Magnetismo nucleare

3.3.2 Precessione di Larmor

Abbiamo visto che un campo magnetico ortogonale all'orbita di un elettrone modica la sua velocità angolare ma non il raggio dell'orbita. Consideriamo adesso un campo non ortogonale all'orbita ma formando un angolo θ ̸= 900. In questo caso

il momento angolare e la velocità angolare non sono (anti)paralleli è il momento torcente ⃗τ = d⃗L/dt è dato da

⃗

τ = I^dω

dt^{⃗ω0+ ⃗L}× ⃗ω → equazioni di Eulero

ed anche quando la velocità è costante esiste un momento torcente. Questo momento provoca la precessione dell'orbita elettronica attorno alla direzione del

campo magnetico. Questa si chiama la precessione di Larmor. Un simile comportamento ha una trottola che fa la precessione attorno alla direzione della

velocità angolare dovuta al momento prodotto dal suo peso.

3.4 Magnetismo nucleare

Anche protoni e neutroni nel nucleo possiedono spin e si comportano come dipoli magnetici. Gli eetti magnetici dei nucleoni sono, però, molto più deboli di quelli elettronici (circa 600 volte). Questo fatto permette che le vibrazioni termiche possono più facilmente disallineare momenti magnetici soggetti ad un campo esterno

e produrre una magnetizzazione nucleare. La risonanza magnetica è una tecnica sviluppata da E.M.Purcell di Harvard e F.Block di Stanford nel 1946 e gli è valsa il premio Nobel per la sica. Supponiamo di voler misurare il momento magnetico del protone. Su un protone che ruota attorno ad un campo magnetico con inclinazione

θ (come una trottola) agisce il momento torcente τ =|⃗m × ⃗B| = m B sin θ

che tende di allineare momento magnetico con il campo. Avendo il protone, peró, il momento angolare il campo magnetico, invece di allineare, fa cambiare la direziione al momento angolare e questo fa la precessione attorno alla direzione del campo. La

frequenza angolare di precessione è quella di Larmor dL dt ^{= ωLL sin θ} τ ≡ ^dL dt ⁼|⃗m × ⃗B| = m B sin θ ⃗ ω_L = ^m L ⃗ B = ^qp 2 m_e ⃗ B

Prendiamo un elettrone attorno al nucleo. Se riceve suciente energia fa il salto ∆E = ¯hω

La frequenza è quel della luce visibile. Nel caso dei protoni nel nucleo succede la stessa cosa la le dierenze di energia sono più piccole e la frequenza è quella di onde

radio o microonde. Il campo magnetico lungo asse z produce la precessione. Se si vuole cambiare l'angolo di inclinazione rispetto al asse z bisogna applicare un altro

campo lungo asse x. Se si disturba un protone che ruota con ωL con un campo di disturbo oscillante con una (radio) frequenza ω ed ortogonale al campo statico B si

può vericare la risonanza quando ω = ωL. A questo punto molti protoni assorbono energia e ribaltano il suo spin. Il campo di disturbo è molto debole (qualche gauss) rispetto al campo statico (0, 5 − 1 T). Un rilevatore di risonanza (oscilloscopio) permette di vericare le condizioni di risonanza. Misurando ω e B si

può determinare momento magnetico del protone (mp = 1, 41× 10−26_A/m2) 3.4.1 Risonanza magnetica in medicina

L'osservabile sica macroscopica è la magnetizzazione, denita come il momento di dipolo magnetico per unità di volume

⃗ M =

∑

im⃗_i V

La magnetizzazione M, prodotta dall'azione del campo magnetico sugli spin nucleari, è proporzionale a quella dell'eccesso di spin con verso parallelo al campo

applicato ↑↑. È così possibile ottenere, da una piccola quantità di materia una magnetizzazione misurabile dovuta agli spin dei nuclei contenuti nella materia. Si usa il nucleo dell'idrogeno ( il protone). Esso rappresenta una corrente nucleare che

possiede un momento magnetico m. Anche H2 (il nucleo del deuterio, isotopo dell'idrogeno), C13, F19, P31, Ca43 e molti altri nuclei hanno m ̸= 0 . Ma normalmente si considera il protone, in quanto presente in grandi quantità nei

tessuti umani. Per misurare M occorre perturbare il sistema dal suo stato di equilibrio, ad esempio applicando un secondo campo magnetico Bpert perpendicolare

a B0 e variabile nel tempo ( può essere prodotto da un segnale a radiofrequenze). I campi B0 e Bpert si chiamano campo di polarizzazione e campo di eccitazione.

