Libri di testo

I libri di testo sono il principale strumento didattico degli studenti. Nei libri si cercano informazioni e si svolgono esercizi. Si `e quindi ritenuto in- teressante osservare come alcuni libri di testo affrontano l’argomento della probabilit`a.

Innanzitutto bisogna dire che il calcolo della probabilit`a `e entrato nei programmi scolastici del liceo scientifico molto presto, nel 1936 ([15]), per poi avere pi`u spazio soprattutto nei programmi PNI (piani nazionali per l’informatica, varato nel 1985) fino alle indicazioni nazionali del 2010.

I libri analizzati sono:

• Matematica blu 4 di Bergamini, Trifone, Barozzi [10];

• Nuova matematica a colori 4 di Leonardo Sasso [11];

• Matematica controluce per i programmi sperimentali, tomo II, di An- dreini, Manara, Prestipino, 2011 [12];

• Matematica per ragionieri programmatori, volume I, di Gambotto Manzone, 1986 [13].

Si sono scelti due libri utilizzati nelle scuole secondarie di secondo gra- do oggi, un libro del 2011 e uno del 1986 per osservare se ci sono stati cambiamenti nel tempo.

Il primo libro citato `e Matematica blu della Zanichelli, usato nel Liceo Scientifico in classe quarta. Nella parte teorica, si inizia dalla definizione di evento:

Un evento `e un avvenimento, descritto da una proposizione, che pu`o accadere o non accadere. [10]

La definizione `e linguistica in questo caso. Si definiscono poi l’evento aleatorio e lo spazio campionario.

Nel secondo paragrafo si parla della definizione classica di probabilit`a facendo degli esempi con applicazione del calcolo combinatorio. Nel terzo paragrafo si introduce la concezione statistica di probabilit`a e i casi in cui questa definizione si pu`o applicare. Nel quarto paragrafo si d`a la definizione soggettiva e si dice esplicitamente che `e l’unico metodo utilizzabile quando i primi due non possono essere usati.

Da notare che anche se le tre definizioni vengono date e approfondi- te, non vengono citati i loro punti deboli, come ad esempio la questione dell’equiprobabilit`a nel caso della definizione classica.

Nel quinto paragrafo viene enunciata la definizione assiomatica ed `e in questo punto che vengono definite le relazioni tra eventi (eventi disgiunti, eventi indipendenti, etc...). In seguito vengono enunciati i teoremi del calcolo delle probabilit`a con esempi in un contesto classico.

Per quanto riguarda la parte dedicata agli esercizi, in riferimento ai paragrafi a proposito delle definizioni, vengono proposti gli esercizi appositi. In seguito tutti gli esercizi proposti sono a proposito di monete, urne etc... Tra gli esercizi finali sono presenti problemi (presenti in tutti i libri di testo) del tipo:

Due giocatori tirano a un bersaglio. La probabilit`a che ha il primo di fare centro `e 0,7, mentre per il secondo `e 0,5. Calcola la probabilit`a che entrambi colpiscano il bersaglio [...] [10]

Questi esercizi sono interessanti perch´e stimolano il ragionamento; tutta- via i valori di probabilit`a vengono dati a priori senza dare una spiegazione su come questi dati possano essere ottenuti. Sarebbe utile approfondire il fatto che questi numeri non sono certamente ottenibili con la definizione classica; si pu`o vedere qualche collegamento con quella frequentista ma soprattutto `e pertinente la concezione soggettiva. Gli studenti non sono portati a riflettere su questo fatto dovendo solo maneggiare i valori.

Infine c’`e un ultima pagina di esercizi su “Realt`a e modelli” con quattro esercizi i cui contesti sono legati al mondo reale. Ad esempio:

In un gioco televisivo americano al concorrente vengono mostrate tre porte chiuse. Dietro a una c’`e un’automobile, dietro alle altre una capra: il giocatore vincer`a il contenuto della porta prescelta. Dopo che il giocatore ha fatto la sua scelta, il presentatore, che sa dove si trova l’automobile, apre una delle altre porte e mostra una capra; a questo punto chiede al concorrente se vuole cambiare la sua scelta. Se il concorrente decide di cambiare la sua scelta, migliora la probabilit`a di vincere l’automobile? [10, pag 105]

Il secondo libro, [11], `e usato nel Liceo delle Scienze umane in classe quarta. Nella parte teorica si inizia dalla definizione di evento e di spazio campionario. L’evento si definisce nel seguente modo:

Dato uno spazio campionario Ω, si chiama evento ogni sottoinsie- me di Ω. [11]

I questo caso la definizione `e pi`u tecnica che linguistica. In seguito si defini- scono le operazioni tra eventi: unione, intersezione, evento contrario e si d`a la definizione di eventi incompatibili. Si d`a poi una tabella di sintesi in cui `e rappresentata la notazione usata e il suo significato facendo un paragone tra la teoria degli insiemi e il calcolo delle probabilit`a.

