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Lezioni di sica corso ITS 2015/16

A.Smailagi¢

1.1.1 Denizione del prodotto scalare e vettoriale . . . 4

1.1.2 Rappresentazione dei numeri complessi . . . 5

1.1.3 Funzioni iperboliche . . . 6

1.1.4 Oscillazioni smorzate . . . 7

1.1.5 Trasformata di Fourier . . . 10

2 Corrente elettrica 11 2.1 Descrizione microscopica . . . 11

2.2 Velocità di deriva . . . 13

2.2.1 Campi elettrici costanti . . . 13

2.2.2 Campi variabili nel tempo . . . 15

2.3 Circuiti elettrici . . . 16

2.3.1 Circuito RC . . . 17

2.3.2 Circuito RL . . . 18

2.4 Circuito RLC in regime AC . . . 24

3 Il campo magnetico 31 3.1 Forza di Lorentz . . . 33

3.1.1 Forza tra due correnti . . . 35

3.1.2 Movimento di una carica nel campo magnetico . . . 35

3.2 Induzione magnetica . . . 37

3.2.1 Coecienti di induzione magnetica . . . 39

3.3 Magnetismo atomico . . . 45

3.3.1 Frequenza di Larmor . . . 45

3.3.2 Precessione di Larmor . . . 47

3.4 Magnetismo nucleare . . . 47

3.4.1 Risonanza magnetica in medicina . . . 48

4 Moto ondulatorio 51 4.1 Sovrapposizione delle onde . . . 54

4.2 Onde lettromagnetche . . . 58

4.3 Onde elettromagnetiche nella materia . . . 60

4.3.1 Teoria della dispersione . . . 61

4.3.2 Onde piane nei non-conduttori . . . 62

4.3.3 Onde piane nei metalli . . . 62

4.4 Onde elettromagnetiche in due dimensioni . . . 65

List of Figures

1 PREREQUISITI MATEMATICI

2 ⃗z = ⃗z₁+ ⃗z₂ . . . 7

3 La corrente a regime nel circuito RL . . . 19

4 La corrente a regime nel circuito RL . . . 19

5 Andamento temporale della corrente nel circuito RL . . . 20

6 Andamento temporale della corrente nel circuito RL . . . 20

7 Fase transitoria della corrente nel circuito RLC . . . 21

8 Rappresentazione vettoriale delle impedenze del circuito RLC . . . 25

9 circuito RLC in parallelo . . . 28

10 Circuito LC in regime AC . . . 28

11 circuito RLC con due armoniche . . . 29

12 Induzione magnetica in una spira in rotazione . . . 40

13 Induzione magnetica in una sbarra in movimento . . . 40

14 Induzione magnetica tra due spire . . . 41

15 Induzione magnetica tra una spira ed un lo . . . 41

16 . . . 50

17 Spostamento spaziale di un'onda sinusoidale . . . 53

18 Interferenza di due onde sinusoidali (sin (6.3 · x + 6.1 · 0])+sin (5.7x + 5.9 · 0))/2 = cos (0.3· x + 0.1 · 0) sin (6 · x + 6 · 0) . . . . 56

19 Polarizzazione ellittica delle onde elettromagnetiche . . . 67

1 Prerequisiti matematici

Per poter seguire questo corso in modo procuo è necessario avere le seguenti conoscenze matematiche

• vettori

• funzioni trigonometriche

• numeri complessi

• elementi del calcolo dierenziale ed integrale

1.1 Diverse basi ortogonali

Un vettore può essere descritto in una base dello spazio n-dimensionale, caratterizzata dai vettori unitari ⃗ei, come

⃗ x =

∑n i=1

x_i⃗e_i

⃗e_i· ⃗ej = δ_ij

Il simbolo δij si chiama Kronecker delta denito come

δ_ij = {

0 i̸= j 1 i = j Esempio delle basi comunemente usate

• base polare in due dimensioni con vettori unitari (⃗ρ0, ⃗φ₀), con l'angolo φ mis- urato in senso antiorario dall'asse x, si usa nei casi di simmetria circolare

x = ρ cos φ y = ρ sin φ

⃗

φ₀ = − sin φ⃗i + cos φ⃗j

⃗

ρ₀ = cos φ⃗i + sin φ⃗j

⃗

x ≡ ρ ⃗ρ0 = x⃗i + y ⃗j ρ² = x²+ y²

d²x = ρ dρ dφ

• base cilindrica in tre dimensioni con vettori unitari (⃗ρ0, ⃗φ₀, ⃗k) si usa nei casi di simmetria cilindrica

x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z

⃗

φ₀ = − sin φ⃗i + cos φ⃗j

⃗

ρ₀ = cos φ⃗i + sin φ⃗j

⃗

x ≡ ρ ⃗ρ0+ z ⃗k = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k ρ² = x²+ y²

d³x = ρ dρ dφ dz

1.1 Diverse basi ortogonali 1 PREREQUISITI MATEMATICI

• base sferica in tre dimensioni con vettori unitari (⃗r0, ⃗φ₀, ⃗θ₀), con l'angolo θ misurato dall'asse z, si usa nei casi di simmetria sferica

x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ

⃗r₀ = sin θ ⃗ρ₀+ cos θ ⃗k

⃗

φ₀ = − sin φ⃗i + cos φ⃗j

⃗θ₀ = cos θ ⃗ρ₀− sin θ ⃗k

⃗x ≡ r ⃗r0 = x⃗i + y ⃗j + z ⃗k r² = x²+ y² + z²

d³x = r²d r dφ d θ Un vettore ⃗a scritto in una delle basi ha la forma

⃗a = a_x⃗i + a_y⃗j + a_z⃗k

= a_ρ⃗ρ₀+ a_φφ⃗₀+ a_z⃗k

= a_r⃗r₀+ a_φφ⃗₀+ a_θ⃗θ₀ e le componenti in diverse basi sono legate come segue

 base polare

a_ρ = a_xcos φ + a_ysin φ aφ =−axsin φ + aycos φ

a_z = a_z

 base sferica

ar= (axcos φ + aysin φ) sin θ + azcos θ a_φ =−axsin φ + a_ycos φ

a_θ = (a_xcos φ + a_ysin φ) cos θ− azsin θ

mentre gli operatori dierenziali hanno la forma

 base polare

∇ = ⃗ρ⃗ 0

∂

∂ρ + ⃗φ₀1 ρ

∂

∂φ + ⃗k ∂

∂z

∇² = 1 ρ

∂

∂ρ (

ρ ∂

∂ρ )

