Definition 0.16.1. Una trasformazione geometrica `e una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
Se conderiamo un punto A(x; y) il punto corrispondente ad A lo chiamia-mo A0(x0; y0).
Viceversa A `e l’antitrasformato o controimmagine di A0.
Se indichiamo con g la trasformazione g : A(x; y) ½ A0(x0; y0), poich´e `e una corrispondenza biunivoca, la trasformazione inversa sar`a g−1 : A0(x0; y0) ½
A(x; y).
A ogni punto A viene associato il trasformato A0 mediante due relazioni: ( x0 = F(x;y) y0 = G(x,y) Esempio ( x0 = 2x-y+5 y0 = x+y+1 → ( 2x − y = x0-5 x + y = y0-1
Applicando il metodo di Cramer per risolvere il sistema otteniamo le equa-zioni della relazione che alla coppia (x0; y0) fa corrispondere (x; y).
(
x = x0
3 + y30 − 2
y = x0
3 + 2y30 + 1
Definition 0.16.2. (PUNTI E FIGURE UNITE) In una trasformazione geometrica, un punto unito `e un punto che ha se stesso per immagine. In una trasformazione geometrica una figura unita `e una figura che ha se stessa per immagine.
Se in una figura ogni punto `e unito, la figura `e puntualmente unita (
x0 = 4 − x
y0 = y
sono i punti della retta x = 2 altrimenti si dice globalmente unita.
(
x0 = x + 1
y0 = y + 2 sono mi punti della retta y = 2x
la trasformazione che ad ogni punto associa se stesso si chiama identit`a (
x0 = x
nelle identit`a ogni punto `e unito.
Composizione di trasformazioni
Consideriamo la trasformazione g1 che trasforma P in P1 e la trasforma-zione g2 che trasforma P1 in P2.
La trasformazione composta di g1 e g2 trasforma P in P2, e lo indichiamo con g2 ◦ g1.
In generale g2◦ g1 6= g1 ◦ g2, per la composizione di trasformazioni non vale la proprieta`a commutativa.
Osserviamo: Per la definizione di trasformazione inversa, dalla composizio-ne di una trasformaziocomposizio-ne con la sua inversa si ottiecomposizio-ne l’identit`a. g ◦ g−1 =
g−1◦ g = i.
Definition 0.16.3. (TRASFOMAZIONE INVOLUTORIA) Una trasforma-zione si dice involutoria se componendola con se stessa si ottiene l’identit`a.
ESEMPIO: Una trasformazione h di equazione (
x0 = -x
y0 = -y
`e involutoria. Infatti P (x, y) → P0(−x; −y) → P (x; y)
0.17 AFFINITA’
Tra le trasformazioni geometriche studiamo quelle rappresentate dalle equazioni di primo grado.
Definition 0.17.1. Una trasformazione geometrica che ha equazione del
tipo: ( x0 = ax + by + c y0 = a0x + b0y + c0 con ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b a0 b0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯6= 0 `e una affinit`a.
In ogni trasformazione geometrica `e interessante osservare le propriet`a invarianti, ossia quelle propriet`a che si conservano nella trasformazione. Si pu`o dimostrare che ogni affinit`a trasforma rette in rette, segmenti in segmenti e poligoni in poligoni con lo stesso numero di lati.
Possiamo suddividere le affinit`a in dirette ed indirette:
dirette Se ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b a0 b0 ¯ ¯ ¯ ¯
¯> 0 (conserva l’orientamento dei vertici)
indiretta Se ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b a0 b0 ¯ ¯ ¯ ¯
¯< 0(se inverte l’orientamento dei vertici)
Studieremo per prime delle particolari affinit`a le ISOMETRIE
0.17.1 LE ISOMETRIE
La parola isometria deriva dalle parole greche ´ısos che significa uguale, e m´etros che significa misura. Una isometria `e una trasformazione del piano che conserva la distanza.
Definition 0.17.2. Una isometria `e una affinit`a nella quale la distanza fra due qualunque punti del piano A e B `e uguale a quella fra le loro immagini
A0 e B0: AB = A0
B0
Osserviamo:
una isometria trasforma una figura geometrica in una figura congruente. per questo in una isometria si conserva anche l’estensione delle superfici. Ci sono quattro tipi di isometrie:
• la traslazione
• la simmetria assiale
• la simmetria centrale
LA TRASLAZIONE
Rappresentiamo in un piano cartesiano un vettore −→v , ponendo il primo
estremo nell’originedegli assi. Le coordinate del secondo estremo sono una coppia di numeri, dette componenti del vettore (es: −→v (2; −5)). Lo stesso
vettore pu`o essere rappresentato con altri segmenti orientati a quello dato, ossia con uguale distanza fra gli estremi(modulo), stessa direzione e verso.