Una volta spento Bpert, il sistema di spin cede l'eccesso di energia al reticolo e si ristabilisce l'equilibrio tra spin degli atomi del campione e campo B0.

Se un nucleo è immerso in un campo magnetico B0, il vettore ⃗m tende a orientarsi parallelamente a B0, compiendo un moto di precessione con una frequenza di precessione di Larmore ωL. Un campo elettromagnetico variabile, della stessa frequenza ωL, che interagisca con il protone che subisce il moto di precessione, darà

luogo a un fenomeno di risonanza e il campo a radiofrequenza potrà cedere al protone l'energia necessaria a rovesciare il moto di precessione. Il protone a questo

punto può ritornare nello stato di partenza ↑↑ (minima energia) , emettendo un fotone di energia pari a quella che gli ha permesso di passare dallo stato ↑↑ a quello

↑↓ emettendo una radiazione elettromagnetica di frequenza ω0. Il debole segnale emesso dai protoni che ritornano alle condizioni iniziali è rivelato da un opportuno

3.4 Magnetismo nucleare 3 IL CAMPO MAGNETICO

ricevitore. In questo modo è possibile ricostruire la mappa, anche tridimensionale, della distribuzione dei protoni nei tessuti, e quindi negli organi. Se il corpo in

considerazione è immerso in un campo magnetico B i momenti magnetici tenderanno ad allinearsi al campo , però la loro agitazione termica farà che, alla temperatura di circa T = 300 K, quelli con ↑↑ siano in numero leggermente più alto

di quelli con ↑↓. Il sbilancio produce una leggera magnetizzazione M del corpo. Le componenti del vettore M(t) sono descritte con le equazioni di Bloch.

d⃗L dt ^{= ⃗L}× ⃗ω ⃗ L× ⃗ωL= ^q 2 m_p^L⃗ × ⃗B = ⃗m × ⃗B d ⃗m dt ^{= γ ⃗m}× ⃗B d ⃗M dt ^{= gγ ⃗M} × ⃗B

dove γ è una costante chiamata rapporto giromagnetico. Per gli elettroni sarebbe γ = q/2 m_p, ma per il nucleo si trova g ≈ 2 γ. Questa dierenza riguarda il

contributo dello spin nucleare al momento magnetico. Le equazioni delle componenti sono

dMx dt ^{= gγ(MyBz}− MzB_y) dMy dt ^{= gγ(MzBx}− MxBz) dM_z dt ^{= gγ(MxBy} − MyB_x)

Consideriamo un campo magnetico statico che scegliamo lungo l'asse z ( B_x = B_y = 0), e le equazioni si semplicano: dM_x dt ^{= gγMyBz} dM_y dt ⁼−gγMxB_z dM_z dt ^{= 0}

La terza di queste equazioni da Mz = const.. Derivando la prima rispetto al tempo si ottiene:

d2M_x

Questa è un'equazione dierenziale omogenea. La magnetizzazione è scelta inizialmente (My(t = 0) = 0) lungo l'asse y. Con queste condizioni iniziali, le

soluzioni sono M_x = M_{x 0}cos ω₀t M_y =−Mx 0sin ω₀t M_z = M₀

ω₀ = gγB_z

Le equazioni del moto descrivono la precessione della magnetizzazione attorno all'asse del campo magnetico (assunto lungo la direzione z).