+ 1 ρ²

∂²

∂φ² + ∂²

∂z²

 base sferica

∇ = ⃗r⃗ 0

∂

∂r + ⃗φ₀ 1 r sin θ

∂

∂φ+ ⃗θ₀1 r

∂

∂θ

∇² = 1 r²

∂

∂r (

r² ∂

∂r )

+ 1

r²sin θ

∂

∂θ (

sin θ ∂

∂θ )

+ 1

r²sin²θ

∂²

∂φ² 1.1.1 Denizione del prodotto scalare e vettoriale

• prodotto scalare

s = ⃗a·⃗b = |a| · |b| cos α

⃗a·⃗b =

∑3 i,j=1

ai· bj(⃗ei· ⃗ej) =

∑3 i

ai· bi

⃗ei· ⃗ej = δij

δ_ij = {

0 i̸= j 1 i = j simbolo δij si chiama Kronecker delta.

• prodotto vettoriale

⃗c = ⃗a×⃗b = |a| · |b| sin α⃗c0

⃗c = ⃗a×⃗b =

∑3 i,j=1

a_i· bj(⃗e_i× ⃗ej) =

∑3 i,j,k

ϵ_ijka_i· bj· ⃗ek

⃗

e_i× ⃗ej = ϵ_ijk⃗e_k

ϵijk = {

0 i̸= j ̸= k 1 i = j = k simbolo ϵijk si chiama tensore antisimmetrico.

Un esempio

⃗a×⃗b =(

a_x⃗i + a_y⃗j + a_z⃗k)

×(

b_x⃗i + b_y⃗j + b_z⃗k)

= (a_yb_z− azb_y)⃗i + (a_zb_x− axb_z)⃗j + (a_xb_y − ayb_x) ⃗k

• prodotto misto è un volume

V = (

⃗a×⃗b)

· ⃗c =

∑3 i,j=1

a_i· bj · ck(⃗e_i× ⃗ej)· ⃗ek=

∑3 i,j,k

ϵ_ijka_i· bj· ck

1.1 Diverse basi ortogonali 1 PREREQUISITI MATEMATICI

• prodotto vettoriale doppio

⃗a× (

⃗b × ⃗c)

= (⃗a· ⃗c) ·⃗b −(

⃗a· ⃗b)

· ⃗c

1.1.2 Rappresentazione dei numeri complessi

Un numero complesso è caratterizzato da due unità (1, i =√

−1) e si scrive

z = x + i y = Re z + i Im z z =|z| e^{i φ}→ Forma di Eulero x =|z| cos φ

y =|z| sin φ

|z|² = x²+ y² tan φ = y

x

Un numero complesso si può rappresentare come un vettore ⃗z nel piano complesso (x, i y) e le operazioni si svolgono come con i vettori. Per esempio la somma di due numeri complessi z1 =|z1| e^iφ1 z₂ =|z2| e^iφ2 si ottiene

⃗

z = ⃗z₁+ ⃗z₂

|z|² =|z1|²+|z2|²+ 2|z1| |z2| cos φ

dove φ = φ1− φ2 rappresenta lo spostamento di fase tra due numeri. Altro modo di fare e analitico come segue

z₁ =|z1| e^iφ1 = Re z₁+ i Im z₁ z₂ =|z2| e^iφ2 = Re z₂+ i Im z₂

z ≡ z1+ z₂ =|z| e^iϕ

|z|² ≡ z¯z =(

|z1| e^iφ1 +|z2| e^iφ2) (

|z1| e^−iφ1 +|z2| e^−iφ2)

=|z1|²+|z2|²+ 2|z1||z2| cos (φ1− φ2) tan φ≡ Im z₁+ Im z₂

Re z₁+ Re z₂ = |z1| sin φ1+|z2| sin φ2

|z1| cos φ1+|z2| cos φ2

Usando numeri complessi si possono ottenere formule utili per l'addizione di due onde

Figure 1: Rappresentazione vettoriale di un numero complesso

(vedi più avanti)

e^iα+ e^iβ = ei[(α+β)/2+(α−β)/2]+ ei[(α+β)/2−(α−β)/2]

= 2 cos

(α− β 2

)

e^i(α+β)/2 e^iα− e^iβ = 2 i sin

(α− β 2

)

e^i(α+β)/2 sin α + sin β = 2 cos

(α− β 2

) sin

(α + β 2

)

cos α + cos β = 2 cos

(α− β 2

) cos

(α + β 2

)

a sin α + b sin β = (a + b) cos

(α− β 2

) sin

(α + β 2

)

+ (a− b) sin

(α− β 2

) cos

(α + β 2

)

1.1.3 Funzioni iperboliche

le denizioni di base sono seno iperbolico e coseno iperbolico

1.1 Diverse basi ortogonali 1 PREREQUISITI MATEMATICI

Figure 2: ⃗z = ⃗z1+ ⃗z2

sinh x = e^x− e^−x 2 cosh x = e^x+ e^−x

2

sono funzioni reali che per la variabile complessa x = iφ si riducono alle funzioni trigonometriche sinh iφ = i sin φ e cosh iφ = cos φ. Le approssimazioni per x ≤ 1 sono, usando lo sviluppo e^x =∑_∞

n=0 xⁿ/n!, sinh x≈ x cosh x≈ 1

1.1.4 Oscillazioni smorzate

Equazione di un oscillatore armonico smorzato sottoposto ad una forza esterna m ¨x + m γ ˙x + k x = F e^{i ω t} (1) Il fattore γ si chiama coeciente di smorzamento, k è la costante elastica, m la massa ed F e^{i ω t} la forza armonica esterna. Guardiamo prima la soluzione dell'equazione omogenea F = 0