Definition 0.17.3. Consideriamo un generico punto del piano e
consideria-mo il vettore −→v e chiamiamo A0 il punto del piano coincidente con il secondo
estremo. La traslazione di vettore −→v `e quella trasformazione che associa al
punto A in punto A0.
L’equazione della generica traslazione t secondo il generico vettore −→v (a; b)
sono date da (
x0 = x+a
y0 = y+b
Osserviamo:la traslazione `e una affinit`a diretta, infatti: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= 1 > 0 Osserviamo:
• In una traslazione non ci sono punti uniti: se il punto P (x; y) fosse unito, si dovrebbe avere:
(
x = x+a y = y+b
che `e impossibile per (a; b) 6= (0; 0).
• Le rette che si corrispondono in una traslazione sono parallele
• In una traslazione le rette unite sono quelle parallele al vettore della traslazione
• la composizione di due traslazioni di vettori −→v1 e −→v2 `e ancora una traslazione di vettore −→v 1+ −→v2
LA SIMMETRIA ASSIALE
Definition 0.17.4. Fissata nel piano una retta r, la simmetria assiale ri-spetto alla retta r `e quella trasformazione geometrica che a ogni punto P fa
corrispondere il punto P0, nel semipiano opposto rispetto ad r e tale che r
sia asse del segmento P P0
• r passa per il punto di P P0
• P P0 `e perpendicolare a r.
La simmetria assiale `e una trasformazione involutoria cio`e componendola con se stessa si ottiene l’idnetit`a.
Possiamo suddividere la simmetria asssiale in due casi:
a) simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse y Consideriamo una generica retta parallela all’asse y di equazione x = a e un punto P (x; y), il punto P0 simmetrico a P rispetto alla retta.
Per calcolare l’ascissa di P0 possiamo osservare che il punto medio fra
P P0 ha ascissa a, cio`e: a = x+x0
2 , da cui ricaviamo: x0 = 2a − x. Le coordinate di P0 sono (2a − x; y).
Le equazioni della simmetrica rispetto all’asse x = a, sono: (
x0 = 2a-x
y0 = y
La simmetria rispetto all’asse y: (
x0 = -x
y0 = y
b) simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse x Con ragionamen-to analogo: Le equazioni della simmetria rispetragionamen-to all’asse y =
b (
x0 = x
Se l’asse di simmetria `e l’asse x (
x0 = x
y0 = -y
c) simmetria rispetto alla bisettrice dei quadranti Le equazioni del-la bisettrice rispetto aldel-la bisettrice b del primo e del terzo quadrante sono (
x0 = y
y0 = x
Le equazioni della bisettrice rispetto alla bisettrice b del secondo e del quarto quadrante sono
(
x0 = -y
y0 = -x
d) Simmetrica rispetto alla retta y = mx + q Osserviamo che il punto medio del segmento P P0 deve appartenere alla retta r
y + y0
2 = m
x + x0
2 + q
Il coefficiente angolare di P P0 deve essere l’opposto del reciproco:
y0− y
x0
− x = −
1
m
ponendo a sistema le equazioni e risolvendo rispetto a x0, y0 dopo alcuni passaggi: ( x0 = 1−m 1+m2x + 2m 1+m2y −1+m2mq2 y0 = 2m 1+m2x −1−m2 1+m2y +1+m2q2
il determinante della matrice dei coefficienti delle variabili x ed y ha come valore −1 quindi `e una affinit`a indiretta.
Osserviamo:
• In una simmetria assiale i punti uniti sono i punti sull’asse di simmetria
• In una simmetria assiale le rette unite sono l’asse di simmetria e tutte le rette perpendicolari all’asse.
LA SIMMETRIA CENTRALE
Definition 0.17.5. Fissato nel piano un punto M, la simmetria centrale di centro M `e la trasformazione geometrica che a ogni punto P del piano fa
corrispondere il punto P0 tale che M `e il punto medio del segmento P P0.
Se consideriamo M(a; b) al punto P (x; y) corrispondente nella simmetria di centro M il punto P0(x0; y0)
x + x0
2 = a,
y + y0
2 = b da cui si ottengono le equazioni della simmetria centrale:
(
x0 = 2a-x
y0 = 2b-y Osserviamo:
• l’unico punto unito della simmetria centrale `e M.