Figure 16:

Le relazioni precedenti sono incomplete, perché ignorano gli scambi di energia e momento che possono avvenire fra il sistema dei dipoli magnetici che dà origine alla

magnetizzazione macroscopica. Questi scambi di energia e momento tendono sempre a riportare la magnetizzazione ad un valore corrispondente a quello di

equilibrio termico con l'ambiente circostante. Questi processi spontanei che ripristinano i valori di equilibrio termico sono indicati con il termine di "rilassamento" (smorzamento). Si possono includere gli eetti del rilassamento

4 MOTO ONDULATORIO

aggiungendo dei termini dM_x dt ^{= gγ(MyBz}− MzB_y)− ^Mx T₂ dM_y dt ^{= gγ(MzBx}− MxBz)− ^My T₂ dM_z dt ^{= gγ(MxBy}− MyB_x)−^Mz− M0 T₁ Le soluzioni sono M_x = M_x0e^−t/T2 cos ω₀t M_y =−Mx0e^−t/T2 sin ω₀t Mz = M0 ( 1− e−t/T1)

La costante di tempo T1, che governa il ritorno all'equilibrio della componente longitudinale del vettore M, è denita tempo di rilassamento spin-reticolo, perché

coinvolge scambio di energia tra il sistema di spin ed il resto dell'ambiente. La costante di tempo T2, che governa l'annullamento della componente trasversale del vettore M, si denisce tempo di rilassamento spin-spin in dipende dalle interazioni tra i momenti magnetici dei singoli nuclei che porta gli spin a perdere coerenza e a

sfasarsi. Il tempo di rilassamento T2 è sempre minore o uguale a T1. Una volta terminata l'azione perturbante del campo Bpert, dopo un tempo di applicazione Tp,

la magnetizzazione macroscopica M si riallinea al campo B0. Il segnale prodotto dalla variazione nel tempo del vettore M viene misurato in laboratorio usando una

bobina ad induzione elettromagnetica posta attorno al campione in direzione ortogonale al campo esterno, che si comporta come una antenna: le variazioni della componente trasversale di M inducono una piccola forza elettromotrice (misurabile

tramite un ricevitore a radiofrequenza) che oscilla alla frequenza di Larmor.

4 Moto ondulatorio

Moto ondulatorio si può visualizzare come il movimento di una forma che si sposta nello spazio. Il modo semplice di visualizzare un onda è di partire da un oscillatore

armonico descritto dalla equazione a(t)≡ ¨x = −ω2x(t)

che ha le soluzioni, con le condizioni iniziali (x0, v₀ = 0), x(t) = x₀cos(ω t)

Il moto ondulatorio di un'onda è sempre oscillatorio soltanto le oscillazioni avvengono sia nel tempo che nello spazio. In altre parole un onda si propaga nello

spazio mentre compie oscillazioni nel tempo. Dunque, consideriamo due oscillatori armonici, uno oscilla temporalmente e l'altro spazialmente, descritti dalle equazioni

∂²y

∂ t2(x, t) =−ω2y(x, t) ∂2y

∂ x2(x, t) =−k2

y(x, t)

sottraendo le due equazioni si arriva al ∂²y ∂ x2(x, t)− ¹ v2 ∂²y ∂ t2(x, t) =− ( k²− ^ω2 v2 ) y(x, t) se si impone la condizione detta relazione di dispersione

k²− ω2/v² = 0

si arriva all'equazione di un onda in una dimensione

∂2y

∂ x2(x, t)− ¹ v2

∂2y

∂ t2(x, t) = 0 (12)

che ha la soluzione matematica generale

y(x, t) = A e^{i(k x±ω t)}+ B e^{i(k x±ω t)}

le costanti d'integrazione A, B si determinano dalle condizioni iniziali y(0, 0) = A + B, ˙y(0, 0) = i ω (A− B).

Le caratteristiche principali di un onda sono:

• la sua lunghezza d'onda λ, denita come la distanza tra due massimi o due minimi successivi

• e la sua frequenza ν denita come numero di oscillazioni in un unità di tempo

ν = ¹ T

4 MOTO ONDULATORIO

La relazione di base tra di loro è λ· ν = vf

Coeciente k si chiama vettore d'onda di modulo |k| = 2π/λ

e ω si chiama la frequenza angolare ω = 2π ν = 2π/T

.