0 = ¨x + γ ˙x + ω²₀x x(t) = A e^{i α1t}+ B e^{i α2t}

0 = α²− i γ α − ω0²

α_1,2 = i γ

2 (1± Ω) γΩ =

√

γ²− 4 ω0²

ω₀² = k m

se si impongono le condizioni iniziali x(t = 0) = x0 e ˙x(t = 0) = v0 si trovano le condizioni per risolvere le costanti di integrazione A, B

x₀ = A + B

v₀ = iα₁A + i α₂B

A = 1

α₂− α1

(α₂x₀+ i v₀) B =− 1

α₂− α1

(α₁x₀+ i v₀)

la soluzione generale è

x(t) = e^{−γ t/2} [

x₀ cosh (γΩ t/2) + 1

γΩ(x₀γ + 2 v₀) sinh (γΩ t/2) ]

(2)

Possiamo avere tre diverse situazioni 1. γ/2 ≤ ω0 → Ω = i|Ω|

x(t) = e^{−γ t/2} [

x₀ cos (γ|Ω| t/2) + 1

γ|Ω|(x₀γ + 2 v₀) sin (γ|Ω| t/2) ]

= A sin (γ|Ω| t/2 + φ) A =

√ x²₀+

(x₀γ + 2 v₀ γ|Ω|

)2

tan φ = x₀γ|Ω|

x₀γ + 2 v₀

1.1 Diverse basi ortogonali 1 PREREQUISITI MATEMATICI

questa soluzione descrive oscillazioni smorzate

2. γ/2 ≥ ω0 → Ω = |Ω|

x(t) = e^{−γ t/2} [

x₀ cosh (γ|Ω| t/2) + 1

γ|Ω|(x₀γ + 2 v₀) sinh (γ|Ω| t/2) ]

Sovra-smorzamento. Il sistema si smorza in modo monotono senza oscillare.

3. γ/2 = ω0 → Ω = 0

x(t) = e^{−γ t/2}[x₀(1 + γ t) + 2 v₀t]

Smorzamento critico.

Nonostante l'apparenza complicata della soluzione, nel caso di oscillazioni armoniche semplici con γ = 0, γΩ/2 = iω0, la soluzione di sopra diventa

x(t) = x₀cos(ω₀t) + v₀

ω₀ sin(ω₀t) che descrive soluzione generale di un oscillatore armonico libero.

Adesso torniamo all'equazione non-omogenea. Questa ha la soluzione particolare

xP = F m

e^{i ω t}

ω₀²− ω²+ i γ ω = F

i Ze^{i ω t} = F

|Z|e^{i(ω t−φ−π/2)} Z = m(

γ ω + i(

ω²− ω0²

))=|Z| e^{i φ}

tan φ = ω²− ω²0

γ ω

la soluzione completa è la combinazione della soluzione omogenea, nella quale si fa sostituzione x0 → x0 − _m^F _ω^{2 1}

0−ω²+i γ ω e v0 → v0 − iω^F_mω^{2 1}

0−ω²+i γ ω e quella particolare.

Si vede che il coeciente γ smorza l'ampiezza in modo che dopo un tempo suciente lungo la soluzione omogenea va a zero e sistema è costretto di oscillare con la fre- quenza ω della forza esterna.

1.1.5 Trasformata di Fourier

Ogni vettore ⃗x si può sviluppare in una base ortonormale ⃗en come segue

⃗e_n· ⃗em = δ_n,m (3)

⃗ x =∑

n

x_n· ⃗en (4)

x_n = ⃗x· ⃗en (5)

dove xn le coordinate in quella base. Questa procedura si applica alle funzioni espo- nenziali che soddisfano

(e_n· em) =1 a

∫ _a

0

e^{i(2π/a)(n−m)p}dp = 1 a

∫ _a/2

−a/2

e^{i(2π/a)(n−m)p}dp = δ_n,m (e(x)· e(y)) = 1

2π

∫ _∞

−∞

e^i(x−y)pdp = δ(x− y)

e rappresentano una base ortonormale nello spazio delle funzioni con i vettori base e_n = e^{i n p}/√

2π = ei(2π/a) n p/√

a. Perció, ogni funzione si può espandere in questa base.

Se la funzione è periodica f(x+a) = f(x) in un intervallo [0, a] lo sviluppo è discreto in termini di serie di Fourier. Le formule generali (5) diventano

f (x) = 1

√a

∑∞ n=−∞

b_nei(2π/a) n x

b_n= 1

√a

∫ a 0

f (x) e−i(2π/a) n xdx

dove il numero d'onda discreto è kn = 2π n/a.

Essendo intervallo [−a/2, a/2] = [0, a] arbitrario si può considerare il limite a → ∞.

In questo caso si parla di trasformata di Fourier integrale f (x) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

f (p) e^{i x p}dp f (p) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

f (x) e^{−i p x}dx

2 CORRENTE ELETTRICA

in n dimensioni si scrive

f (x) = 1 (2π)^n/2

∫ _∞

−∞

f (p) e^{i ⃗x ⃗p}dⁿp f (p) = 1

(2π)^n/2

∫ _∞

−∞

f (x) e^{−i ⃗x ⃗p}dⁿx

f (p) si chiama la trasformata di Fourier nello spazio dei momenti, della funzione f (x) denita nello spazio delle coordinate. Analogamente, se la funzione è f(t) (tempo) la sua trasformata di Fourier è denita nello spazio di frequenze angolari f (ω).