Si inizia quindi a parlare del concetto di probabilit`a facendo riferimento alla definizione soggettiva:

Ognuno di noi possiede un’idea, almeno vaga, del concetto di probabilit`a. Intuitivamente, possiamo dire che probabilit`a di un evento E `e un numero che esprime il grado di fiducia attribuito al verificarsi di E. Resta per`o da capire come attribuire a un evento la sua probabilit`a, [...]

Il primo accenno che viene dato in questo testo, quindi, fa riferimento alla definizione data da de Finetti, anche se in modo vago e sintetico, in quanto solo funzionale ad introdurre l’argomento. Segue un esempio sulle carte da

gioco e due esempi presi da casi concreti: assicurazione e scommesse. Per ognuno degli esempi si usa una definizione diversa di probabilit`a. Ora il libro propone le tre diverse definizioni, vicine, una di seguito all’altra. A questo punto si elencano gli inconvenienti dei tre tipi di valutazione: la definizione classica richiede casi equiprobabili e che lo spazio degli eventi sia finito, si cita inoltre la circolarit`a della definizione; la definizione frequentista richiede che l’esperimento possa essere ripetuto nelle stesse condizioni molte volte e la probabilit`a pu`o variare a seconda del numero di esperimenti svolti; la definizione soggettiva viene criticata proprio per la soggettivit`a insita in essa. Si cita infine la definizione assiomatica che d`a delle regole formali che una misura di probabilit`a deve soddisfare per essere dichiarata tale, si enunciano gli assiomi e, alla fine del paragrafo, la legge dei grandi numeri.

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E interessante che questo testo proponga agli studenti tutti gli approcci possibili e anche le critiche fatte a questi approcci in modo approfondito e chiaro, nonostante il testo sia rivolto a un tipo di scuola in cui la matema- tica `e pi`u debole che in altre. Non va tuttavia sottovalutato il rischio che la presentazione formalmente impeccabile appaia troppo astratta agli studen- ti. Compito dell’insegnante `e proprio aiutare gli allievi a superare questa difficolt`a.

Nel secondo paragrafo si affronta la valutazione della probabilit`a secon- do la definizione classica: innanzitutto si mostra come la definizione classica sia coerente con gli assiomi, si approfondisce la nozione di equiprobabilit`a e l’importanza di porre tale ipotesi. Si mostrano degli esercizi in spazi equipro- babili finiti mostrando l’uso del diagramma ad albero, della tabella a doppia entrata e del calcolo combinatorio con esempi su monete, dadi e urne.

Nel terzo paragrafo si enunciano i primi teoremi sul calcolo delle probabi- lit`a (probabilit`a dell’evento contrario, dell’unione, dell’intersezione etc..) ma con esempi sempre entro un contesto classico. Cio`e, a partire dal secondo paragrafo, ci si concentra solo sulla definizione classica tralasciando le altre. Alla fine del capitolo `e presente un approfondimento di “matematica nella storia” nel quale si d`a spazio alla storia del calcolo delle probabilit`a. Ci`o `e utile perch´e d`a sia un’idea di come questo ambito si sia sviluppato nel tempo sia di quanto i matematici ci abbiano lavorato. Dare dei contenuti di storia della matematica `e sempre funzionale per avvicinarsi a questa disciplina come pure ad altre.

Per quanto riguarda la parte dedicata agli esercizi, in questo libro la mag- gior parte sono su urne, dadi, monete, sono cio`e tutti esercizi in cui si pu`o applicare il calcolo combinatorio o al massimo la definizione classica. Sol- tanto alla fine vengono proposti alcuni esercizi legati alla realt`a o comunque ambientati in contesti diversi: competizioni sportive, pezzi difettosi etc..

