LE FUNZIONI ELEMENTARI
1. Le funzioni Potenze
E pertanto molto importante una buona conoscenza e della definizione delle funzioni elementari e delle loro principali propriet`a.
Naturalmente la classe delle funzioni elementari, sebbene codificata e delimitata dalla letteratura e dalla tradizione matematica `e in qualche mo-do aperta a nuovi ingressi che si rendano di uso frequente in applicazioni future.
1. Le funzioni Potenze
Cominciamo con il definire cosa si intende per potenza di esponente naturale;
DEFINIZIONE 4.1. Sia n ∈ N, definiamo la funzione pn : R −→ R
mediante la
pn(x) = xn; pnsi dice potenza di esponente n e di base x.
TEOREMA4.1. Sia n ∈ N, pn `e strettamente crescente in R+.
DIMOSTRAZIONE. Procediamo per induzione; `e innanzi tutto ovvio che
p1 `e strettamente crescente in R+ed inoltre se supponiamo pncrescente in
R+, presi x > y ≥ 0 si ha
pn+1(x) = xpn(x) > xpn(y) ≥ ypn(y) = pn+1(y)
e pn+1 `e strettamente crescente su R+ 2
TEOREMA4.2. Sia n ∈ N, n pari, allora (1) pn(x) = pn(−x) per ogni x ∈ R (2) pn`e strettamente decrescente su R− (3) R(pn) = R+ DIMOSTRAZIONE. (1) Poich`e n `e pari si ha n = 2k, k ∈ N e xn = x2k = (x2)k= ((−x)2)k = (−x)2k = (−x)n 33
34 4. LE FUNZIONI ELEMENTARI
(2) Siano x < y ≤ 0, allora −x > −y ≥ 0 e dal teorema 4.2
pn(x) = pn(−x) > pn(−y) = pn(y)
(3) `E evidente che R(pn) ⊂ R+in quanto xn = x2k e x2 ≥ 0,
l’inclu-sione opposta dipende dal fatto che pn `e una funzione continua e dal teorema dei valori intermedi. Proveremo tale inclusione a suo tempo.
2
TEOREMA4.3. Sia n ∈ N, n dispari, allora (1) pn(x) = −pn(−x) per ogni x ∈ R (2) pn`e strettamente crescente su R− (3) R(pn) = R. DIMOSTRAZIONE. (1) Poich´e n `e dispari si ha n = 2k + 1 e pn(x) = x2k+1 = xx2k = −(−x)(−x)2k = −(−x)n = −pn(−x)
(2) Siano x < y ≤ 0, allora −x > −y ≥ 0 e, per il teorema 4.2,
−pn(x) = pn(−x) > pn(−y) = −pn(y).
(3) Anche in questo caso rimandiamo la dimostrazione al seguito.
2
Abbiamo visto che, se n ∈ N, n pari, allora pn : R+ −→ R+ `e stret-tamente crescente e surgettiva; pertanto pn `e invertibile ed `e lecito definire
rn: R+ −→ R+ come rn = (pn)−1.
Se x ∈ R+, rn(x) si dice radice n-esima di x.
Sia n ∈ N, n dispari, abbiamo gi`a visto che pn: R −→ R `e strettamente
crescente e surgettiva; pertanto pn `e invertibile ed `e lecito definire
rn: R −→ R come rn = (pn)−1
Se x ∈ R, rn(x) si dice radice n-esima di x.
TEOREMA4.4. Sia n ∈ N
(1) se n `e pari, rn : R+−→ R+ `e strettamente crescente; (2) se n `e dispari, rn: R −→ R `e strettamente crescente.
1. LE FUNZIONI POTENZE 35
FIGURA 4.1. Potenze ad esponente naturale
36 4. LE FUNZIONI ELEMENTARI
FIGURA4.3. Potenze ad esponente negativo
DEFINIZIONE4.2. Sia n ∈ N, p−n: R \ {0} −→ R `e definita come p−n(x) = 1/pn(x)
inoltre, p0 : R −→ R `e definita da
p0(x) = 1 ∀x ∈ R
Per studiare le propriet`a di crescenza, decrescenza e invertibilit`a di p−n sar`a sufficiente fare ricorso al seguente risultato.
TEOREMA4.5. Sia f : D −→ R tale che f (x) > 0 per ogni x ∈ D; allora
(1) f `e (strettamente) crescente ⇔ 1/f `e (strettamente) decrescente; (2) f `e (strettamente) decrescente ⇔ 1/f `e (strettamente) crescente.
DEFINIZIONE4.3. Sia s ∈ Q, s = m/n, m ∈ Z, n ∈ N; definiamo la funzione fs : R+−→ R+mediante la
fs(x) = pm(rn(x)) = rn(pm(x))
Se x ∈ R+, fs(x) si dice potenza ad esponente frazionario di esponente s di base x.
Osservazione. Se x ∈ R+ la definizione 4.3 `e indipendente dalla rappresentazione di s in forma frazionaria e dall’ordine in cui viene fatta la composizione tra potenza e radice.
1. LE FUNZIONI POTENZE 37
Se invece x ∈ R−pu`o accadere che rn(pm(x)) sia definito anche
quan-do pm(rn(x)) non lo `e.
Inoltre, se m/n, m0/n0 sono due diverse rappresentazioni frazionarie dello stesso numero razionale s, pu`o accadere che rn(pm(x)) sia definito
mentre rn0(pm0(x)) non lo `e.
(Si consideri ad esempio m = 2 ed n = 4; allora se x < 0 si ha che
r4(p2(x)) `e definito mentre p2(r4(x)) no.
