QUALCHE SVILUPPO DI TAYLOR NOTEVOLE
7. Come ricavare altri sviluppi
Le precedenti formule possono essere utilizzate per ricavare nuovi svi-luppi di Taylor mediante semplice sostituzione.
Ad esempio dalla13.7possiamo ricavare, sostituendo x con −x2 che
e−x2 = n X k=0 (−1)kx2k k! + x 2n ω(x) (13.61) e−x2 = n X k=0 (−1)kx2k k! + (−1) n+1 ec (n + 1)!x 2n+2 |c| ≤ |x2| (13.62)
Da quest’ultima, osservando che
x2nω(x)
`e un infinitesimo di ordine superiore ad 2n e ricordando la 12.4 possiamo affermare che n X k=0 (−1)kx2k k!
`e il polinomio di McLaurin di e−x2 di grado n. L’affermazione `e giustificata dal fatto che Pn
k=0
(−1)kx2k
k! differisce da
e−x2 per infinitesimi di ordine superiore a 2n.
Si capisce quindi che pu`o essere utile disporre di criteri che consen-tano di affermare che la differenza tra un polinomio ed una funzione `e infinitesima di ordine superiore al grado del polinomio.
7. COME RICAVARE ALTRI SVILUPPI 117
Se f `e derivabile e se
(13.63) f (x) = Pn(x) + Rn(x)
allora
(13.64) f0(x) = (Pn(x))0+ (Rn(x))0
(Rn `e derivabile perch`e Rn = f − Pn e quindi `e la differenza di due funzioni derivabili.)
Ora se (Rn(x))0 `e un infinitesimo di ordine superiore ad n − 1 si ha
(13.65) lim
x→0
(Rn(x))0 xn−1 = 0
e, per la regola di De l’Hopital
(13.66) lim x→0 (Rn(x)) xn = lim x→0 (Rn(x))0 nxn−1 = 0
CAPITOLO 14
LA CONVESSIT `A
Con le definizioni e gli strumenti che abbiamo introdotto fino a questo punto siamo in grado di distinguere una funzione il cui grafico sia del tipo illustrato in figura1(a)da una il cui grafico sia quello illustrato nella figura
1(b)
(a) (b)
FIGURA14.1.
Possiamo infatti osservare che il primo `e il grafico di una funzione crescente mentre il secondo rappresenta una funzione decrescente.
Abbiamo inoltre gi`a sviluppato strumenti (studio del segno della deri-vata prima) che ci consentono di stabilire se una funzione `e crescente o decrescente.
Non siamo tuttavia ancora in grado di distinguere tra i grafici delle tre seguenti funzioni in quanto, ad un primo esame, possiamo osservare che tutte e tre sono funzioni crescenti; `e tuttavia chiaro che si tratta di funzioni il cui grafico presenta caratteristiche molto diverse, cos`ı come `e evidente quale `e la differenza tra una scodella ed un ombrello.
Onde cercare di definire una propriet`a che ci consenta di distinguere tra i tre grafici cominciamo ad esaminare il pi`u semplice dei tre cio`e il secondo. Chiaramente si tratta di una retta e quindi il suo grafico `e individuato da due punti.
Indichiamo con ` la funzione e con (x, `(x)), (y, `(y)) due punti del suo grafico. Possiamo individuare il valore di ` in z semplicemente usando la proporzionalit`a tra i triangoli indicati in figura.
120 14. LA CONVESSIT `A
(a) (b) (c)
FIGURA14.2.
FIGURA14.3.
Avremo infatti che
(14.1) `(z) − `(x) z − x = `(y) − `(x) y − x Poich`e `(z) − `(x) z − x = `(x) − `(z) x − z , `(x) − `(y) x − y = `(y) − `(x) y − x
la14.1 non cambia anche nel caso in cui z non sia, come in figura, interno all’intervallo di estremi x ed y. Inoltre non `e restrittivo considerare x < y.