Esercizio La conducibilità elettrica nello spazio t ha la forma

σ(t) =

√2πσ₀ τ e^−t/τ

per t ≥ 0 Trovare la sua trasformata di Fourier σ(ω). Soluzione

σ(ω) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

σ(t) e^{−iω t}d t σ(ω) = σ0

τ

∫ _∞

0

e−(iω+1/τ) td t = σ0

τ 1 iω + 1/τ σ(ω) = σ₀

1 + iω τ al contrario si ha

σ(t) = 1

√2π

∫ _∞

−∞

σ(ω) e^{iω t}d ω σ(t) = σ₀

√2π

∫ _∞

−∞

e^{iω t}d t

∫ _∞

o

ds e^{−s(1+iω τ)} σ(t) = σ₀

√2π

∫ _∞

o

ds e^−s

∫ _∞

−∞

e^{−iω(sτ−t)}d t =√ 2πσ0

∫ _∞

o

ds e^−sδ(sτ − t) σ(t) =

√2πσ₀ τ e^−t/τ

2 Corrente elettrica

2.1 Descrizione microscopica

La corrente elettrica I si denisce come il usso di carica, nell'unità di tempo, che attraversa una sezione S del conduttore.

I = dQ dt

dove dQ è la frazione di carica che attraversa, nel tempo dt, l'area S del lo. Questo

usso, nel caso di metalli, è rappresentato dagli elettroni liberi di muoversi

attraverso il conduttore. Dalla denizione si ricava l'unità di misura della corrente elettrica chiamata Amperé¹

A = C sec

Dunque, la corrente elettrica è una manifestazione macroscopica dei movimenti microscopici. Per trovare il legame tra le due descrizioni, deniamo n la densità volumica del numero di elettroni

n = dN dV

dove dN rappresenta numero di elettroni in un volume dV di una sezione del lo conduttore. Il volume si può esprimere attraverso la velocità media degli elettroni come segue

dV = v dt S

dQ = dN q_e = n q_edV dQ = n q_ev S dt

I = n qev S

Qui abbiamo fatto l'assunzione che tutti gli elettroni si muovono con la stessa velocità v (chiamata velocità di deriva). Questa semplicazione non cambia niente nella sostanza dell'argomento. Uno si può domandare come si riesce calcolare la densità del numero di elettroni n. La risposta è sorprendentemente semplice e passa attraverso la denizione della mole nmoli = N/N_A dove NA= 6× 10²³ è il numero di Avogadro.

n = ZN

V = ZN_A V_A ρ = M_A

V_A n = ZρNA

M_A

Nel caso di di rame ρCu = 9 g/cm³, M_Cu = 64 g, Z = 1si trova numero di elettroni di conduzione per unità di volume

ρ_Cu = 8, 4× 10²²elettroni/cm³

1Più tardi vedremo un altra denizione di Amperé attraverso forza tra due li

2.2 Velocità di deriva 2 CORRENTE ELETTRICA

Questo ragionamento classico richiede delle correzioni quantistiche, ma

qualitativamente da risultati giusti. Numero Z rappresenta numero di elettroni di valenza (gli unici liberi di muoversi attraverso il metallo). Usando questo risultato si può calcolare la velocità di deriva

v_d = I

n q_eS = 1 A

8, 4× 10²²elettroni/cm³· 1, 6 × 10⁻¹⁹C· 1 mm² = 7× 10⁻³cm/sec Questa velocità si può confrontare con la velocità termica degli elettroni

v_T =√

3 k T /m =

√

3· 1, 38 × 10⁻²³J/K· 293 K

9, 1× 10⁻³¹kg = 1, 2× 10⁵m/sec

si vede che la velocità di deriva è molto più piccola di quella termica (prendendo in considerazione eetti quantistici vT ≈ 10⁶), ma se come agisce nella stessa direzione produce una corrente apprezzabile. Il movimento degli elettroni non è ordinato in una sola direzione, causa disturbi termici, ma in tutto si spostano seguendo il campo elettrico. In assenza del campo i movimenti termici in media si annullano e non producono uno spostamento (corrente). La domanda che si pone: se la velocità di deriva degli elettroni è così bassa, come è possibile che un segnale elettrico viaggi a velocità prossima a quella della luce? La risposta è semplice. L'elettrone che parte da un estremo di un lo non è lo stesso che arriva all'altro estremo, perchéci impiegherebbe un tempo veramente lungo. Quello che si propaga lungo la linea elettrica è il campo elettrico, che mette in moto tutti gli elettroni liberi presenti nei conduttori che la costituiscono. Tutto avviene come quando colleghiamo a un

rubinetto aperto un estremo di lunga conduttura piena d'acqua, e l'acqua esce quasi istantaneamente dall'altro estremo. Come dimostrazione calcoliamo il tempo

necessario per un elettrone di attraversare un lo lungo l = 1cm t = l

vd

= 1 cm

7× 10⁻³cm/sec = 0, 14× 10³sec≈ 2, 33 min

2.2 Velocità di deriva

2.2.1 Campi elettrici costanti

La velocità di deriva è causata dal campo elettrico esterno ⃗E che fa accelerare elettroni secondo la legge di Newton

⃗a = q_eE⃗ me

se il campo è costante il moto è uniformemente accelerato. La velocità di deriva si ricava integrando l'equazione di sopra che da

⃗v_d= qeE⃗

m_e τ (6)

dove τ signica il tempo medio tra due collisioni dell'elettrone con altri elettroni. Si vede che, causa collisioni, il moto in realtà diventa uniforme quando elettroni

raggiungono la velocità terminale. Il moto si può descrivere come in presenza di una forza di attrito dinamico

⃗a = q m

E⃗ −⃗v τ

Adesso vale la pena soermarsi su questa equazione dierenziale, perché equazioni simili incontreremmo spesso in diverse situazioni siche. L'equazione in questione è

˙v + v τ = q

mE (7)

Si può risolvere in due modi:

