PERCORSO DIDATTICO
Unit`a Didattica 1: Relazioni, elementi di teoria delle fun- zioni, grafici di funzioni.
Unit`a Didattica 2:Trasformazioni geometriche del piano dal punto di vista analitico (isometrie, similitudini, affi- nit`a).
SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE
PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO
Classe A049
Specializzanda: Tinti Federica
Unita Didattica 1: Relazioni, elementi di teoria delle
funzioni, grafici di funzioni.
0.1 Analisi dei programmi ministeriali
Analizziamo quali sono i programmi ministeriali nelle diverse scuole
• nel programma del PNI (Piano Nazionale per l’Informatica )
L’insegnamento della matematica nei licei di ordinamento si basa sui programmi ministeriali redatti nel 1952, che riprendono sostanzialmen- te i programmi della Riforma Gentile, risalente al 1923. Nell’attesa di una riforma della scuola secondaria superiore, molti licei hanno adot- tato progetti di sperimentazione, tra cui vi `e il Piano Nazionale per l’Informatica (PNI).
Osservando il PROGRAMMA DI MATEMATICA PER IL BIENNIO DEGLI ISTITUTI SECONDARI SUPERIORI:
1-OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Alla fine del biennio lo studente dovr`a essere in grado di:
- individuare propriet`a invarianti per trasformazioni elementari;
- dimostrare propriet`a di figure geometriche;
- utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo stu- diate;
- riconoscere e costruire relazioni e funzioni;
- comprendere il senso dei formalismi matematici introdotti;
- cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali;
- matematizzare semplici situazioni problematiche in vari ambiti disci- plinari;
- riconoscere le regole della logica e del corretto ragionare;
- adoperare i metodi, i linguaggi e gli strumenti informatici introdotti;
- inquadrare storicamente qualche momento significativo dell’evoluzio- ne del pensiero matematico.
• elaborati dalla Commissione Brocca,
2-COMPARE IL TEMA DELLE RELAZIONI NEL TEMA 3.
RELAZIONI E FUNZIONI
a) Relazioni binarie: relazioni d’ordine e di equivalenza. Applicazioni (funzioni).
b) Funzioni. Grafici e zeri di tali funzioni.
0.2 Metodologie utilizzate
Le lezioni saranno prevalentemente di tipo interattivo, saranno previste attivit`a di laboratorio. Si cercher`a di mettere in evidenza le principali mi- sconcezioni che si possono creare nell’analisi dei diversi argomenti.
Al termine ci sar`a una verifica sommativa.
0.3 Tempi dell’intervento didattico
• 10 ore di lezione
• 2 ore di verifica sommativa
• 1 ore per la correzione della verifica
0.4 OBIETTIVI GENERALI:
• Acquisire le conoscenze, le competenze e le capacit`a previste dal per- corso didattico.
• Acquisire consapevolezza dell’utilit`a logica delle propriet`a degli argo- menti trattati.
• Condurre all’uso del lessico e del formalismo grafico appropriato.
• Imparare ad operare con la simbologia opportuna.
• Sviluppare la capacit`a di utilizzare metodi, strumenti e modelli mate- matici in situazioni diverse.
• Contribuire a rendere gli studenti in grado di affrontare situazioni problematiche di varia natura avvalendosi dei modelli matematici pi`u adatti alla loro rappresentazione.
• Sviluppare l’interesse per gli aspetti storico-epistemologici della mate- matica.
• L’uso di software, servir`a ad abituare l’allievo ad operare consapevol- mente all’interno di diversi sistemi, dotati di loro regole formali e limiti operativi.
0.5 OBIETTIVI TRASVERSALI :
• Sviluppare attitudine alla comunicazione ed ai rapporti interpersonali, favorendo lo scambio di opinione tra il docente e allievo e tra gli allievi stessi.
• Proseguire ed ampliare il processo di preparazione scientifica e culturale degli studenti.
• Contribuire a sviluppare lo spirito critico e l’attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.
• Contribuire a sviluppare capacit`a logiche e argomentative.
• Imparare a rispettare i tempi di consegna dei lavori da svolgere.
0.6 OBIETTIVI SPECIFICI
0.6.1 Conoscenze:
• sottoinsiemi del prodotto cartesiano
• Propriet`a di relazione tra un insieme e se stesso
• Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente
• Relazione d’ordine.
• Definizione di funzione.
• Disegnare i grafici di funzioni
Competenze:
• Saper calcolare prodotto cartesiano di due insiemi
• Saper riconoscere relazioni di equivalenza fra due insiemi
• Saper riconoscere una funzione
Capacit`a:
• saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite per risolvere problemi
• saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite in contesti diversi.
• saper fare il grafico di funzione
0.7 Destinatari dell’unit` a didattica
L’unit`a didattica `e rivolta ad una classe seconda del PNI. L’orario setti- manale `e di 5 ore settimanali.
0.8 Sviluppo dei contenuti
0.8.1 Relazioni
Per poter introdurre le relazione `e necessarie riprendere la definizione di prodotto cartesiano fra due insiemi:
Definition 0.8.1. Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l’insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (x, y) con x ∈ A, y ∈ B. E si indica con
A × B
L’elemento x si chiama prima coordinata e l’elemento y si chiama seconda coordinata.
Esempio Siano A = {1, 2} e B = {a, b, c}. Si ha allora, in base alla de- finizione data: A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} e B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
Si pu`o osservare dall’esempio che il prodotto cartesiano non gode della pro- priet`a commutativa: A × B 6= B × A
Osserviamo ora come viene definita la relazione binaria,
Definition 0.8.2. Dati due insiemi A e B, quando esiste un criterio per as- sociare elementi di A con elementi di B, cio`e una propriet`a, che indichiamo con <, verificata da certe coppie (x, y) con x ∈ A, y ∈ B, si dice che `e data una relazione binaria di A e di B.
Se la coppia (x, y) verifica la propriet`a <, si scrive x<y oppure <(x, y).
La relazione < si definisce binaria perch`e `e definita da coppie ordinate (x, y), con x ∈ A, y ∈ B.
Osserviamo: ogni volta che si stabilisce una relazione di A in B si genera un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B, cio`e quel sottoinsieme delle coppie per le quali x `e associato ad y, secondo un criterio fissato.
Il sottoinsieme G di A × B che contiene le coppie che verificano la relazione
<, si chiama graf ico della relazione.
Esempio Siano A = {1, 3, 4} e B = {2, 5} e la relazione x<y : x + y `e un numero pari. Si ottiene: G = {(1, 5), (3, 5), (4, 2)}.