Consideriamo un caso semplice di un'onda sinusoidale nel momento di tempo iniziale t = 0, con B = 0.

y(x, 0) = A sin (k x) e dopo un tempo t = 0.25 sec y(x, 0.25) = A sin (k x− 0.25 ω)

il graco di queste funzioni è dato dalla gura 17. Si vede che l'onda mantiene la

0 1 2 3 4 5 6 ^x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 sinHxL t=0 t=0.25

Figure 17: Spostamento spaziale di un'onda sinusoidale

sua forma nel tempo, mentre si sposta a destra nello spazio (per il segno + si sposterebbe a sinistra).

Nella meccanica classica il moto ondulatorio caratterizza la propagazione del suono, oscillazioni di una corda, propagazione della luce etc. ma non è compatibile

con la descrizione del moto di una particella. In eetti, il tentativo di Newton di descrivere la luce come uno sciame di particelle classiche aveva fallito. Dunque, al

Esercizi

1. Si dimostri che le seguenti funzioni soddisfano l'equazione d'onda y = (x + v t)³

y =A e^{−k(x−v t)} y = ln k (x− v t) y =2 sin (k x) cos (ω t)

4.1 Sovrapposizione delle onde

Dall'esperienza è noto che le due onde interferiscono tra di loro (pensare alle onde create da due sassi buttati contemporaneamente nell'acqua). La descrizione

matematica e caratterizzata dal termine di interferenza ed è come segue: Prendiamo due onde sinusoidali

y1 = a sin (k1x− ω1t) y₂ = b sin (k₂x− ω2t)

La domanda è cosa si ottiene combinando queste due onde? Il modo più semplice di rispondere a questa domanda è di utilizzare la rappresentazione delle onde in termini di numeri complessi (vedi pre-requisiti matematici). Usando le proprietà dei

numeri complessi si ricava l'ampiezza |z| e la fase ϕ dell'onda risultante

|z|2 ≡ z¯z = |z1|2+|z2|2+ 2|z1||z2| cos (ϕ1− ϕ2) tan ϕ = |z1| sin ϕ1+|z2| sin ϕ2

|z1| cos ϕ1+|z2| cos ϕ2

Consideriamo prima il caso di due onde sinusoidali di ampiezze uguali b = a. Si ottiene

y ≡ a (sin ϕ1 + sin ϕ₂) =2 a cos ( ϕ₁− ϕ2 2 ) sin ( ϕ₁+ ϕ₂ 2 ) ϕ = ^{ϕ1 + ϕ2} 2

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO

• Nel caso anche di fasi uguali ϕ1 = ϕ₂ si ha y = 2 a sin ϕ ϕ = ϕ₁

Si tratta di interferenza costruttiva che da massima amplicazione di ampiezza.

• Nel caso ϕ1− ϕ2 = π si ha

y = 0

ϕ = ϕ₂ + π/2

Si tratta di interferenza distruttiva che da zero ampiezza. Le due onde si annullano

Nel caso di due onde cosinusoidali di ampiezze uguali b = a si ottiene y ≡ a (cos ϕ1 + cos ϕ2) =2 a cos

( ϕ₁ − ϕ2 2 ) cos ( ϕ₁+ ϕ₂ 2 ) ϕ = ^{ϕ1 + ϕ2} 2

Si tratta di modulazione di ampiezza usato per trasmettere le onde radio (AM). L'onda di bassa frequenza si chiama modulante, mentre quella con alta frequenza

si chiama portante.

Guardiamo in dettaglio la somma di due onde sinusoidali (per a=b) y = 2 a cos ( (k₁− k2) x− (ω1− ω2) t 2 ) sin ( (k₁+ k₂) x− (ω1+ ω₂) t 2 ) (13) Questa è un onda la cui ampiezza A = 2 a cos [(k1− k2) x− (ω1− ω2) t/2] oscilla (non è costante) e varia come un onda. Denendo ω1− ω2 = 2∆ω e k1− k2 = 2∆ k

si ottiene

y = 2 a cos (∆ k x− ∆ω t) sin (k1x− ω1t)

Si vede che l'ampiezza si muove con la velocita v = ∆ω/∆ k mentre l'onda si muove con la velocità v = ω/k. Questo esempio dimostra che la velocità di un onda non è

denita in modo univoco. In eetti, nel caso delle onde si distinguono due tipi di velocità