Avremo pertanto che il valore di ` in z `e dato da
(14.2) `(z) = `(x) + (z − x)`(y) − `(x) y − x
La22.1`e semplicemente l’equazione di una retta che passa per il punto
14. LA CONVESSIT `A 121
`
E utile osservare che, se poniamo
t = z − x y − x
esprimiamo, nel contempo, la proporzionalit`a
t 1 =
z − x y − x
tra le lunghezze dei segmenti di [x, z] e [x, y] ed i valori t ed 1.
Pertanto il rapporto tra i segmenti [z, y] e [x, y], sar`a uguale a 1 − t. Un semplice calcolo mostra infatti che
1 − t = 1 − z − x y − x = y − x − z + x y − x = y − z y − x Inoltre se poniamo (14.3) t = z − x y − x avremo z − x = t(y − x) (14.4) e quindi z = x + t(y − x)x = ty + (1 − t)x (14.5)
Per t ∈ (0, 1) la 14.5individua un punto z che si trova all’interno del-l’intervallo di estremi x ed y, mentre per t > 1 si hanno punti a destra di y e per t < 0 si hanno punti a sinistra di x.
Similmente possiamo scrivere la22.1come
(14.6) `(z) = `(x) + (z − x)`(y) − `(x)
y − x = `(x) + (`(y) − `(x)) z − x y − x `(x) + t(`(y) − `(x)) = t`(y) + (1 − t)`(x)
ed infine possiamo scrivere
(14.7) `(ty + (1 − t)x) = t`(y) + (1 − t)`(x)
ed osservare che al variare di t la14.7consente di esprimere il fatto che tutti i valori `(z) = `(ty + (1 − t)x) si trovano sulla retta di cui abbiamo studiato il grafico.
Se ora sovrapponiamo i primi due grafici della figura 14.2 risulta evi-dente che, se chiamiamo f la funzione del primo grafico ed x e y i punti di intersezione tra il grafico e la retta, avremo che, all’interno dell’intervallo
[x, y], il grafico di f sta sotto il grafico della retta.
Chiamiamo una tale funzione convessa ed esprimiamo il fatto che ab-biamo appena individuato semplicemente chiedendo che
122 14. LA CONVESSIT `A
FIGURA14.4.
f (ty + (1 − t)x) ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) ∀t ∈ (0, 1)
Poniamo in altre parole la seguente definizione
Sia f : (a, b) −→ R; f si dice convessa in (a, b) se (14.8) f (ty + (1 − t)x) ≤ tf (y) + (1 − t)f (x)
per ogni x, y ∈ (a, b) e per ogni t ∈ (0, 1)
Inoltre
Diciamo che f `e strettamente convessa
(14.9) f (ty + (1 − t)x) < tf (y) + (1 − t)f (x)
per ogni x, y ∈ (a, b) e per ogni t ∈ (0, 1)
`
E utile osservare che la14.8pu`o essere scritta in diversi modi tutti utili per comprendere le propriet`a delle funzioni convesse.
14. LA CONVESSIT `A 123 f (ty + (1 − t)x) ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) (14.10) f (z) ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) (14.11) f (z) ≤ f (x) + (z − x)f (y) − f (x) y − x (14.12)
Dalla definizione di convessit`a si ricava sottraendo ad ambo i membri
f (y) f (z) − f (y) ≤ (t − 1)(f (y) − f (x)) (14.13) f (z) − f (y) ≤ z − y y − x(f (y) − f (x)) (14.14) f (z) − f (y) z − y ≥ f (y) − f (x) y − x (14.15) FIGURA14.5.