E’ possibile rappresentarlo graficamente utilizzando la teoria degli insiemi.
0.8.2 Relazione binarie su di un insieme ed (eventuali) propriet` a
Riflessiva
La relazione gode della propriet`a riflessiva se, per ogni a ∈ A, a<a.
Cio`e una relazione definita fra gli elementi di un insieme `e riflessiva se ogni elemento dell’insieme considerato `e in relazione con se stesso.
Simmetrica
Si dice che una relazione binaria < nell’insieme A `e simmetrica quando da x<y segue che y<x.
Antisimmetrica
Si dice che una relazione < nell’insieme A `e antisimmetrica quando da:
x<y e y<x segue che x = y.
Transitiva
Una relazione binaria < nell’insieme A si dice transitiva se qualunque siano gli elementi x, y, z di A, tali che:
x<y e y<z si ha di convergenza x<z.
0.8.3 Relazione di equivalenza. Insieme quoziente
Fra le relazioni binarie definite nell’insieme A hanno particolare impor- tanza le relazioni di equivalenza:
Definition 0.8.3. (REL EQUIVALENZA) Una relazione < `e una relazione di equivalenza se e soltanto se essa `e riflessiva, simmetrica e transitiva.
Se < `e una relazione di equivalenza se risulta:
x<y si dice che x `e equivalente a y.
Si dice classe di equivalenza [a] dell’elemento a ∈ A rispetto alla relazione di equivalenza < il sottoinsieme di A costituito dagli elementi x tali che a<x.
Esempio
Nell’insieme A delle rette del piano, la relazione di equivalenza:
< = {(r; s)|r `e coicidente o parallele a s}
Le classi di equivalenza di questa relazione sono i sottoinsiemi di A del tipo:
[s] = {r ∈ A|r `e coincidente o parallela ad s}.
Definition 0.8.4. (INSIEME QUOZIENTE) Si dice insieme quoziente del- l’insieme A rispetto ad <, l’insieme A< delle classi di equivalenza degli ele- menti di A rispetto alla relazione di equivalenza <.
0.8.4 Relazione d’ordine
Una relazione < si dice relazione d’ordine se gode delle propriet`a ri- flessiva, antisimmetrica e transitiva.
Una relazione < si dice relazione di ordine stretto se gode della propriet`a antisimmetrica e transitiva.
Esempio
Consideriamo, nell’insieme A dei segmenti del piano, la relazione
< = {(a; b) :la lunghezza di a `e minore di quella di b }
La relazione data `e una relazione d’ordine infatti gode della propriet`a rifles- siva, simmetrica e transitiva.
Esempio
Consideriamo, nell’insieme A dei segmenti del piano, la relazione
< = {(a; b) :la lunghezza di a `e maggiore di quella di b }
La relazione data `e una relazione d’ordine infatti gode della propriet`a an- tisimmetrica (perch´e nessun segmento pu`o avere lunghezza maggiore della propria stessa lunghezza)e transitiva(perch`e se un segmento a ha la lunghez- za maggiore di quella di b e b ha lunghezza maggiore di quella di c, allora a ha lunghezza maggiore di c).
< `e una relazione d’ordine in senso stretto.
0.9 Elementi di teoria delle funzioni
La matematica trae grandi vantaggi dalla possibilit`a di esprimere in modo quantitativo la relazione tra due grandezze. Se, infatti, nell’analizzare un fe- nomeno possiamo esprimere con una legge-rappresentabile con una formula- come una grandezza varia al variare dell’altra, allora dai dati dell’una pos- siamo tranne conclusioni sull’altra e avanzare previsioni sull’evolversi del fe- nomeno in esame.
Il concetto di funzione fu introdotto nel XVII secolo, per rappresentare un legame di dipendenza tra due grandezze: dire che la grandezza y `e funzione della grandezza x significa affermare che, assegnato un valore numero a x, risulta in conseguenza determinato il valore di y.
Scriviamo y = f (x): x `e la variabile indipendente ed y la variabile dipenden- te.
La funzione `e il modello matematico della dipendenza. E’ un modello de- terministico perch`e il valore della grandezza `e univocamente determinato dai valori delle altre: il fenomeno `e, quindi, descritto come prevedibile e prede- terminabile nel suo evolversi.
La definizione di funzione ha, nella storia, percorso vari stadi di generaliz- zazione, dalla prima data da Gorrfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fino a quella oggi comunemente utilizzata in matematica: la funzione come una particolare corrispondenza.
0.9.1 Definizione di funzione
Definition 0.9.1. Se A e B sono due insiemi (non vuoti) si chiama appli- cazione o funzione da A e B una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B.
L’insieme A `e l’insieme di definizione della funzione. Ad ogni suo elemento corrisponde un solo elemento di B.
La funzione `e quindi, una corrispondenza univoca: ad un elemento di un insieme associa un solo elemento dell’altro insieme. Questo vuol dire che, se x indica una grandezza i cui valori variano nell’insieme A e y un’altra grandezza i cui valori variano nell’insieme B, assegnando un valore a x si determina in conseguenza il corrisponde valore y.
La definizione di funzione come modello matematico della dipendenza e la definizione di funzione come corrispondenza univoca sono perci`o due modi equivalenti di definire lo stesso oggetto.
0.9.2 Funzioni iniettive, suriettive, biiettive
Definition 0.9.2. Una funzione f da A e B si dice iniettiva se ∀x, z ∈ A, x 6= z ⇒ f (x) 6= f (z).
In una funzione definita in un insieme A e di codominio B non `e detto che siano coinvolti tutti gli elementi di B.
il sottoinsieme del codominio B formato da tutti e soli gli elementi che cor- rispondono almeno ad un elemento di A `e detto immagine della funzione.
L’insieme di definizione e l’immagine sono i due insiemi che realmente inte- ressano quando si studia una funzione: i primo indica quali sono gli elementi posti in corrispondenza, il secondo quali sono i loro corrispondenti.
L’immagine in generale `e un sottoinsieme di B, se coincide con esso la fun- zione `e detta suriettiva.
Una funzione iniettiva e suriettiva da A a B `e una corrispondenza biunivoca tra A e B: ogni elemento di A e di B `e coinvolto nella corrispondenza.
Definition 0.9.3. Una funzione di dominio e codominio < `e detta funzione reale di una variabile reale.
Definition 0.9.4. Si chiamano zeri di una funzione i valori della variabile x a cui corrisponde il valore 0.
Esempio:
Qual `e l’insieme di definizione della funzione reale y = x3− x?
Quali sono i suoi zeri?