• si dimostra che una simmetria centrale `e una isometria. La simmetria centrale `e una trasformazione involutoria.
• in una simmetria centrale ogni retta passante per il centro `e globalmente unita. • ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 0 0 −1 ¯ ¯ ¯ ¯
¯= 1 > 0 ossia abbiamo una affinit`a diretta.
Casi particolare: Se M coincide con l’origine O degli assi le equazioni precedenti diventano: (
x0 = −x
y0 = −y
LA ROTAZIONE
• rotazione di centro l’origine degli assi
Le equazioni della rotazione di un angolo α e di centro O sono quindi (
x0 = x cos α − y sin α
• rotazione di centro C qualunque x0 = (x − xc) cos α − (y − yc) sin α + xc y0 = (x − xc) sin α + (y − yc) cos α + yc svolgendo i calcoli: x0 = x cos α − y sin α + p y0 = x sin α + y cos α + q
p = xc− xccos α + ycsin α, q = yc− xcsin α − ycsin α
Osserviamo: • ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cos α sin α sin α cos α ¯ ¯ ¯ ¯
¯= 1 > 0 abbiamo un affinit`a diretta.
• La trasformazione inversa di una rotazione di centro C e angolo α `e ancora una rotazione di centro C ma con angolo −α.
• Componendo due rotazione con lo stesso centro C, in angoli α1 e α2, si ottiene ancora una rotazione di centro C e angolo α1+ α2.
• Componendo una rotazione di con centro C1 e C2 diversi si pu`o otte-nere:
– una rotazione di diverso centro C e angolo α1+ α2
– una traslazione
RIASSUMIAMO LE CARATTERISTICHE DELLE ISOMETRIE
a) Propriet`a delle isometrie Se (
x0 = ax + by + c
y0 = a0x + b0y + c0
sono le equazioni di una isometria, il determinante ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b a0 b0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯= ab0− a0b vale:
• 1 se l’isometria `e una traslazione, una simmetria centrale, una rotazione
• -1 se l’isometria `e una simmetria assiale I punti uniti:
• nella traslazione non ci sono punti uniti
• nella simmetria assiale i punti uniti sono dell’asse
• nella simmetria centrale e nella rotazione c’`e un solo punto unito: il centro.
Rette globalmente unite:
• nella traslazione sono quelle parallele al vettore associato
• nella simmetria assiale sono quelle perpendicolari all’asse
• nella simmetria centrale sono quelle passanti per il centro
• nella rotazione non ci sono rette unite.
b) Le condizioni affich´e una affinit`a sia una isometria Date le equazioni di una affinit`a: ( x0 = ax + by + c y0 = a0x + b0y + c0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b a0 b0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯6= 0.
cerchiamo la condizione fra i coefficienti che permettono di affermare che l’affinit`a `e una isometria.
Dati due punti A(xA; yA), B(xB; yB) la loro distanza `e AB deve essere uguale alla distanza A0B0. Determinando i trasformati A0 e B0; ed imponendo che AB = A0B0, si ottengono le seguenti condizioni
(
a2+ a02 = b2+ b02 = 1
ab + a0b0 = 0
c) La composizione di isometrie La componente di due isometria `e ancora una isometria. Poich´e si pu`o dimostrare che:
• per la composizione vale la propriet`a
• esiste l’elemento neutro, che `e l’identit`a
• per ogni isometria esiste l’inversa.
l’operazione di composizione genera nelle isometrie una struttura di gruppo. Come esempio di composizione di trasformazioni esaminiamo la glissometria.
d) la glissosimetria La composizione di una traslazione con una simmetria assiale si chiama glissometria.
Esempio Determinare le equazioni della glissometria ottenuta compo-nendo la traslazione di vettore −→v (3; −2), di equazioni:
(
x0 = x + 3
y0 = y − 2 e con simmetria assiale (
x00 = x0
y00 = −y0
Otteniamo le equazioni della glissometria: (
x00 = x + 3
y00 = −y + 2
0.17.2 L’OMOTETIA
Il prodotto di un vettore per un numero reale
Dato un vettore −→v ed un numero reale k 6= 0, il prodotto k−→v del numero
per il vettore `e di nuovo un vettore −→v1 che ha:
• la stessa direzione di −→v
• modulo uguale al prodotto del valore assoluto di k per il modulo di −→v
ossia |−→v 1| = |k||−→v |
• verso concorde con quello di v se k `e positivo, oppure verso discorde se
k negativo.
