominio acustico sarà quella dell’onda nella formulazione di Helmhotz, che nel dominio del tempo, in cui sarà invece risolta la classica equazione di D’Alembert. Il vantaggio di utilizzare il modulo di interazione sta nel fatto che il software riconosce automaticamente la zona della geometria modellata che assume la funzione di interfaccia tra i due domini di natura differente e per essa introduce una condizione al bordo

specifica di default, chiamata Acoustic-Structure Boundary. Tale condizione al bordo valuta i carichi provenienti dal fluido e le accelerazioni dovute al solido e permette di aggiornare continuamente la soluzione dei due domini, considerando l’influenza che la soluzione di uno ha sull’altro, finché non viene raggiunta una convergenza nel meccanismo numerico iterativo di soluzione.

Le equazioni che vengono imposte e risolte dal software su questo contorno sono:

 Una equazione che identifica la pressione del fluido in corrispondenza dell’ interfaccia col solido come un carico-pressione (forza per unità di superficie), descrivendo perciò come il fluido interagisce col solido:

𝐹_𝑝

⃗⃗⃗ = 𝑛𝑝 (2.11)

 Una seconda equazione che definisce la misura in cui il solido interagisce a sua volta con il fluido, trasformo la derivata seconda del campo di spostamento del dominio solido in corrispondenza dell’ interfaccia solido-fluido in una accelerazione normale, che influenzerà la pressione del fluido:

𝑎_𝑛= 𝑛 ∙ 𝑢_𝑡𝑡 (2.12) Generalmente il riconoscimento del bordo che assume la funzione di interfaccia è automatica da parte del software e nessun altro bordo può essere aggiunto nel ramo dedicato a questa condizione al bordo per il modello.