In ogni caso la maggior parte dei problemi che gli studenti si trovano ad affrontare sono legati al calcolo combinatorio e non alla vita quotidiana.

Il libro di testo Matematica controluce, usato nei Licei Scientifici PNI, presenta una struttura diversa dai precedenti infatti suddivide l’argomento della probabilit`a in due capitoli: il primo dal titolo “Probabilmente”, nel qua- le si introduce la definizione classica, esempi storici e si definiscono gli eventi; il secondo dal titolo “Probabilit`a condizionata”, nel quale si presentano la definizione assiomatica e i principali teoremi del calcolo della probabilit`a.

Si pu`o dire quindi che in questo testo viene data molta importanza al- la questione della definizione, sia per la presenza di un capitolo apposito sia perch´e tra i due capitoli `e presente un contrappunto dal titolo “Diverse concezioni a confronto” nel quale si mettono appunto a confronto le diverse definizioni.

Di questo libro quindi parleremo del primo capitolo e del contrappunto. Nel capitolo “Probabilmente” si inizia parlando del termine probabilit`a e di come esso sia di uso comune, si introduce poi la frequenza con l’esempio del gioco della zara citato da Dante nel VI Canto del Purgatorio. Il gioco della zara consisteva nel lancio di tre dadi dopo aver scommesso sulla somma dei numeri indicati dalle tre facce. Dante per descriverlo scrive:

Quando si parte il guoco della zara Colui che perde si riman dolente

Ripetendo le volte, e tristo impara [Purgatorio, Canto VI, 1-3]

Parafrasando: chi perde al gioco della zara si avvilisce ma ripetendo il gioco pi`u volte impara, cio`e si accorge di alcune regolarit`a. Infatti si possono osservare quali siano i casi pi`u frequenti a cui quindi si assegna una maggiore probabilit`a di uscita nelle partite future. Questo corrisponde al concetto di frequenza di un evento rilevata dopo un gran numero di prove eseguite nelle medesime condizioni.

Gli autori chiariscono subito che nel capitolo si approfondir`a la definizione classica e motivano questa scelta:

Abbiamo deciso di riferirci inizialmente alla definizione classica non perch´e ci riconosciamo nella concezione oggettivistica, ma per due motivi: 1) `e tra le prime definizioni che nella storia sono state date; 2) didatticamente `e vantaggiosa, perch´e con semplicit`a aiuta a inquadrare il problema e a introdurre i primi elementi di calcolo. ([12, pag 405])

Quindi viene fatta una scelta che per`o viene motivata in modo tale da far capire che non `e l’unica possibile. Si introduce la definizione classica conti- nuando a parlare del gioco della zara ma semplificandolo, considerando solo

due dadi. Si mostra come calcolare la probabilit`a ad esempio che la somma delle facce venga 7: i casi possibili sono 36, i casi favorevoli sono 6 in quanto sono 6 le coppie di numeri ottenibili dal lancio dei due dadi la cui somma `e 7 (1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e 2, 6 e 1). La probabilit`a quindi di ottenere la somma uguale a 7 `e 6

36. Viene specificato che questo rapporto corrisponde alla definizione classica di probabilit`a e si enunciano infine i due principi di Laplace:

I principio. Il primo principio `e la definizione stessa di proba- bilit`a, che [...] `e il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello di tutti casi possibili.

II principio. Ma ci`o presuppone che i diversi casi siano ugual- mente possibili. Se non lo sono, si determinano prima le loro rispettive possibilit`a, la cui esatta valutazione `e uno dei punti pi`u delicati della teoria dei casi. Allora la probabilit`a sar`a la somma delle possibilit`a di ciascun caso favorevole.

Viene fatto notare inoltre il problema della circolarit`a della definizione. Nel paragrafo seguente si definisce l’evento (in modo non particolarmente chiaro):

Nell’ambito della teoria della probabilit`a l’esito di una qualsiasi esperienza viene detto evento. [12, pag 411]

Si approfondiscono quindi le operazioni tra eventi.

Infine, nel terzo paragrafo, si mettono in evidenza esempi di errori tipici del calcolo della probabilit`a, errori che derivano dall’erronea attribuzione di equiprobabilit`a. Questi esempi vengono ripresi dalla storia: il primo `e for- nito da Laplace nell’ Essai philosophique des probabilit´es. In questo esempio l’autore mette in evidenza un errore commesso da d’Alembert: si parla del lancio di una moneta in cui ci si chiede la probabilit`a di avere croce almeno una volta in due lanci, Laplace spiega che ci sono quattro casi equiprobabili ma che si potrebbe fare l’errore di credere che ce ne siano solo tre (croce al primo lancio, testa al primo lancio e croce al secondo, testa al primo e al secondo lancio) ma essi allora non sono equiprobabili.