L’omotetia con centro nell’origine degli assi
Dati un numero reale K 6= 0 e un punto P del piano, l’omotetia di rapporto k e contro O `e quella trasformazione che associa a P il punto P0
tale che: −−→OP0 = k−→OP .
Il punto P0`e detto omotetico di P. Il numero k `e detto rapporto di omotetia. Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k sono
(
x0 = kx
y0 = ky
Osserviamo:
• Se k = 1, l’omotetia coincide con l’identit`a. Infatti le equazioni
diven-tano: (
x0 = x
y0 = y
Ad ogni punto del piano P corrisponde se stesso, quindi tutti i punti del piano sono uniti.
• se k = −1, (
x0 = -x
y0 = -y
ossia ritroviamo la simmetria di centro O(0; 0). Sappiamo gi`a che l’unico punto unito `e l’unico punto unito della trasformazione.
• Se k 6= 1(k 6= 0), il centro O(0; 0) `e l’unico punto di omotetia di rap-porto k.
Infatti, O `e certamente punto unito, in quanto: (0; 0) ½ (k0; k0) = (0; 0).
Persi due punti omotetici P e P0, cio`e P (x; y) = P0(kx; ky); se P coincide con P0
deve risultare che x = kx, y = ky. Ma se per ipotesi k 6= 0 allora l’unico punto unito `e (0; 0) che coincide con il centro dell’omotetia.
Gli ingrandimenti e le riduzioni
L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una figura, lasciando inalte-rata la forma. Vlgono le seguenti propriet`a
• se |k| > 1, l’omotetia ingrandisce la figura
• se |k| < 1, l’omotetia riduce la figura.
• se |k| > 0, due punti corrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di origine il centro O.
• se |k| < 0, punti corrispondenti appartengono a semirette opposte di origine O.
L’omotetia con centro C qualunque
Analogamente a quanto detto per l’omotetia di centro O dato un numero reale k 6= 0, l’omotetia di rapporto k e centro C `e quella trasformazione che associa a P il punto P0 tale che −−→CP0 = k−→CP .
Propriet`a dell’omotetia
• Una omotetia trasforma un segmento in un segmento proporzionale
• Una omotetia conserva le ampiezze degli angoli
• Una omotetia trasforma una retta in una retta a essa parallela.
• Componendo due omotetie con lo stesso centro C, si ha ancora una omotetia di centro C e con rapporto K = k1k2
• Componendo due omotetie con centri C1 e C2 diversi, si ha una omo-tetia o una traslazione Infatti se k1k2 = 1, abbiamo una traslazione, se
0.17.3 LA SIMILITUDINE
Definition 0.17.6. Si definisce similutidine una particolare affinit`a che man-tiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti, ossia comunque si
scelgano A e B considerati i loro trasformati A0 e B0 si ha: A0B0
AB = k Il valore k viene detto rapporto di similitudine.
Si pu`o verificare che le equazioni di una similitudine possono assumere solo una delle forme seguenti
• ( x0 = mx − ny + c y0 = nx + my + c0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m −n n m | = m 2+ n2 > 0
`e una similitudine diretta
• ( x0 = mx + ny + c y0 = nx − my + c0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ m n n −m | = −m 2− n2 < 0
`e una similitudine indiretta. Osserviamo:
• E’ possibile verificare che tutte le isometrie sono similitudini di rapporto
k = 1, in particolare:
a) le traslazioni e le rotazioni sono similitudini dirette
b) la simmetria assiale `e una similitudine indiretta
• Anche le omotetie sono casi particolari di similitudini
• Ogni similitudine possiede le seguenti propriet`a:
– conserva il rapporto fra le lunghezze
– trasforma un angolo in un angolo congruente e quindi conserva l’ampiezza degli angoli.
– trasforma rette perpendicolari in rette perpendicolari e rette pa-rallele in rette papa-rallele
0.17.4 L’INSIEME DELLE AFFINITA’
L’insieme delle affinit`a, si pu`o dimostrare che la composizione di due similitudine di rapporto k1k2. Poich´e ogni similitudine si pu`o ottenere dalla composizione di una omotetia e una isometria e della composizione di una omotetia con l’identit`a (che pu`o essere vita come una particolare isometria)si ottiene l’omotetia stessa, concludiamo che ogni omotetia `e una similitudine. Analogamente, ogni isometria `e una similitudine. Vale quindi il seguente schema: Affinit`a Similitudini Omotetien Identita Isometrie
0.17.5 AFFINITA’
Abbiamo definito come affinit`a una similitudine utilizzando il seguente teorema che non dimostriamo.