1. vf = ω/k = ν· λ chiamata velocità di fase 2. vg = dω/d k chiamata velocità di gruppo

Figure 18: Interferenza di due onde sinusoidali (sin (6.3 · x + 6.1 · 0]) + sin (5.7x + 5.9· 0))/2 = cos (0.3 · x + 0.1 · 0) sin (6 · x + 6 · 0)

La velocità di fase, come dice il nome, rappresenta la velocità di oscillazione della fase e non ha signicato sico. In eetti, si potrebbe considerare l'onda sulla gura 18 come un insieme di oscillatori armonici (blue in gura) che oscillano lungo asse y

senza spostarsi lungo x creando onda rossa che comunque trasmette energia. A noi interessa come si trasmette l'informazione ed energia portata dall'onda. Essendo energia proporzionale al quadrato dell'ampiezza, la velocità sica è quella

di gruppo. Esercizi 1. Due onde armoniche sono

y₁ = 0, 002 cos(6· x − 600 · t) y₂ = 0, 002 cos(5, 8· x − 580 · t)

Trovare la formula dell'onda risultante, la velocità di fase e di gruppo. Sono dispersive o no?

2. La relazione di dispersione per le onde in acqua è ω² = ( g k + ^γ ρ^k 3 ) tanh(k H)

con g accelerazione di gravità, ρ = 1g/cm3 densità dell'acqua, γ = 0.075N/m la tensione superciale e H la frondità dell'acqua. Calcolare la velocità di gruppo in acqua alta k H ≥ 1 e acqua bassa k H ≤ 1 per piccole onde λ = 1cm

4.1 Sovrapposizione delle onde 4 MOTO ONDULATORIO

e per grandi onde λ = 1m. Per quale lunghezza d'onda sono uguali la velocità di gruppo e di fase in acqua alta? Risposta:

v_f = √ (g + γ k2/ρ) k ^{tanh (k H)} v_g = ¹ 2 √ tanh (k H) k (g + γ k2/ρ) [ g + 3γ k²/ρ + ^{2k H (g + γ k} 2/ρ) sinh (2k H) ] • acqua bassa k H ≤ 1 v_f =√ (g + γ k2/ρ) H v_g = v_f^{g + 2γ k} 2/ρ g + γ k2/ρ → vg ≈ vf =√ g H • acqua alta k H ≥ 1 v_f =√ (g + γ k2/ρ) /k v_g = ^vf 2 g + 3γ k2/ρ g + γ k2/ρ → vg ≈ ^vf 2 ⁼ 1 2 √ g k v_f = v_g λ = 2π√ γ/g ρ = 17 mm

dai dati si trova γ/ρ = 7, 5 × 10−5_m3/sec2 e contribuisce pochissimo per le λ tra cm-m.

3. Due sorgenti hanno uno sfasamento di φ0 = C t e la stessa ampiezza A0 nel punto P. Scrivere le funzioni d'onda nel punto P per ciascuna onda,

supponendo che il punto è distante x dalla sorgente di un onda e x + ∆ x dalla sorgente dell'altra onda. Trovare la funzione dell'onda risultante e dimostrare che la velocità di gruppo è la media aritmetica di due velocità di fase delle singole onde.

4. Per le particelle quantistiche vale la relazione tra l'energia e la frequenza E = h ν ed impulso e la lunghezza d'onda p = h/λ (relazioni di de Broglie). Scrivere l'espressione di un onda piana in termini di energia ed impulso di una particella. Risposta:

⃗k ⃗x − ω t = ^2π

h ^{(⃗p ⃗x}− E t)

5. Calcolare la velocità di fase e di gruppo appratente alla particella classica e quantistica. Risposta:

• classica E = p2/2m

v_f ≡ ω/k = E/p = p/2 m = v/2 v_g ≡ dω/dk = dE/dp = p/ m = v

• quantistica E =^√p2c2+ m2 0c4 = m₀c2/√ 1− v2/c2 v_f ≡ ω/k = E/p = mc2/2 m v = c²/v v_g ≡ dω/dk = dE/dp = pc2/E = v

Nel documento AEE @E
IE?= ?HI 165 # $ )5=E=CE (pagine 49-60)