1. prima la scriviamo senza termine in E come equazione omogenea 0 = ˙v + v

τ dv

v =−dt τ e poi integriamo

∫ dv v =−

∫ dt τ ln v =−t

τ + const.

che da la soluzione generale dell'equazione omogenea v_H(t) = C e^−t/τ

2. la stessa soluzione si può ottenere assumendo la forma vH(t) = e^{α t} e inserendo nel equazione omogenea si determina il valore del parametro α

α =−1 τ vH(t) = C e^−t/τ

A questo punto si determina una soluzione particolare dell'equazione inomogenea (completa) che è

v_P = q mE τ

La soluzione completa è la somma tra soluzione dell'equazione omogenea e la soluzione particolare

v = C e^−t/τ + q mE τ

2.2 Velocità di deriva 2 CORRENTE ELETTRICA

Resta da determinare una costante arbitraria (costante di integrazione C) dalle condizioni iniziali nel momento t = 0 quando v(0) = 0. Le condizioni iniziali portano alla soluzione completa

v = q mE τ(

1− e^−t/τ)

(8) Per tempi sucientemente lunghi t ≥ τ il fattore esponenziale muore (si dice: a regime), la velocità di deriva raggiunge valore terminale e si ha il moto uniforme

v_d= q mE τ

Inserendo questo risultato nella formula della corrente si ha

I = n q²_eτ

m_e S E = σ S E

la costante σ = n q²eτ /m_e si chiama la conducibilità. Esprimiamo il campo

elettrico tramite il potenziale elettrico V = E l, dove l rappresenta la lunghezza del

lo, e otteniamo

I = σ S

l V = V

R → Legge di Ohm

dove R = l/σ S si chiama la resistenza del lo. Abbiamo ricavato famosa legge empirica do Ohm dalle considerazione microscopiche. L'inverso della conducibilità si chiama la resistività ρ (o resistenza specica) ed e una caratteristica del metallo di cui à fatto il lo. Adesso possiamo anche calcolare il tempo medio di collisione tra due elettroni del rame a T = 273 K

τ = m

ρ n q_e² = 9, 1× 10⁻³¹kg

1, 56× 10⁻⁸Ω m 8.4× 10²⁸m⁻³ (1, 6× 10⁻¹⁹)² C² = 2, 7× 10⁻¹⁴sec In generale, per i metalli, il tempo libero varia tra 10⁻¹⁴ e 10⁻¹⁵, Il camino libero (distanza tra due collisioni) si trova

l_{f ree} = v_T · τ ≈ 10⁻⁷m .

2.2.2 Campi variabili nel tempo

Quanto descritto nora si riferisce alle correnti in regime stazionario (costanti nel tempo). Queste correnti sono prodotte dai campi elettrici costanti generati dai generatori a poli ssi (pile elettriche). In caso di campi elettrici variabili nel tempo avremmo correnti alternate. Prendiamo il campo di tipo cosinusoidale

E = ⃗⃗ E₀ cos (ω t)

L'equazione per la velocità di deriva diventa

˙v + v τ = q

mE₀ cos (ω t) (9)

La soluzione della omogenea sarà come prima, ma cambia soluzione particolare che non è più costante. Per risolvere l'equazione diventa utile utilizzo dei numeri complessi e si scrive (9) come

˙z + z τ = q

mE₀e^{i ω t}

dove v = Re z. Assumendo la forma della soluzione particolare come z = z0e^{i ω t} si trova

z₀ = q m

E₀τ 1 + iω τ

Scriviamo il numero complesso z0 =|z0| e^iφ. Il modulo |z0| e la fase φ si calcolano come segue

|z0| =√

z₀z₀^∗ = q m

E₀τ

√1 + ω²τ² tan φ = −ω τ

z =|z0| e^{i(ω t+φ)}

La legge di Ohm, per le correnti alternate si scrive in forma complessa in termini di densità della corrente j = I/S come

j(t) = σ(ω) E(t) σ(ω) = q_e²n τ

m_e

1 1 + i ω τ

Per le correnti alternate la conducibilità diventa complessa. La soluzione si ottiene prendendo la parte reale j(t) = Re j(t)

j(t) =|σ| E0 cos (ω t + φ)

|σ| = q_e²n m_e

√ τ

1 + ω²τ² I risultati per le correnti stazionarie si ottengono per ω = 0.

2.3 Circuiti elettrici

Guardiamo prima circuiti in regime DC, cioè alimentati da una f.e.m (forza elettromotrice) E costante.

2.3 Circuiti elettrici 2 CORRENTE ELETTRICA

2.3.1 Circuito RC

Circuito RC consiste di una resistenza ed un condensatore.

• Carica di un condensatore

Il sistema di equazioni per la carica di un condensatore di capacità C collegato ad una resistenza esterna R, un voltmetro di resistenza interna RV per

misurare il voltaggio del condensatore , e la batteria a voltaggio costante E è I = I_C + I_V

Q

C = R_V I_V E = R I + RV I_V

che porta all'equazione dierenziale E = RdQ

dt + Q C

(

1 + R R_V

)

con le soluzioni che descrivono la carica del condensatore Q(t) = E τ

R

(1− e^−t/τ)

V_C = E RV

R + R_V

(1− e^−t/τ)

I_C(t) = E Re^−t/τ I_V(t) = E

R + R_V

(1− e^−t/τ)

I(t) = E R + R_V

(

1 + R_V R e^−t/τ

)

τ = R_tot.C = R R_V R + R_V C

• Scarica di un condensatore Per la scarica si ha

E = 0, IC =−dQ/dt, VC(t = 0) = V_C,max e le soluzioni sono Q(t) = V_C,maxC e^−t/τ

V_C(t) = V_C,maxe^−t/τ IC(t) = VC,max

R_tot e^−t/τ I_R(t) = V_max

R e^−t/τ IV(t) = Vmax

R_V e^−t/τ τ = R R_V

R + R_V C = R_totC

il parametro τ ha le dimensioni di tempo e si chiama tempo caratteristico del condensatore. Dopo un tempo t1/2 = τ ln 2il condensatore si carica a meta VC(t_1/2) = V_C,max/2.