Il secondo esempio riporta il problema dei tre assi (inventato dal mate- matico Weaver nel 1950):

Sono date tre carte che presentano un asso su entrambe le facce: la prima ha un asso di picche su entrambe le facce; la seconda ha un asso di quadri su entrambe le facce; mentre la terza ha un asso di picche su una faccia e un asso di quadri sull’altra. Dopo

aver mischiato le tre carte in un cilindro, se ne estrae una a caso mostrando una sola delle sue due facce, che presenta un asso di picche. Si chiede di valutare la probabilit`a p che la faccia nascosta presenti un asso dello stesso seme. [12]

Anche in questo caso si potrebbe fare l’errore di attribuire la stessa pro- babilit`a alle due configurazioni picche-picche e picche-quadri mentre i casi equiprobabili sono tre e non due perch´e le carte picche-picche possono pre- sentarsi in due modalit`a. Il terzo esempio `e l’esempio di Pascal sulla partita interrotta, citato all’inizio della tesi.

A questo punto `e presente il contrappunto sulle definizioni a confron- to. A partire dalla r´egle des partis, dicendo che a ciascun giocatore si deve consegnare una parte della vincita proporzionale alla sua attuale probabilit`a di vittoria, si introduce la definizione soggettiva, approfondendo il concetto di coerenza e proponendo alcuni esempi. Si parla poi della definizione fre- quentista e delle critiche a questa concezione. Si conclude con la costruzione assiomatica di Kolmogorov che fa da denominatore comune tra tutte le varie definizioni.

Nell’ultimo paragrafo gli autori si chiedono, quindi, a quale criterio biso- gna affidarsi per una valutazione di una probabilit`a. La risposta che si danno `e molto interessante e utile. Sar`a il problema in esame e le informazioni che si hanno che suggeriranno il metodo migliore da usare e quindi il calcolo delle probabilit`a non si fonda solo su un ragionamento teorico a priori ma richiede il giudizio di un soggetto. D’altronde il termine probabilit`a deriva dal verbo probare e indica lo sforzo di voler spiegare dei fatti. Per quanto riguarda gli esercizi, in questo libro non sono diversi dagli altri, sono tutti in contesto classico e sono poco numerosi.

Si pu`o osservare che questo testo fa, innanzitutto, moltissimi riferimenti alla storia della matematica e lascia molto spazio alla riflessione. Sicuramen- te tra i libri analizzati non `e il pi`u semplice per uno studente ma `e il pi`u completo, tranne che per gli esercizi. Da notare che oggi questo testo non `e pi`u usato nelle scuole poich´e non c’`e pi`u l’opzione PNI nel Liceo Scientifico. L’ultimo libro di cui si parler`a, Matematica per ragionieri programmatori, `e stato utilizzato nel 1986, in classe terza, nell’istituto tecnico per ragionieri programmatori. Si `e scelto un testo degli anni ’80 per capire come veniva affrontata la probabilit`a nella scuola qualche decennio fa. In realt`a non ci sono molte differenze. Nei primi tre paragrafi vengono date le tre definizioni specificando per ognuna i campi di applicazione e facendo degli esempi. Si d`a poi la definizione assiomatica e da l`ı si inizia con tutte le operazioni tra eventi e i teoremi del calcolo delle probabilit`a. Non viene quindi dato molto spazio alle critiche delle varie definizioni, ma non ne viene nemmeno

preferita nessuna rispetto ad un’altra. Il libro `e pi`u sintetico degli altri nella spiegazione teorica, ma contiene moltissimi esempi.