Si tratta di una funzione polinomiale. E’ perci`o definita per ogni x ∈ <.
Per trovare i suoi zeri, risolviamo in < l’equazione x3− x = 0.
x(x2− 1) = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1.
L’individuazione degli zeri della funzione aiuta a tracciare approssimare il suo grafico, perch´e indica quali sono le sue intersezioni con l’asse delle ascisse.
0.9.3 Grafici di funzioni
In una corrispondenza fra due insiemi, linearmente ordinati, si usa dare una rapresentazione grafica nel piano: nel piano cartesiano si segnano tutti e soli i punti P (x; y) per i quali y `e il corrispondente di x.
L’insieme di tutti questi punti che a seconda dei casi, `e una linea, un insieme di tratti, un insieme di punti ben separati l’uno dall’altro, una spezzata,...`e il grafico di una corrispondenza.
Nel caso di una funzione, `e il grafico della corrispondenza.
Esaminiamo il grafico di alcune funzioni elementari:
Funzioni lineari
La loro espressione formale `e un polinomio di primo grado in x: y = ax+b.
Per esaminare il grafico di una generica funzione lineare, si pu`o partire dalla pi`u elementare, la funzione identit`a, che associa ad ogni numero reale se stesso.
La sua espressione formale `e y = x e il suo grafico `e la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Dal suo grafico otteniamo quello di una qualsiasi altra
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5
y=x
Figura 1: Bisettrice I e III quadrante.
funzione lineare, applicando semplici trasformazioni geometriche.
Il grafico di una qualsiasi funzione lineare `e una retta.
Anche la funzione costante y = k (con k ∈ R) `e una funzione lineare:
ad ogni associa il valore k, il suo grafico `e una retta parallela all’asse delle ascisse.
La funzione valore assoluto y = |x| `e una funzione definita per casi:
• se x ≥ 0 allora y = x
• altrimenti y = −x
Il suo grafico `e una linea spezzata, formata da due semirette simmetriche:
• se x ≥ 0 `e infatti il grafico della funzione identit`a
• altrimenti `e il suo simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.
Esempio:
Disegnare i grafici delle due seguenti funzioni:
y = x − |x| (1)
y = |x| − x (2)
Disegnamo il grafico della prima:
• se x ≥ 0, la funzione `e costante: y = x − x = 0
• se x < 0, y = x − (−x) = 2x
Il grafico della seconda funzione si ottiene da questo con una simmetrica rispetto all’asse delle ascisse. Infatti:
• se x ≥ 0, y = x − x = 0
• se x < 0, y = −x − x = −2x
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−10
−8
−6
−4
−2 0 2 4 6 8 10
Figura 2: Grafico della funzione y = x − |x|
Funzione razionale intera di grado n
Se l’espressione di una funzione `e un polinomio di grado n nella variabile x, la funzione `e detta funzione polinomiale o funzione razionale intera di grado n.
Esempio:
Tracciare il grafico della funzione y = x3− 1.
Ricordiamo che il grafico funzione y = x3 − 1 si ottiene da questo con la traslazione di vettore v(0; 1) del grafico y = x3.
Funzione composta
In particolare, se f e g sono funzioni, anche la corrispondenza composta h `e una funzione y = h(x) `e la funzione composta g(f (x)).
Poich´e la funzione g agisce sul valore in uscita della funzione f il dominio di g deve coincide con l’immagine di f . Ad esempio se componiamo la funzione valore assoluto con un qualsiasi altra funzione razionale intera.
Esempio: Disegnare il grafico della funzione y = |x2− 4x − 5|
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−10
−8
−6
−4
−2 0 2 4 6 8 10
Figura 3: Grafico della funzione y = |x| − x
E’ una funzione composta perch`e
• la funzione f `e una funzione razionale intera di secondo grado che associa ad ogni numero reale x il valore dell’espressione x2− 4x − 5.
• la funzione g `e la funzione valore assoluto che associa ad ogni numero reale il suo valore assoluto.
quindi la funzione pu`o essere anche espressa come y = g(f (x)).
Tracciamo prima il grafico della funzione y = x2− 4x − 5. E’ la parabola che ha per asse la retta x = 2 e per vertice il punto V (2; 9); l’intersezione con l’asse delle ordinate `e nel punto P (0; −5) e quindi anche il punto P0(4; −5) appartiene alla parabola. Consideriamo ora la funzione g. Per x < −1 e x > 5 i valori di f (x) sono positivi e restano, inalterati. Per −1 < x < 5 i valori di f (x) sono negativi e poich´e interessa il loro valore assoluto, occorre cambiare il loro segno.
Dobbiamo perci`o considerare il tale intervallo la parabola simmetrica rispetto all’asse delle ascisse di quella disegnata.
Il grafico della funzione y = |x2− 4x − 5| che abbiamo disegnato `e un grafico continuo: `e possibile tracciare senza sollevare la penna dal foglio.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−10
−8
−6
−4
−2 0 2 4 6 8
Figura 4: Grafico della funzione y = x3, y = x3− 1
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−20 0 20 40 60 80 100 120 140
Figura 5: Grafico della funzione y = x2− 4x − 5
Non sempre il grafico di una funzione ha questa caratteristica.
Il grafico della legge di proporsionalit`a inversa `e formato da due rami di iperbole che si avvicinano senza intersecarsi con i due assi cartesiani: per x = 0 il grafico non `e continuo.
Questo `e il grafico della funzione y = 1x che esprime appunto una legge di proporzionalit`a inversa. La funzione non `e definita se x = 0, poich´e in tal caso si ha una frazione con denominazione 0.
Il suo insieme di definizione `e quindi <0 e in corrispondenza del valore 0, il grafico ha una discontinuit`a. Possiamo dire che la funzione `e continua nel
−100 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0.51
1.52
Figura 6: Grafico della funzione y = |x2− 4x − 5|
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−400
−200 0 200 400 600 800 1000
Figura 7: Grafico della funzione y = 1/x suo insieme di definizione.
Funzione razionale fratta
La funzione reale y = x/x `e definita per ogni x ∈ R0. La x compare al denominatore di una frazione, y = x/x `e una razionale intera.
L’insieme di definizione di una funzione razionale frazionaria `e un sottoin- sieme proprio di R: il sottoinsieme che si ottiene escludendo i valori che, sostituiti a x, annullano il denominatore.
Funzione irrazionale La funzione reale y = √
x/√
x `e una funzione irrazionale perch´e la x compare in un’espressione sotto il segno di radice.