Theorem 0.17.1. Una affinit`a `e una similitudine se sono verificate le se-guenti condizioni:
• a2+ a02 = b2+ b02
• ab + a0b0 = 0
il rapporto di similitudine k `e dato da k =√a2+ a02 =√b2+ b02
Inoltre poich´e una isometria `e una similitudine di rapporto k = 1, nel caso delle isometrie le condizioni diventano:
• a2+ a02 = b2+ b02 = 1 • ab + a0b0 = 0 Definition 0.17.7. Le equazioni ( x0 = hx + p y0 = ky + q k, h 6= 0
rappresentano particolari affinit`a chiamate dilatazioni. h, k sono rapporti di dilatazione.
Le propriet`a generali delle affinit`a
• Allineamento tre o pi`u punti allineati vengono trasformati in tre o pi`u
punti allineati; quindi le rette vengono trasformate in rette e i segmenti in segmenti.
• Parallelismo rette parallele sono trasformate in rette parallele. Da ci`o
segue che i parallelogrammi vengono trasformati in parallelogramma.
• Incidenza se due rette si incontrano nel punto P , le rette loro
imma-gini si incontrano in P0, immagine di P .
• Rapporto fra aree Date due figure piane S e T , siano S0 e T0 le loro
trasformate il rapporto tra le aree `e costante.
Alle propriet`a delle affinit`a per le similitudini si aggiungono le seguenti pro-priet`a
• Rapporto fra lunghezze viene conservato
• L’ampiezza degli angoli viene conservata, quindi in particolare si
conserva la perpendicolarit`a fra rette.
Alla propriet`a delle affinit`a e delle similutidini, per le isometrie si aggiunge che sono invarianti le lunghezze e l’estensione delle superfici.
0.18 Verifica sommativa
a) Stabilire se le equazioni: ( x0 = √3 x y0 = x + y − 1 definiscono una trasformazione geometrica.b) Determinare i punti uniti della trasformazione (
x0 = 2x + y + 1
y0 = x + 3
c) Sono assegnate la retta r di equazione y = 4x − 4 e la traslazione di equazioni (
x0 = x − 6
y0 = y + 3
Scrivere l’equazione della retta r0 corrispondente di r nella trasforma-zione data.
d) Date due rette di equazioni
r : y = −3
2x + 2 r
0 : y = 3
2x − 4
si corrispondono in una simmetria di asse parallelo all’asse y. Determi-nare l’equazione dell’asse di simmetria.
e) Determinare la retta corrispondente alla retta r di equazione y = 3x − 2 nella simmetria di centro l’origine degli assi cartesiani.
f) Determinare la retta corrispondente di y = x in una rotazione 30◦ intorno all’origine O.
g) Verificare che l’affinit`a individuata dalle equazioni: (
x0 = y + 3
y0 = x − 3
h) Disegna l’omotetia del triangolo di vertici A(4; 6), B(7; 10), C(10; 4) con
k = −2 di centro O(0; 0).
i) Verifichiamo che le equazioni (
x0 = −3x − 4y + 1
y0 = 4x − 3y
sono quelle di una similitudine e determiniamo il rapporto di similitu-dine.
l) Data l’affinit`a t di equazioni: (
x0 = x − y
y0 = x + y
determinare la figura corrispondente al rettangolo di vertici A(2; 2),
B(4, 2), C(4; 5), D(2; 5).
0.18.1 Tabella di valutazione della verifica
Il voto da attribuire in decimi si determiner`a associando il seguente pun-teggio: Esercizi Punti Esercizio a 1 Esercizio b 1 Esercizio c 1 Esercizio d 1 Esercizio e 1 Esercizio f 1 Esercizio g 1 Esercizio h 1 Esercizio i 1 Esercizio l 1 Totale 10
Bibliografia
[1] W.Maraschini, M.Palma, Format,SPE , Paravia 2006.
[2] G, Zwinner, L.Scaglainti, Le basi della Matematica 1 , Cedam 1991.
[3] M. Bergamni, A.Trifone and G.Barozzi, Trasformazioni geometriche e
strutture algebriche, volume J,Zanichelli 2005.