Possiamo pertanto concludere, osservando che abbiamo sempre operato trasformando una disuguaglianza in una equivalente, che
Sono fatti equivalenti (si veda la figura14.5):
• f `e convessa in (a, b)
• In ogni punto y ∈ (a, b) il rapporto incrementale t 7→ f (t) − f (y)
t − y
124 14. LA CONVESSIT `A
D’altro canto, se f `e convessa si ha:
f (z) ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) (14.16) f (z)(t + (1 − t)) ≤ tf (y) + (1 − t)f (x) (14.17) t(f (z) − f (y)) ≤ (1 − t)(f (x) − f (z)) (14.18) (z − x)(f (z) − f (y)) ≤ (y − z)(f (x) − f (z)) (14.19) f (y) − f (z) y − z ≥ f (z) − f (x) z − x (14.20) FIGURA14.6. Ora, se x < z < w < y si ha (14.21) f (z) − f (x) z − x ≤ f (w) − f (z) w − z ≤ f (y) − f (w) y − w
Passando al limite per x → z− e per y → w+ se f `e convessa e derivabile allora
(14.22) f0(z) ≤ f0(w)
e quindi f0 `e crescente.
Viceversa se f `e derivabile ed f0 `e crescente allora, usando il teorema di Lagrange si pu`o affermare che
(14.23) f (z) − f (x) z − x = f 0 (ξ) ≥ f0(η) = f (y) − f (w) y − w e quindi f `e convessa.
14. LA CONVESSIT `A 125
FIGURA14.7.
Sono fatti equivalenti (si veda14.7):
• f `e convessa in (a, b)
• f0 `e una funzione crescente in (a, b)
Osserviamo infine che, se f `e convessa, allora
f (y) − f (z) ≥ (y − z)f (z) − f (x) z − x (14.24) f (y) ≥ f (z) + (y − z)f (z) − f (x) z − x (14.25)
e passando al limite per x → z
f (y) ≥ f (z) + f0(z)(y − z)
(14.26) (14.27)
e pertanto il grafico di f sta’ sopra al grafico di ogni sua retta tangente, Se viceversa il grafico di f sta’ sopra al grafico di ogni sua retta tangen-te, allora f (y) ≥ f (z) + f0(z)(y − z) (14.28) e f (x) ≥ f (z) + f0(z)(x − z) (14.29)
126 14. LA CONVESSIT `A
da cui, tenendo conto che y − z > 0, e x − z < 0
f (y) − f (z) y − z ≥ f0(z) ≥ f (z) − f (x) z − x (14.30) e f (y) − f (z) ≥ (y − z)f (z) − f (x) z − x (14.31) e quindi f `e convessa. FIGURA14.8. Ne concludiamo che se f `e derivabile, allora
Sono fatti equivalenti (si veda la figura14.8):
• f `e convessa in (a, b)
• il grafico di f sta’ sopra al grafico di ogni sua retta tangente
I risultati che legano segno della derivata e crescenza della funzione permettono poi di concludere che
Sia f una funzione derivabile due volte in (a, b); sono condizioni equivalenti:
• f `e convessa in (a, b); • f0 `e crescente in (a, b);
14. LA CONVESSIT `A 127
DEFINIZIONE14.1. Sia f : (a, b) −→ R, diciamo che f `e concava in
(a, b) se −f `e convessa in (a, b).
DEFINIZIONE14.2. Diciamo che f : (a, b) −→ R ha un punto di flesso in x0 ∈ (a, b) se esiste δ > 0 tale che f `e convessa (concava) in (x0− δ, x0)
e concava (convessa) in (x0, x0+ δ).
Semplici esempi mostrano come sia possibile per una funzione avere un punto di flesso in 0 e
• non essere derivabile in 0 (f (x) = √3 x) • avere derivata non nulla in 0 (f (x) = sin x) • avere derivata nulla in 0 (f (x) = x3).
TEOREMA14.1. Sia f : (a, b) −→ R e sia x0 ∈ (a, b), supponiamo f
derivabile in (a, b); allora x0 `e un punto di flesso se e solo se f0 `e crescen-te (decrescencrescen-te) in un intorno destro di x0 e decrescente (crescente) in un intorno sinistro.
E’ pertanto evidente che non `e possibile caratterizzare un punto di flesso facendo uso soltanto della derivata prima nel punto.
Possiamo tuttavia provare nel successivo paragrafo condizioni in grado di caratterizzare i punti di flesso.
CAPITOLO 15