Una funzione irrazionale, se la radice che contiene l’espressione con x `e di indice pari, non `e sempre definita in R: occorre escludere quei valori reali che, sostituiti a x, rendono negativa l’espressione sotto radice.
La funzione y =√ x/√
x `e irrazionale e anche frazionaria.
In definitiva questa funzione `e definita solo per i reali positivi: per ogni x ∈ R+.
Crescenza decrescenza e monotonia
Analizziamo ora la funzione y = x3−x, assegnamo dei valori alla variabile x:
x y
-2 -6
-1 0
0 0
0.5 -0.375
1 0
2 6
il suo andamento `e inizialmente crescente poi diviene decrescente e poi defi- nitivamente crescente.
Per poter indicare se una funzione `e decrescente o crescente in un certo intervallo, bisogna prima indicare come denotare un intervallo:
{x ∈ R, a < x < b} e {x ∈ R, a ≤ x ≤ b}
indicano rispettivamente gli intervalli di estremi a e b rispettivamente aperto e chiuso.
Il primo intervallo lo indicheremo (a, b) ed il secondo [a, b].
Il termine intervalli si utilizza anche per indicare il caso particolare in cui uno dei due estremi `e infinito.
−1000−3 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000
−2
−1 0 1 2 3x 107
Figura 8: Grafico della funzione y = x3− x
Ad esempio (−∞, b) indica l’insieme dei numeri reali minori di b, mentre (−∞, b] indica l’insieme dei numeri reali minori o uguali a b. Analogamente per (a, −∞), e [a, −∞).
Quindi in generale indicare un intervallo con (a, b) si sottointende che uno dei due estremi possa ance essere l’infinito.
Definition 0.9.5. Una funzione y = f (x), `e crescente in un intervallo (a, b) dove `e definita, se per ogni x1, x2 ∈ (a, b) si ha:
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) .
Una funzione y = f (x), `e decrescente in un intervallo (a, b) dove `e definita, se per ogni x1, x2 ∈ (a, b) si ha:
x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) .
Un funzione ovunque crescente o ovunque decrescente `e detta monotona.
Un esempio di funzione monotona nel suo dominio di definizione `e la funzione y = exp(x)
−100 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0.5
1 1.5 2 2.5x 104
Figura 9: Grafico della funzione y = exp(x)
Invertibilit`a
Definition 0.9.6. Una funzione `e strettamente monotona nel suo insieme di definizione se per ogni coppia di valori x1, x2 nel suo dominio di definizione f (x1) 6= f (x2).
Osserviamo: Una funzione strettamente monotona nel suo in- sieme di definizione `e iniettiva.
Non per tutte le funzioni `e possibile definire la funzione inversa, occorre che la funzione sia iniettiva, sono in questo caso la corrispondente inversa `e una fun- zione poich´e soddisfa la propriet`a di associare ad ogni elemento dell’insieme di definizione un solo elemento dell’immagine.
Una funzione `e invertibile se e solo se `e iniettiva.
Unendo quanto detto con quanto affermato precedentemente.
Una funzione strettamente monotona `e invertibile
Quando si considera l’inversa si scambia il dominio con il codominio. Se una funzione `e invertibile la funzione inversa si ottiene semplicemente scambiando
la variabile indipendente con la variabile dipendente.
Nella rappresentazione grafica della funzione si effettuer`a la trasformazione:
( x0 = x;
y0 = y.
queste sono le equazioni della simmetria rispetto alla bisettrice y = x
Pertanto nel grafico della funzione f si ottiene quello sella funzione inversa f−1 considerando la curva ad esso simmetrica rispetto a tale retta.
Osserviamo che se il grafico della funzione f `e continuo anche il grafico della funzione f−1 `e continuo.
0.9.4 Verifica sommativa
Esercizio 1 Sia I l’insieme dei multipli di 3; si consideri la relazione
< = {(a; b) : a ∈ A, b ∈ A, |a − b| = 6}
Dire, giustificando la risposta, se si tratta di una relazione di equiva- lenza, d’ordine, d’ordine stretto.
(Nessuna delle tre perch´e non vale la propriet`a transitiva)
Esercizio 2 Si consideri la relazione
< = {(x; y) : x ∈ <, y ∈ <, y =√
1 + x2}
Dire, giustificando la risposta, se la relazione < `e una funzione e se essa
`e iniettiva, suriettiva, biiettiva.
(Funzione non inettiva non suriettiva)
Esercizio 3 Date le funzioni R → R, f : y = x2, g : y = √ x a) si determini la funzione f ◦ g
b) si determini la funzione g ◦ f
Esercizio 4 Disegnare il grafico della funzione y = |2 − |x − 1||.
Esercizio 5 Quali delle seguenti funzioni sono invertibili giustificare la ri- sposta.
a) y = x2− 2x + 3 b) y = |x|
c) y = 3x − 1 d) y = 2/x
0.9.5 Griglia di valutazione della verifica
Il voto da attribuire in decimi si determiner`a associando il seguente pun- teggio:
Esercizi Punti Esercizio 1 1 Esercizio 2 1 Esercizio 3 1 Esercizio 4 2 Esercizio 5a 1 Esercizio 5b 1 Esercizio 5c 1 Esercizio 5d 1
Unita Didattica
2:Trasformazioni geometriche del piano dal punto di vista analitico (isometrie,
similitudini, affinit` a) e grafico di funzioni.
0.10 Analisi dei programmi ministeriali
Analizziamo quali sono i programmi ministeriali nelle diverse scuole
• nel programma del PNI (Piano Nazionale per l’Informatica ) 1. OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO
Alla fine del triennio l’alunno dovr`a possedere, sotto l’aspetto concet- tuale, i contenuti prescrittivi previsti dal programma ed essere in grado di:
1. sviluppare dimostrazioni all’interno di sistemi assiomatici proposti o liberamente costruiti;
2. operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintat- tiche di trasformazione di formule;
3. utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e inferenziale;
4. affrontare situazioni problematiche di varia natura avvalendosi di modelli matematici atti alla loro rappresentazione;
5. costruire procedure di risoluzione di un problema e, ove sia il caso, tradurle in programmi per il calcolatore;
6. risolvere problemi geometrici per via sintetica o per via analitica;
7. interpretare intuitivamente situazioni geometriche spaziali;
8. applicare le regole della logica in campo matematico;
9. utilizzare consapevolmente elementi del calcolo differenziale;
10. riconoscere il contributo dato dalla matematica allo sviluppo delle scienze sperimentali;
11. inquadrare storicamente l’evoluzione delle idee matematiche fon- damentali;
12. cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico.