Esercizi

1. Calcolare il potenziale a regime sulle piastre di un condensatore di capacità C = 470µ F, collegato in un circuito con R = 10⁶Ωe alimentato da una batteria di E = 8 V , tenendo conto della resistenza interna RV = 5× 10⁵Ωdel voltmetro.

2. Dimostrare che le curve di carica e scarica si intersecano nel punto (Vmax/2, t_1/2 = τ ln 2) e che il tempo caratteristico corrisponde a

τ =−Vmaxcot α, dove α rappresenta l'angolo che la tangente nel punto (Vmax, 0) chiude con l'asse di tempo.

2.3.2 Circuito RL

Circuito RL è composto da una resistenza R ed una induttanza L alimentati da una pila di f.e.m. E costante. L'equazione del circuito segue dalla regola delle maglie

E = R I + LdI d t che ha la soluzione I(t) = E

R

(1− e^−t/τ)

dove τ = L/R. Si vede che l'impedenza rallenta la crescita dell'intensità della corrente causa induzione magnetica e la corrente impiega un certo tempo per

raggiungere il suo valore massimo I = E/R.

2.3 Circuiti elettrici 2 CORRENTE ELETTRICA

Esercizi

1. Un generatore a tensione costante E = 50 V all'istante t = 0 viene chiuso in un circuito composto da una resistenza R = 10 Ω e un'induttanza L = 0, 4 H, poste in serie. Si calcoli:

• la corrente in un momento t e a regime

• tempo caratteristico del circuito τ

• il tempo quando la corrente è a metà del valore massimo.

Figure 3: La corrente a regime nel circuito RL

2. Nel circuito in gura l'interruttore è in posizione A per permettere raggiungimento di regime e poi viene posto nel punto B per escludere la batteria. Usando i dati dell'esercizio precedente, calcolare d.d.p. (dierenza di potenziale) sulla resistenza dopo lo spostamento dell'interruttore. Calcolare l'energia dissipata per l'eetto Joule e la si paragoni con l'energia magnetica immagazzinata nell'induttanza.

Figure 4: La corrente a regime nel circuito RL

3. Dimostrare che le curve di corrente nei due esercizi precedenti si intersecano nel punto (Imax/2, t_1/2 = τ ln 2) e che il tempo caratteristico corrisponde a τ =−Imaxcot α, dove α rappresenta l'angolo che la tangente nel punto (Imax, 0) chiude con l'asse di tempo. Dopo quanto tempo la corrente assume 12, 5%del valore della corrente iniziale?

Figure 5: Andamento temporale della corrente nel circuito RL

4. In un circuito si hanno una resistenza R1 = 10 Ω in serie con un induttanza L = 5 H e tutte due in parallelo con un altra resistenza R2 = 20 Ω. Il circuito è alimentato da una batteria E = 30 V . Dopo quanto tempo le correnti I1 e I2

sono uguali?

Figure 6: Andamento temporale della corrente nel circuito RL

5. In un circuito RLC si hanno una resistenza R2 = 3 k Ωin serie con un

induttanza L = 2 H e tutte due in parallelo con un altra resistenza R1 = 1 k Ω. Al istante t = 0 viene chiuso l'interruttore e la d.d.p. del condensatore (che funge da batteria) è V = 100 V . Si calcolino le correnti sulle resistenze nel generico momento t.

2.3 Circuiti elettrici 2 CORRENTE ELETTRICA

Figure 7: Fase transitoria della corrente nel circuito RLC

Soluzioni 1. L'equazione del circuito RL è

E

L = ˙I +R LI

bisogna determinare la costante di integrazione C. Nell'istante iniziale t = 0 abbiamo I0 = 0 e la soluzione è

I(t) =E R

(1− e^−t/τL) τ =L/R

La corrente a regime è

I(∞) =E

R = 5 A τ_L= 4× 10⁻²sec

t_1/2 =τ · ln 2 = 2, 8 × 10⁻²sec

2. In questo caso, simile alla scarica di un condensatore, si impone E = 0 dopo la chiusura dell'interruttore e si ha

0 = ˙I + R LI e la soluzione è

I(t) =E R e^−t/τL V_R=E e^−t/τL

Energia dissipata per eetto Joule è U =

∫ _∞

0

R I²(t) dt = E² R

∫ _∞

0

e^{−2 t/τL}dt = 1

2L I²(0)

mentre l'energia magnetica è UM = ¹₂L I² che dimostra la conservazione di energia. La dissipazione avviene a spese di energia magnetica.

3. La tangente di una funzione f(x) ha l'equazione in un punto x0

y_t = f^′(x₀) (x− x0) + f (x₀)

Le due correnti di carica e scarica sono uguali dopo il tempo ˆt

Ic = Isc

e^−ˆt/τL = 1− e^−ˆt/τL ˆt = τ ln 2

questo tempo si chiama tempo di dimezzamento ˆt= t1/2. Nel caso in questione si ha

I(t) =E

R e^−t/τL = I(0) e^−t/τL yt= I(0) (1− t/τL) y_t(0) ≡ 0 → t = τ

t_1/2= τ ln 2 = τ · 0, 693

il tempo dopo il quale la corrente scende al 12, 5% del valore iniziale si trova imponendo I/I(0) = 0, 125 = 1/8 e si ha

1/8 = e^{− t/τ} ln 1/8 =− t/τ

t12,5% = τ · ln 2³ = 3 τ ln 2 = 3 t1/2= 3τ · 0, 693 4. Le equazioni del circuito sono

E = LdI1

dt + R₁I₁ E = R2I₂

I = I₁+ I₂

2.3 Circuiti elettrici 2 CORRENTE ELETTRICA

che portano all'equazione dierenziale

E = L ˙dI1 + R₁I₁ che ha la soluzione

I₁(t) = E R1

(1− e^−R1t/L)

I₂(t) = E R₂ La condizione della uguaglianza da

I₁(t) = I₂ E

R₁

(1− e^−R1t/L)

= E R₂ t =− L

R₁ ln (

1−R₁ R₂

)

= 0, 35 sec 5. Le equazioni del circuito sono

Q

C = LdI₂

dt + R₂I₂ Q

C = R₁I₁ I = I₁+ I₂

Si noti che la corrente I = −dQ/dt perche il condensatore si scarica.