Inoltre se m0 = 1 e n0 = 2 r4(p2(x)) `e definito mentre r2(p1(x)) no.) 2
Pertanto per valori di x ∈ R−consideriamo la composizione di potenze e radici ove essa ha senso, ma non definiamo in alcun modo la funzione potenza ad esponente razionale.
Ribadiamo ancora che ci`o `e dovuto al fatto che non `e agevole, e talvolta non `e possibile, definire in modo univoco la potenza ad esponente razionale in R−.
Ci`o non significa comunque rinunciare a considerare la composizione di una potenza di esponente n e di una radice di indice m, qualora essa abbia senso, anche per valori dell’argomento negativi.
Ad esempio `e chiaro che p2(r3(−2)) risulta perfettamente ed
univoca-mente individuato.
In casi simili tuttavia, pur trattando la funzione composta
pm(rn(·))
non parleremo di potenza ad esponente razionale mn e non pretenderemo di applicare a pm(rn(·))le propriet`a delle potenze in quanto, come visto,
potrebbero risultare false.
TEOREMA 4.6. Sia s ∈ Q, s > 0, e sia fs : R+ −→ R+, allora fs `e strettamente crescente.
DIMOSTRAZIONE. Infatti se s = mn > 0 allora si ha m, n ∈ N e quindi xs = pm(rn(x)) = rn(pm(x))
`e la composizione di due funzioni strettamente crescenti. 2 E’ inoltre possibile dimostrare che le usuali regole di calcolo delle po-tenze naturali continuano a valere anche per le popo-tenze ad esponente razio-nale In altre parole si pu`o provare che
Se s, r ∈ Q, e se x, y ∈ R+, allora si ha: (1) xs+r = xsxr
(2) (xs)r = xsr (3) (xy)s= xsys
Si dimostra altres`ı che
TEOREMA4.7. Se x > 1 la funzione Q 3 r 7→ xr `e crescente su Q In altre parole per s, r ∈ Q, s < r; si ha
38 4. LE FUNZIONI ELEMENTARI
FIGURA4.4. Potenze ad esponente positivo
DIMOSTRAZIONE. Si ha
xr− xs= xs(xr−s− 1) > 0
in quanto
xs > 0 e xr−s> 1
dal momento che essendo r − s > 0 la funzione x 7→ xr−s `e crescente ed
x > 1. 2
Per poter definire la potenza anche per esponenti reali `e necessario ri-cordare che piccole variazioni dell’esponente razionale corrispondono a piccole variazioni della potenza; pi`u precisamente possiamo affermare che: TEOREMA 4.8. Sia x > 1 e sia r ∈ Q, allora per ogni ε > 0 esiste
nε ∈ N tale che
0 < xr− xr−1/nε < ε
Sfruttando questa propriet`a `e facile capire come sia naturale definire xa per ogni x > 1.
Nel caso in cui sia invece 0 < x < 1 potremo considerare 1x > 1,
calcolare 1xae definire
xa= 1
x−a = 1 x
−a
1. LE FUNZIONI POTENZE 39
DEFINIZIONE4.4. Sia x > 1 e sia a ∈ R; definiamo
xa = sup{xr: r ∈ Q, r ≤ a} = sup{xr : r ∈ Q, r < a}
La precedente definizione afferma implicitamente che i due estremi su-periori che vi figurano sono reali ed uguali; possiamo infatti verificare che
Siano A = {xr : r ∈ Q, r ≤ a} e B = {xr : r ∈ Q, r < a} allora sup A = sup B ∈ R
DEFINIZIONE 4.5. Se x = 1 definiamo 1a = 1 per ogni a ∈ R. Se 0 < x < 1 definiamo xa= (1/x)−a.
A partire dalla definizione data possiamo verificare che la quantit`a xa per x > 0 ed a ∈ R soddisfa le propriet`a che siamo abituati ad usare quando maneggiamo potenze.
se x, y > 0 e se a, b ∈ R, allora (1) xa> 0 (2) xa+b= xaxb (3) (xa)b = xab (4) (xy)a= xaya (5) 1/(xa) = x−a
DEFINIZIONE 4.6. Sia a ∈ R, definiamo la funzione pa : R+ → R+ mediante la
x 7→ pa(x) = xa
potenza di esponente a
TEOREMA4.9. Sia a ∈ R, valgono i seguenti fatti: (1) Se a > 0 allora pa `e strettamente crescente (2) Se a < 0 allora pa `e strettamente decrescente (3) Se a 6= 0 allora R(pa) = R+s
DIMOSTRAZIONE.
(1) Sia 0 < x < y, occorre provare che xa< ya, cio`e che xa− ya< 0;
si ha
xa− ya= xa(1 − (y/x)a) e (y/x) > 1
pertanto (y/x)r> 1 per ogni r ∈ Q, 0 < r ≤ a e (y/x)a> 1.
(2) `E immediata conseguenza di (1)
(3) Il fatto che R(pa) ⊂ R+ segue dalla definizione di potenza, men-tre la dimostrazione dell’inclusione opposta si ottiene mediante il teorema dei valori intermedi.
2
TEOREMA 4.10. Sia a ∈ R, a 6= 0, allora pa `e invertibile su R+ e
40 4. LE FUNZIONI ELEMENTARI
FIGURA4.5. Potenze ad esponente reale
DIMOSTRAZIONE. Sar`a sufficiente dimostrare che
pa(p1/a(y)) = y ∀y ∈ R+ e
p1/a(pa(x)) = x ∀x ∈ R+.
Si ha infatti
pa(p1/a(y)) = (y1/a)a= ya/a = y
e
p1/a(pa(x)) = (xa)1/a = xa/a = x.