2-COMPARE NEI CONTENUTI Tema n. 1 - Geometria
1.a Circonferenza, ellisse, parabola, iperbole nel piano cartesiano 1.b Cambiamento del sistema di coordinate
1.c Equazioni delle isometrie e delle similitudini. Affinit`a e loro equazioni. Propriet`a invarianti
• elaborati dalla Commissione Brocca,
1-Alla fine del biennio lo studente deve dimostrare di essere in grado di:
1. individuare propriet`a invarianti per trasformazioni elementari:
2.dimostrare propriet`a di figure geometriche:
3. utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo stu- diate:
4.riconoscere e costruire relazioni e funzioni:
5.matematizzare semplici situazioni riferite alla comune esperienza e a vari ambiti disciplinari;
6. comprendere e interpretare le strutture di semplici formalismi ma-
tematici;
7. cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali 2-COMPARE NEI CONTENUTI:
Tema 1
GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO
1.Piano euclideo e su e trasformazioni isometriche. Figure e loro pro- priet`a.
2.Omotetie e similitudini del piano.
0.11 Tempi dell’intervento didattico
• 12 ore di lezione
• 2 ore di verifica sommativa
• 1 ore per la correzione della verifica
0.12 Destinatari dell’unit` a didattica
L’unit`a didattica `e rivolta ad una classe seconda(terza) del PNI. L’orario settimanale `e di 5 ore.
0.13 OBIETTIVI GENERALI:
• Acquisire le conoscenze, le competenze e le capacit`a previste dal per- corso didattico.
• Acquisire consapevolezza dell’utilit`a logica delle propriet`a degli argo- menti trattati.
• Condurre all’uso del lessico e del formalismo grafico appropriato.
• Imparare ad operare con la simbologia opportuna.
• Sviluppare la capacit`a di utilizzare metodi, strumenti e modelli mate- matici in situazioni diverse.
• Contribuire a rendere gli studenti in grado di affrontare situazioni problematiche di varia natura avvalendosi dei modelli matematici pi`u adatti alla loro rappresentazione.
• Sviluppare l’interesse per gli aspetti storico-epistemologici della mate- matica.
• L’uso di software, servir`a ad abituare l’allievo ad operare consapevol- mente all’interno di diversi sistemi, dotati di loro regole formali e limiti operativi.
0.14 OBIETTIVI TRASVERSALI :
• Sviluppare attitudine alla comunicazione ed ai rapporti interpersonali, favorendo lo scambio di opinione tra il docente e allievo e tra gli allievi stessi.
• Proseguire ed ampliare il processo di preparazione scientifica e culturale degli studenti.
• Contribuire a sviluppare lo spirito critico e l’attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite.
• Contribuire a sviluppare capacit`a logiche e argomentative.
• Imparare a rispettare i tempi di consegna dei lavori da svolgere.
0.15 OBIETTIVI SPECIFICI
0.15.1 Conoscenze:
• la traslazione
• la simmetria assiale
• la rotazione
• le isometrie
• l’omotetia
• la similitudine
• le affinit`a
Competenze:
• risolvere le trasformazioni geometriche
• Risolvere problemi di geometria applicando le trasformazioni geometri- che
Capacit`a:
• saper risolvere problemi relativi alle trasformazioni geometriche
• saper risolvere problemi di geometria applicando le trasformazioni geo- metriche
0.16 Sviluppo dei contenuti
Le trasformazioni geometriche
Definition 0.16.1. Una trasformazione geometrica `e una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano uno e un solo punto del piano stesso.
Se conderiamo un punto A(x; y) il punto corrispondente ad A lo chiamia- mo A0(x0; y0).
Diciamo che A0 `e il trasformato o l’immagine di A.
Viceversa A `e l’antitrasformato o controimmagine di A0.
Se indichiamo con g la trasformazione g : A(x; y) ½ A0(x0; y0), poich´e `e una corrispondenza biunivoca, la trasformazione inversa sar`a g−1 : A0(x0; y0) ½ A(x; y).
A ogni punto A viene associato il trasformato A0 mediante due relazioni:
( x0 = F(x;y) y0 = G(x,y)
Esempio (
x0 = 2x-y+5 y0 = x+y+1 →
( 2x − y = x0-5 x + y = y0-1
Applicando il metodo di Cramer per risolvere il sistema otteniamo le equa- zioni della relazione che alla coppia (x0; y0) fa corrispondere (x; y).
( x = x30 + y30 − 2 y = x30 + 2y30 + 1
Definition 0.16.2. (PUNTI E FIGURE UNITE) In una trasformazione geometrica, un punto unito `e un punto che ha se stesso per immagine.
In una trasformazione geometrica una figura unita `e una figura che ha se stessa per immagine.
Se in una figura ogni punto `e unito, la figura `e puntualmente unita ( x0 = 4 − x
y0 = y sono i punti della retta x = 2
altrimenti si dice globalmente unita.
( x0 = x + 1 y0 = y + 2 sono mi punti della retta y = 2x
la trasformazione che ad ogni punto associa se stesso si chiama identit`a ( x0 = x
y0 = y
nelle identit`a ogni punto `e unito.
Composizione di trasformazioni
Consideriamo la trasformazione g1 che trasforma P in P1 e la trasforma- zione g2 che trasforma P1 in P2.
La trasformazione composta di g1 e g2 trasforma P in P2, e lo indichiamo con g2 ◦ g1.
In generale g2◦ g1 6= g1 ◦ g2, per la composizione di trasformazioni non vale la proprieta`a commutativa.
Osserviamo: Per la definizione di trasformazione inversa, dalla composizio- ne di una trasformazione con la sua inversa si ottiene l’identit`a. g ◦ g−1 = g−1◦ g = i.
Definition 0.16.3. (TRASFOMAZIONE INVOLUTORIA) Una trasforma- zione si dice involutoria se componendola con se stessa si ottiene l’identit`a.
ESEMPIO: Una trasformazione h di equazione ( x0 = -x
y0 = -y
`e involutoria. Infatti P (x, y) → P0(−x; −y) → P (x; y)
0.17 AFFINITA’
Tra le trasformazioni geometriche studiamo quelle rappresentate dalle equazioni di primo grado.
Definition 0.17.1. Una trasformazione geometrica che ha equazione del
tipo: (
x0 = ax + by + c
y0 = a0x + b0y + c0 con
¯¯
¯¯
¯ a b a0 b0
¯¯
¯¯
¯6= 0
`e una affinit`a.