Combinando le equazioni di sopra si ottiene un equazione dierenziale

L ¨Q + (

R2+ L C R₁

) Q +˙

(

1 + R₂ R₁

)Q C = 0

Le condizioni iniziali sono I(0) = I2(0) = 0, Q(0) = C V₀, I₁ = V₀/R₁. Assumendo Q = e^{α t} si ottiene l'equazione caratteristica

Lα² + α (

R₂+ L C R₁

) +

(

1 + R₂ R₁

) 1 C = 0 Si verica numericamente che R2+_{C R}^L

1 = 4 kΩe anche ( 1 + ^R_R²

1

) 1

C = 4 kΩ così che la ∆ = 0 e le due soluzioni coincidono α1 = α2. Dalla introduzione matematica si ha la soluzione per smorzamento critico

Q(t) = e^{−γ t/2}[Q₀(1 + γ t) + 2 I(0) t]

dove γ = R₂+_{C R}^L

1 /L = 2× 10³Ω/H. Finalmente le correnti sono I(t)≡ −dQ/dt = Q₀γ

2 e^{−γ t/2}(1− γ t) I₁(t) = Q₀

C R1

e^{−γ t/2}(1 + γ t) I₂ = I− I1

2.4 Circuito RLC in regime AC

Adesso passiamo al circuito alimentato dalla f.e.m. di tipo armonico E(t) = E0e^{iω t} (corrente alternata). L'equazione del circuito RLC è

E(t) = Ld I(t)

d t + R I(t) +Q(t) C

scrivendola in termini della carica elettrica, usando I = dQ/dt, si ottiene

L ¨Q + R ˙Q +Q(t)

C =E0e^{iω t}

Confrontiamo questa equazione con quella di un oscillatore smorzato soggetto alla forza esterna.

m ¨x + m γ ˙x + k x = F e^{i ω t}

che è stata risolta nell'introduzione matematica. Per utilizzare queste soluzioni bisogna fare le seguenti identicazioni

• x = Q

• m = L

• F = E

• k = 1/ C

• γ = R/L

• ω²0 = k/m = 1/L C

• Ω =√

1− 4 ω0²τ_L²

la frequenza naturale del circuito ω0 = k/m è dovuta alla forza di richiamo −k x. Si deniscono anche tempi caratteristici

• τC = R C

2.4 Circuito RLC in regime AC 2 CORRENTE ELETTRICA

Figure 8: Rappresentazione vettoriale delle impedenze del circuito RLC

• τL = L/R

• τ0 =√

τ_Lτ_C = 1/ω₀.

Le soluzioni omogenee sono date nell'introduzione matematica, ma queste vano a zero per tempi sucientemente lunghi e ci interessa la soluzione particolare.

La carica e la corrente a regime t ≥ τ sono dati dal E = Z I

E = E0e^{iω t} Z =|Z|e^iφ

|Z| =√

R²+ (1/ω C− ω L)² tan φ = ω L− 1/ω C

R E(t) = Re E0e^{iω t} =E0cos (ω t) I(t) = E0

|Z|Re e^{i(ω t−φ)} = E0

|Z|cos (ω t− φ) Q(t)≡ d I

d t = E0

ω|Z|Re e^{i(ω t−φ−π/2)} = E

ω|Z|sin (ω t− φ)

dove Z è l'impedenza del circuito (vedere gura 8). Angolo φ rappresenta il ritardo della corrente sulla f.e.m. Per φ ≥ 0 la f.e.m. è massima a t = 0, mentre la corrente

ritarda e diventa massima dopo t = φ/ω. Per φ ≤ 0 abbiamo la situazione contraria, la corrente è in anticipo sulla tensione.

Consideriamo tre situazioni particolari

• Circuito puramente resistivo R ̸= 0 con (L = 0, C = ∞) implica E = ZRI = R I

I(t) = E0

R cos (ω t) V_R(t)≡ E(t) = E0 cos (ω t)

φ = 0la corrente in fase con f.e.m. La corrente è massima quando è massima la di. potenziale sulla resistenza.

• Circuito puramente induttivo L ̸= 0 con (R = 0, C = ∞) vale E = ZLI = I ω L e^iπ/2

I(t) = E0

ω Lcos (ω t− π/2) = E0

ω Lsin (ω t) V_L(t)≡ E(t) = E0 cos (ω t)

φ = π/2 la corrente è in ritardo su f.e.m. La corrente è massima quando è zero la di. potenziale sull'induttanza E = L dI/dt = 0 → Imax.

• Circuito puramente capacitivo C ̸= 0 con (R = 0, L = 0) E = ZCI = I e^−iπ/2/ω C

I(t) = ω CE0 cos (ω t + π/2) =−ω CE0 sin (ω t) V_C(t)≡ E(t) = E0 cos ( ω t)

φ =−π/2 la corrente è in anticipo su f.e.m. La corrente è zero quando la di. potenziale è massima sulle piastre del condensatore.

Consideriamo la massima corrente che si può avere. La relazione I(t) = E0

|Z|

è massima quando |Z| ha il valore minimo

2.4 Circuito RLC in regime AC 2 CORRENTE ELETTRICA

|Z|min =

√

R²+ (1/ω C − ω L)² = R→ 1/ω C = ω L che si ottiene quando ω = ω0 ≡ 1/√

L C. Questo è il caso della risonanza quando un oscillatore armonico, soggetto ad una forza esterna, la cui frequenza è uguale

alla frequenza propria ω0 dell'oscillatore raggiunge ampiezze molto grandi no a spezzarsi. Un altro caso interessante è quando

|Z| =√

R²+ (1/ω C− ω L)² = 0 E = 0

I = 0

0 = const.