Per quanto riguarda la parte dedicata agli esercizi `e da notare che i primi vanno risolti usando le diverse definizioni in base al contesto e questo pu`o essere interessante perch´e si comprende che `e il soggetto che affronta la situa- zione che, in base ai dati che ha, sceglie la definizione da usare. Ad esempio un esercizio in cui `e opportuna la definizione soggettiva `e:

Ad una corsa di cavalli, Tizio `e disposto a scommettere £ 500 per riceverne 1000 se vince il cavallo A, oppure scommettere £ 300, sempre per riceverne 1000, se vince il cavallo B. Calcolare quali probabilit`a di vittoria attribuisce a ciascuno dei due cavalli. [13, pag 398]

Un esempio di esercizio in cui `e pi`u opportuno usare la definizione classica `e: Un’urna contiene 90 palline numerate da 1 a 90; si estrae una pallina. Calcolare la probabilit`a di avere:

a) un numero pari;

b) un numero superiore a 20 ed inferiore a 35; c) un numero la cui somma delle cifre sia 8. [13, pag 397]

Infine un esempio di esercizio per la definizione frequentista (nel caso di questa definizione viene specificato il metodo da usare) `e:

Un’urna contiene palline rosse, bianche e nere, ma non si conosce la composizione ed il numero totale di palline. Si effettuano 6000 estrazioni, rimettendo ogni volta la pallina nell’urna. Sapendo che `e uscito:

• 3360 volte pallina rossa; • 1830 volte pallina bianca; • 810 volte pallina nera;

calcolare, utilizzando la definizione dell’impostazione statistica, le relative probabilit`a. [13, pag 398]

Gli esercizi seguenti riguardano l’applicazione dei principali teoremi del cal- colo delle probabilit`a.

I libri analizzati finora sono molto diversi tra loro, basti pensare alle di- verse definizioni di evento che vengono date o all’ordine che viene seguito. In tutti vengono citate le tre diverse concezioni, anche se gli viene dato uno spa- zio diverso di approfondimento e in tutti c’`e una carenza di esercizi funzionali ad un maggiore collegamento tra matematica e realt`a. Perci`o non stupisce la presenza di risposte, nel nostro questionario, che rappresentano una dele- ga formale. Pur dando pi`u definizioni, solo quella applicata maggiormente resta e soprattutto, per problemi di tempistica, `e solo su questa che l’inse- gnante si ferma maggiormente. Da questo nasce il rischio di delega formale, di pensare che tutta la probabilit`a si possa ridurre a calcolo combinatorio ma soprattutto di dimenticare che i momenti in cui usiamo maggiormente la probabilit`a non coinvolgono monete e urne bens`ı eventi quotidiani e decisioni da prendere.

4.2

Dizionari

Un altro mezzo, il pi`u comune, per cercare la definizione di un termine, `e, senza ombra di dubbio, il dizionario. Infatti la prima cosa che si fa oggi quan- do non si sa cosa sia una determinata cosa `e digitare la parola nei motori di ricerca, che a loro volta rimandano ai dizionari online. Questo procedimento `e rapidissimo ed efficace in quanto si ha, in pochi secondi, una grandissima quantit`a di informazioni da poter confrontare e consultare.

Il criterio che `e stato usato per scegliere i dizionari da citare in que- sto elaborato `e il seguente: si sono scelti i “dizionari dell’uso” citati nel sito dell’Accademia della Crusca, uno dei punti di riferimento per la lingua italiana da pi`u di quattrocento anni ([16]). I dizionari citati sono:

• Garzanti ;

• Hoepli ;

• Nuovo De Mauro;

• Sabatini-Coletti ;

• Treccani.

La definizione del Garzanti `e la seguente:

1. l’essere probabile, verosimile, ammissibile: ammettere, ne- gare la probabilit`a di rischio;

2. il grado, la misura in cui si considera che un evento possa accadere, sia probabile: avere una probabilit`a su mille; ci sono molte, scarse probabilit`a di riuscita;

3. (filos., mat.) secondo la teoria classica (enunciata da P.S. de Laplace nel 1814), il rapporto fra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un evento e il numero di tutti i casi possibili in pari grado. [17]

In questa definizione si pu`o notare innanzitutto che, nel primo significato, si d`a una spiegazione pi`u qualitativa del termine, riferendosi alla verosimi- glianza e all’ammissibilit`a. Nel secondo significato dato ci si avvicina al dare l’idea di una probabilit`a che si possa misurare, una grandezza. Ed infine nel terzo caso si enuncia la definizione classica. Questo vocabolario pu`o in qualche modo essere utile ai cittadini che non sanno definire la probabilit`a anche se l’unico significato realmente significativo `e il secondo.

La definizione del Hoepli `e la seguente:

1. carattere, condizione di ci`o che `e probabile: la probabilit`a di