In ogni trasformazione geometrica `e interessante osservare le propriet`a invarianti, ossia quelle propriet`a che si conservano nella trasformazione. Si pu`o dimostrare che ogni affinit`a trasforma rette in rette, segmenti in segmenti e poligoni in poligoni con lo stesso numero di lati.
Possiamo suddividere le affinit`a in dirette ed indirette:
dirette Se
¯¯
¯¯
¯ a b a0 b0
¯¯
¯¯
¯> 0 (conserva l’orientamento dei vertici)
indiretta Se
¯¯
¯¯
¯ a b a0 b0
¯¯
¯¯
¯< 0(se inverte l’orientamento dei vertici) Studieremo per prime delle particolari affinit`a le ISOMETRIE
0.17.1 LE ISOMETRIE
La parola isometria deriva dalle parole greche ´ısos che significa uguale, e m´etros che significa misura. Una isometria `e una trasformazione del piano che conserva la distanza.
Definition 0.17.2. Una isometria `e una affinit`a nella quale la distanza fra due qualunque punti del piano A e B `e uguale a quella fra le loro immagini A0 e B0: AB = A0B0
Osserviamo:
una isometria trasforma una figura geometrica in una figura congruente.
per questo in una isometria si conserva anche l’estensione delle superfici.
Ci sono quattro tipi di isometrie:
• la traslazione
• la simmetria assiale
• la simmetria centrale
• la rotazione
LA TRASLAZIONE
Rappresentiamo in un piano cartesiano un vettore −→v , ponendo il primo estremo nell’originedegli assi. Le coordinate del secondo estremo sono una coppia di numeri, dette componenti del vettore (es: −→v (2; −5)). Lo stesso vettore pu`o essere rappresentato con altri segmenti orientati a quello dato, ossia con uguale distanza fra gli estremi(modulo), stessa direzione e verso.
Definition 0.17.3. Consideriamo un generico punto del piano e consideria- mo il vettore −→v e chiamiamo A0 il punto del piano coincidente con il secondo estremo. La traslazione di vettore −→v `e quella trasformazione che associa al punto A in punto A0.
L’equazione della generica traslazione t secondo il generico vettore −→v (a; b)
sono date da (
x0 = x+a y0 = y+b
Osserviamo:la traslazione `e una affinit`a diretta, infatti:
¯¯
¯¯
¯ 1 0 0 1
¯¯
¯¯
¯= 1 > 0 Osserviamo:
• In una traslazione non ci sono punti uniti: se il punto P (x; y) fosse unito, si dovrebbe avere:
( x = x+a y = y+b che `e impossibile per (a; b) 6= (0; 0).
• Le rette che si corrispondono in una traslazione sono parallele
• In una traslazione le rette unite sono quelle parallele al vettore della traslazione
• la composizione di due traslazioni di vettori −→v1 e −→v2 `e ancora una traslazione di vettore −→v 1+ −→v2
LA SIMMETRIA ASSIALE
Definition 0.17.4. Fissata nel piano una retta r, la simmetria assiale ri- spetto alla retta r `e quella trasformazione geometrica che a ogni punto P fa corrispondere il punto P0, nel semipiano opposto rispetto ad r e tale che r sia asse del segmento P P0
• r passa per il punto di P P0
• P P0 `e perpendicolare a r.
La simmetria assiale `e una trasformazione involutoria cio`e componendola con se stessa si ottiene l’idnetit`a.
Possiamo suddividere la simmetria asssiale in due casi:
a) simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse y Consideriamo una generica retta parallela all’asse y di equazione x = a e un punto P (x; y), il punto P0 simmetrico a P rispetto alla retta.
Per calcolare l’ascissa di P0 possiamo osservare che il punto medio fra P P0 ha ascissa a, cio`e: a = x+x2 0, da cui ricaviamo: x0 = 2a − x. Le coordinate di P0 sono (2a − x; y).
Le equazioni della simmetrica rispetto all’asse x = a, sono:
( x0 = 2a-x y0 = y La simmetria rispetto all’asse y:
( x0 = -x y0 = y
b) simmetria rispetto a un asse parallelo all’asse x Con ragionamen- to analogo: Le equazioni della simmetria rispetto all’asse y =
b (
x0 = x y0 = 2b-y
Se l’asse di simmetria `e l’asse x ( x0 = x
y0 = -y
c) simmetria rispetto alla bisettrice dei quadranti Le equazioni del- la bisettrice rispetto alla bisettrice b del primo e del terzo
quadrante sono (
x0 = y y0 = x
Le equazioni della bisettrice rispetto alla bisettrice b del secondo e del quarto quadrante sono
( x0 = -y y0 = -x
d) Simmetrica rispetto alla retta y = mx + q Osserviamo che il punto medio del segmento P P0 deve appartenere alla retta r
y + y0
2 = mx + x0 2 + q
Il coefficiente angolare di P P0 deve essere l’opposto del reciproco:
y0− y
x0− x = −1 m
ponendo a sistema le equazioni e risolvendo rispetto a x0, y0 dopo alcuni
passaggi: (
x0 = 1+m1−m2x +1+m2m2y −1+m2mq2
y0 = 1+m2m2x −1−m1+m22y +1+m2q2
il determinante della matrice dei coefficienti delle variabili x ed y ha come valore −1 quindi `e una affinit`a indiretta.
Osserviamo:
• In una simmetria assiale i punti uniti sono i punti sull’asse di simmetria
• In una simmetria assiale le rette unite sono l’asse di simmetria e tutte le rette perpendicolari all’asse.
LA SIMMETRIA CENTRALE
Definition 0.17.5. Fissato nel piano un punto M, la simmetria centrale di centro M `e la trasformazione geometrica che a ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P0 tale che M `e il punto medio del segmento P P0.
Se consideriamo M(a; b) al punto P (x; y) corrispondente nella simmetria di centro M il punto P0(x0; y0)
x + x0
2 = a, y + y0 2 = b da cui si ottengono le equazioni della simmetria centrale:
( x0 = 2a-x y0 = 2b-y Osserviamo:
• l’unico punto unito della simmetria centrale `e M.
• si dimostra che una simmetria centrale `e una isometria. La simmetria centrale `e una trasformazione involutoria.
• in una simmetria centrale ogni retta passante per il centro `e globalmente unita.
•
¯¯
¯¯
¯
−1 0
0 −1
¯¯
¯¯
¯= 1 > 0 ossia abbiamo una affinit`a diretta.