Questo rappresenta un circuito LC senza resistenza e generatore che si scambia l'energia tra induttanza e la capacità con la frequenza angolare ω0. In caso di una f.e.m. rappresentata da più armoniche E(t) = ∑

nEne^i(ωnt+δn) il risultato di sopra si generalizza così

I(t) =∑

n

En

Z_ncos (ωnt + δn− φn)

dove δn rappresenta la fase delle singole armoniche. Questo tipo di f.e.m. viene prodotta quando il campo magnetico del rotore di un alternatore non è costante e la

f.e.m. non ha semplice forma sinusoidale.

Esercizi

1. Nel circuito in gura abbiamo IC,ef f = 1 A, I_{R,ef f} = 0, 8 A, I_{L,ef f} = 2 A. Si calcoli

• Ief f erogata dal generatore

• la fase φ tra I e E

Figure 9: circuito RLC in parallelo

2. Nel circuito, con un condensatore C = 2 µ F ed un induttanza L = 1 H in parallelo, la frequenza è ν = 50 Hz e Eef f = 200 V. Si calcolino valori ecaci delle correnti nei rami del circuito.

Figure 10: Circuito LC in regime AC

2.4 Circuito RLC in regime AC 2 CORRENTE ELETTRICA

3. Nel circuito in gura la f.e.m varia con la legge E = E1+E0 cos(ω t). Si calcoli il rapporto tra la componente alternata e quella costante della d.d.p. ai capi della resistenza a regime.

Figure 11: circuito RLC con due armoniche

Soluzioni

1. essendo tutti gli elementi in parallelo hanno la d.d.p. uguale, mentre le correnti sono

• sulla resistenza la corrente è in fase φ = 0 con il voltaggio.

I_{R,ef f} = V_{ef f} R

• sulla induttanza la corrente è in ritardo φ = π/2 con il voltaggio.

I_{L,ef f} = V_{ef f} ω L

•

• sul condensatore la corrente è in anticipo φ = −π/2 con il voltaggio.

I_{C,ef f} = ω C V_{ef f}

• la corrente totale si trova dalla regola dei vettori come I_tot =

√

I_{R,ef f}² + (I_{C,ef f} − IL,ef f)² = 1, 28 A lo sfasamento è

tan φ = IL− IC

I_R = 1, 25→ φ = 0, 896× = 51, 36⁰

Altro modo di calcolare è utilizzare l'impedenza equivalente del parallelo

1

Z_tot = 1 Z_R + 1

Z_C + 1 Z_L Z_R = R

Z_C = 1 i ω C Z_L = i ω L 1

Z_tot = 1 R + 1

i ω L + i ω C Ztot =

1 R− i(

ω C − _{ω L}¹ )

1 R² +(

ω C − _{ω L}¹ )2 =|Ztot| e^iφ

|Ztot| = 1

√

1 R² +(

ω C − _{ω L}¹ )2 = √ E

I_R² + (I_C − IL)² I_tot =

√

I_R² + (I_C− IL)² tan φ = R

( 1

ω L− ω C )

= (I_L− IC) I_R 2. Si calcola per prima l'impedenza del parallelo

1

Z_LC = 1 Z_L + 1

Z_C = i ω C + 1 i ω L Z_LC = i ω L

1− ω²C L e poi si ha la corrente sul condensatore

E = ZCIC

I_C = i ω CE = ω C E0e^{i(ω t+π/2)} e sull'induttanza

E = ZLI_L I_L = E

i ω L = E0

ω Le^{i(ω t−π/2)} e la corrente totale

I = E0

Z_tot = E0

ω L

(1− ω²C L)

e^{i(ω t−π/2)}

3 IL CAMPO MAGNETICO

3. Si calcoli la parte in regime AC 1

Z_RC = 1 Z_R + 1

Z_C = i ω C + 1 R

Z_RC = R

1 + i ω²C R Z_tot ≡ ZL+ Z_RC = i ω L + R

1 + i ω²C R = R + i ω L− ω²C R L 1 + i ω²C R V_R = Z_RCI = Z_RC

Z_totE in regime DC si ha

VR,1=E1

il rapporto V_R

VR,1

= E E1

Z_RC Ztot

= R²(1− ω²L C)− i ω L R R²(1− ω²L C)² + ω²L²

E E1

= E0

E1

√ R

R²(1− ω²L C)²+ ω²L²

e^{i(ω t+φ)} dove la fase è data da

tan φ =− ω L R (1− ω²L C)

3 Il campo magnetico

Abbiamo visto che le cariche stazionarie producono campi elettrici ⃗E mentre campi magnetici ⃗B sono prodotti dalle cariche in movimento (correnti elettriche). La

legge fondamentale del magnetismo e la legge di Biot-Savart d ⃗B = k^′I d⃗l× ⃗r

r³ (10)

che da il campo magnetico ⃗B nel punto a distanza ⃗r, mentre dl rappresenta un elemento di linea di un conduttore attraversato dalla corrente I. Come esempio di

applicazione calcoliamo il campo magnetico prodotto da:

1. Un conduttore di lunghezza innita posto sull'asse z, nel punto distante a da essa. Elemento di linea dell'asse z è d⃗l = d z ⃗k.

⃗r = ⃗a + ⃗z d⃗l× ⃗r = dz ⃗k ×(

a ⃗r₀+ z⃗k )

= a dz ⃗φ₀ B = k⃗ ^′I

∫ _∞

−∞

d⃗l× ⃗r

[a²+ z²]^3/2 = 2 k^′I ⃗φ₀

∫ _∞

0

a dz [a²+ z²]^3/2 B =⃗ 2 k^′I

a φ⃗0