Casi particolare: Se M coincide con l’origine O degli assi le equazioni precedenti diventano: (
x0 = −x y0 = −y LA ROTAZIONE
• rotazione di centro l’origine degli assi
Le equazioni della rotazione di un angolo α e di centro O sono quindi ( x0 = x cos α − y sin α
y0 = x sin α + y cos α
• rotazione di centro C qualunque
x0 = (x − xc) cos α − (y − yc) sin α + xc y0 = (x − xc) sin α + (y − yc) cos α + yc svolgendo i calcoli:
x0 = x cos α − y sin α + p y0 = x sin α + y cos α + q p = xc− xccos α + ycsin α, q = yc− xcsin α − ycsin α Osserviamo:
•
¯¯
¯¯
¯
cos α sin α sin α cos α
¯¯
¯¯
¯= 1 > 0 abbiamo un affinit`a diretta.
• La trasformazione inversa di una rotazione di centro C e angolo α `e ancora una rotazione di centro C ma con angolo −α.
• Componendo due rotazione con lo stesso centro C, in angoli α1 e α2, si ottiene ancora una rotazione di centro C e angolo α1+ α2.
• Componendo una rotazione di con centro C1 e C2 diversi si pu`o otte- nere:
– una rotazione di diverso centro C e angolo α1+ α2
– una traslazione
RIASSUMIAMO LE CARATTERISTICHE DELLE ISOMETRIE a) Propriet`a delle isometrie Se
( x0 = ax + by + c y0 = a0x + b0y + c0
sono le equazioni di una isometria, il determinante
¯¯
¯¯
¯ a b a0 b0
¯¯
¯¯
¯= ab0− a0b vale:
• 1 se l’isometria `e una traslazione, una simmetria centrale, una rotazione
• -1 se l’isometria `e una simmetria assiale I punti uniti:
• nella traslazione non ci sono punti uniti
• nella simmetria assiale i punti uniti sono dell’asse
• nella simmetria centrale e nella rotazione c’`e un solo punto unito:
il centro.
Rette globalmente unite:
• nella traslazione sono quelle parallele al vettore associato
• nella simmetria assiale sono quelle perpendicolari all’asse
• nella simmetria centrale sono quelle passanti per il centro
• nella rotazione non ci sono rette unite.
b) Le condizioni affich´e una affinit`a sia una isometria Date le equazioni di una affinit`a:
( x0 = ax + by + c y0 = a0x + b0y + c0
¯¯
¯¯
¯ a b a0 b0
¯¯
¯¯
¯6= 0.
cerchiamo la condizione fra i coefficienti che permettono di affermare che l’affinit`a `e una isometria.
Dati due punti A(xA; yA), B(xB; yB) la loro distanza `e AB deve essere uguale alla distanza A0B0. Determinando i trasformati A0 e B0; ed imponendo che AB = A0B0, si ottengono le seguenti condizioni
( a2+ a02 = b2+ b02 = 1 ab + a0b0 = 0
c) La composizione di isometrie La componente di due isometria `e ancora una isometria. Poich´e si pu`o dimostrare che:
• per la composizione vale la propriet`a
• esiste l’elemento neutro, che `e l’identit`a
• per ogni isometria esiste l’inversa.
l’operazione di composizione genera nelle isometrie una struttura di gruppo. Come esempio di composizione di trasformazioni esaminiamo la glissometria.
d) la glissosimetria La composizione di una traslazione con una simmetria assiale si chiama glissometria.
Esempio Determinare le equazioni della glissometria ottenuta compo- nendo la traslazione di vettore −→v (3; −2), di equazioni:
( x0 = x + 3 y0 = y − 2 e con simmetria assiale (
x00 = x0 y00 = −y0 Otteniamo le equazioni della glissometria:
( x00 = x + 3 y00 = −y + 2
0.17.2 L’OMOTETIA
Il prodotto di un vettore per un numero reale
Dato un vettore −→v ed un numero reale k 6= 0, il prodotto k−→v del numero per il vettore `e di nuovo un vettore −→v1 che ha:
• la stessa direzione di −→v
• modulo uguale al prodotto del valore assoluto di k per il modulo di −→v ossia |−→v 1| = |k||−→v |
• verso concorde con quello di v se k `e positivo, oppure verso discorde se k negativo.
Se (a; b) sono le componenti di −→v , le componenti di −→v1, (ka; kb).
L’omotetia con centro nell’origine degli assi
Dati un numero reale K 6= 0 e un punto P del piano, l’omotetia di rapporto k e contro O `e quella trasformazione che associa a P il punto P0 tale che: −−→
OP0 = k−→
OP .
Il punto P0`e detto omotetico di P. Il numero k `e detto rapporto di omotetia.
Le equazioni dell’omotetia di centro O e rapporto k sono ( x0 = kx
y0 = ky Osserviamo:
• Se k = 1, l’omotetia coincide con l’identit`a. Infatti le equazioni diven-
tano: (
x0 = x y0 = y
Ad ogni punto del piano P corrisponde se stesso, quindi tutti i punti del piano sono uniti.
• se k = −1, (
x0 = -x y0 = -y
ossia ritroviamo la simmetria di centro O(0; 0). Sappiamo gi`a che l’unico punto unito `e l’unico punto unito della trasformazione.
• Se k 6= 1(k 6= 0), il centro O(0; 0) `e l’unico punto di omotetia di rap- porto k.
Infatti, O `e certamente punto unito, in quanto: (0; 0) ½ (k0; k0) = (0; 0).
Persi due punti omotetici P e P0, cio`e P (x; y) = P0(kx; ky); se P coincide con P0
deve risultare che x = kx, y = ky. Ma se per ipotesi k 6= 0 allora l’unico punto unito `e (0; 0) che coincide con il centro dell’omotetia.
Gli ingrandimenti e le riduzioni
L’omotetia permette di ingrandire o ridurre una figura, lasciando inalte- rata la forma. Vlgono le seguenti propriet`a
• se |k| > 1, l’omotetia ingrandisce la figura
• se |k| < 1, l’omotetia riduce la figura.
• se |k| > 0, due punti corrispondenti si trovano sulla stessa semiretta di origine il centro O.
• se |k| < 0, punti corrispondenti appartengono a semirette opposte di origine O.
L’omotetia con centro C qualunque
Analogamente a quanto detto per l’omotetia di centro O dato un numero reale k 6= 0, l’omotetia di rapporto k e centro C `e quella trasformazione che associa a P il punto P0 tale che −−→
CP0 = k−→
CP .
Propriet`a dell’omotetia
• Una omotetia trasforma un segmento in un segmento proporzionale
• Una omotetia conserva le ampiezze degli angoli
• Una omotetia trasforma una retta in una retta a essa parallela.
• Componendo due omotetie con lo stesso centro C, si ha ancora una omotetia di centro C e con rapporto K = k1k2
• Componendo due omotetie con centri C1 e C2 diversi, si ha una omo- tetia o una traslazione Infatti se k1k2 = 1, abbiamo una traslazione, se k1k2 6= 1 abbiamo una omotetia.
0.17.3 LA SIMILITUDINE
Definition 0.17.6. Si definisce similutidine una particolare affinit`a che man- tiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti, ossia comunque si scelgano A e B considerati i loro trasformati A0 e B0 si ha: AAB0B0 = k
Il valore k viene detto rapporto di similitudine.
Si pu`o verificare che le equazioni di una similitudine possono assumere solo una delle forme seguenti
•
( x0 = mx − ny + c y0 = nx + my + c0
¯¯
¯¯
¯
m −n
n m | = m2+ n2 > 0
`e una similitudine diretta
•
( x0 = mx + ny + c y0 = nx − my + c0
¯¯
¯¯
¯ m n
n −m | = −m2− n2 < 0
`e una similitudine indiretta.
Osserviamo:
• E’ possibile verificare che tutte le isometrie sono similitudini di rapporto k = 1, in particolare:
a) le traslazioni e le rotazioni sono similitudini dirette b) la simmetria assiale `e una similitudine indiretta
• Anche le omotetie sono casi particolari di similitudini
• Ogni similitudine possiede le seguenti propriet`a:
– conserva il rapporto fra le lunghezze
– trasforma un angolo in un angolo congruente e quindi conserva l’ampiezza degli angoli.
– trasforma rette perpendicolari in rette perpendicolari e rette pa- rallele in rette parallele
0.17.4 L’INSIEME DELLE AFFINITA’
L’insieme delle affinit`a, si pu`o dimostrare che la composizione di due similitudine di rapporto k1k2. Poich´e ogni similitudine si pu`o ottenere dalla composizione di una omotetia e una isometria e della composizione di una omotetia con l’identit`a (che pu`o essere vita come una particolare isometria)si ottiene l’omotetia stessa, concludiamo che ogni omotetia `e una similitudine.
Analogamente, ogni isometria `e una similitudine. Vale quindi il seguente schema:
Affinit`a
Similitudini
Omotetien
Identita Isometrie
0.17.5 AFFINITA’
Abbiamo definito come affinit`a una similitudine utilizzando il seguente teorema che non dimostriamo.
Theorem 0.17.1. Una affinit`a `e una similitudine se sono verificate le se- guenti condizioni:
• a2+ a02 = b2+ b02
• ab + a0b0 = 0
il rapporto di similitudine k `e dato da k =√
a2+ a02 =√
b2+ b02
Inoltre poich´e una isometria `e una similitudine di rapporto k = 1, nel caso delle isometrie le condizioni diventano:
• a2+ a02 = b2+ b02 = 1
• ab + a0b0 = 0
Definition 0.17.7. Le equazioni ( x0 = hx + p
y0 = ky + q k, h 6= 0
rappresentano particolari affinit`a chiamate dilatazioni. h, k sono rapporti di dilatazione.
Le propriet`a generali delle affinit`a
• Allineamento tre o pi`u punti allineati vengono trasformati in tre o pi`u punti allineati; quindi le rette vengono trasformate in rette e i segmenti in segmenti.
• Parallelismo rette parallele sono trasformate in rette parallele. Da ci`o segue che i parallelogrammi vengono trasformati in parallelogramma.
• Incidenza se due rette si incontrano nel punto P , le rette loro imma- gini si incontrano in P0, immagine di P .
• Rapporto fra aree Date due figure piane S e T , siano S0 e T0 le loro trasformate il rapporto tra le aree `e costante.
Alle propriet`a delle affinit`a per le similitudini si aggiungono le seguenti pro- priet`a
• Rapporto fra lunghezze viene conservato
• L’ampiezza degli angoli viene conservata, quindi in particolare si conserva la perpendicolarit`a fra rette.
Alla propriet`a delle affinit`a e delle similutidini, per le isometrie si aggiunge che sono invarianti le lunghezze e l’estensione delle superfici.
0.18 Verifica sommativa
a) Stabilire se le equazioni:
( x0 = √3 x y0 = x + y − 1 definiscono una trasformazione geometrica.
b) Determinare i punti uniti della trasformazione ( x0 = 2x + y + 1
y0 = x + 3
c) Sono assegnate la retta r di equazione y = 4x − 4 e la traslazione di
equazioni (
x0 = x − 6 y0 = y + 3
Scrivere l’equazione della retta r0 corrispondente di r nella trasforma- zione data.
d) Date due rette di equazioni r : y = −3
2x + 2 r0 : y = 3 2x − 4
si corrispondono in una simmetria di asse parallelo all’asse y. Determi- nare l’equazione dell’asse di simmetria.
e) Determinare la retta corrispondente alla retta r di equazione y = 3x − 2 nella simmetria di centro l’origine degli assi cartesiani.
f) Determinare la retta corrispondente di y = x in una rotazione 30◦ intorno all’origine O.
g) Verificare che l’affinit`a individuata dalle equazioni:
( x0 = y + 3 y0 = x − 3
`e una isometria, cercare i punti uniti e le rette unite.
h) Disegna l’omotetia del triangolo di vertici A(4; 6), B(7; 10), C(10; 4) con k = −2 di centro O(0; 0).
i) Verifichiamo che le equazioni
( x0 = −3x − 4y + 1 y0 = 4x − 3y
sono quelle di una similitudine e determiniamo il rapporto di similitu- dine.
l) Data l’affinit`a t di equazioni:
( x0 = x − y y0 = x + y
determinare la figura corrispondente al rettangolo di vertici A(2; 2), B(4, 2), C(4; 5), D(2; 5).
0.18.1 Tabella di valutazione della verifica
Il voto da attribuire in decimi si determiner`a associando il seguente pun- teggio:
Esercizi Punti Esercizio a 1 Esercizio b 1 Esercizio c 1 Esercizio d 1 Esercizio e 1 Esercizio f 1 Esercizio g 1 Esercizio h 1 Esercizio i 1 Esercizio l 1
Totale 10
Bibliografia
[1] W.Maraschini, M.Palma, Format,SPE , Paravia 2006.
[2] G, Zwinner, L.Scaglainti, Le basi della Matematica 1 , Cedam 1991.
[3] M. Bergamni, A.Trifone and G.Barozzi, Trasformazioni geometriche e strutture algebriche, volume J,Zanichelli 2005.
[4] G. Bagni Corso di matematica 1 , Zanichelli 2000.
