Mandala aritmetic

Da un punto di vista descrittivo, il Mandala è un oggetto geometrico che presenta interessanti proprietà matematiche; esso può essere definito come una figura circolare caratterizzata da diversi tipi di simmetrie, reali o apparenti, e da una combinazione di figure tendente ad esprimere un movimento dalla parte periferica verso il centro. Molto spesso il Mandala è dato dalla semplice unione di quadrati e cerchi concentrici.

È l’esempio del Mandala “Kalachakra”, di origine tibetana (Fig. 4) che descrive la pianta del palazzo reale dove risiedono le divinità, ma il suo vero significato è nella rappresentazione dell’unione tra Vacuità e Nirvana. Nella sua forma più classica, il Mandala Kalachakra viene costruito sul terreno con delle sabbie colorate, ed è poi distrutto alla fine, a lavoro completato, come segno di non attaccamento e affermazione della natura impermanente di tutte le cose. Il Mandala non è infatti assimilabile ad un oggetto meramente artistico; il suo scopo è invece quello di essere un tramite per l’esperienza meditativa di chi lo costruisce o l’osserva.

Fig 4: Mandala “Kalachakra” di origine tibetana

L’esperienza meditativa è veicolata dalla forma geometrica; la costruzione delle linee e la realizzazione della simmetria diviene la tecnica attraverso la quale l’autore del Mandala attiva i processi di integrazione dell’Io. Secondo la tradizione Buddhista, così come per la psicologia junghiana, avviene, tra la struttura psichica e la forma geometrica, un rispecchiamento, capace di attivare funzioni cognitive e psichiche. In questo Mandala ciò che emerge è l’unione tra il quadrato ed il cerchio, unione data dalla concentricità e dalla mutua inscrizione di tali elementi. Come in tutti i Mandala, il primo effetto che ha l’osservatore, è quello di una simmetria del cerchio. In realtà man mano che l’attenzione muove verso i livelli più interni si scoprono altri tipi di simmetrie; in questo caso, la simmetria del quadrato. Numerosi altri elementi geometrici vengono inseriti, ad esempio le ruote nella circonferenza esterna, le porte sui lati dei quadrati, ed i cerchi nella parte centrale, che mantengono tutti la simmetria del quadrato. Se si considera poi l’uso dei colori e la presenza di alcune figure simboliche, non geometriche, anche la simmetria del quadrato è rotta, a favore di livelli sempre più ridotti di simmetria. L’effetto finale è quello di un’apparente simmetria del tutto, che contiene in realtà numerosissimi livelli di simmetrie diverse. Si ha così – in un senso opportuno – anche una struttura “pre-frattale” (Mandelbrot,1982) del Mandala. Questo gioco di sovrapposizione di livelli di simmetrie e di simmetrie apparenti è ancora più accentuato nello Yantra

induista denominato “Srichakra” (Fig. 5). Questo tipo di Mandala, esclusivamente geometrico, è costruito dalla sovrapposizione di nove triangoli isosceli, quattro orientati a Nord e cinque orientati a Sud. Anche in questo caso l’impressione di insieme è quella di una simmetria completa, che viene invece perduta focalizzando l’attenzione al suo centro, dove il quinto triangolo, pur mantenendo la simmetria lungo l’asse verticale, rompe la simmetria lungo quello orizzontale e fornisce quindi una direzione al diagramma.

Fig 5: Esempio di Yantra Induista (“Srichakra”)

Da un punto di vista simbolico è ipotizzabile che il diagramma così direzionato abbia lo scopo di indurre l’attenzione dell’osservatore verso uno specifico punto, che rappresenta l’Essenza. È coerente con la struttura logica del pensiero Buddhista che questo punto sia simbolicamente individuato indifferentemente, verso l’alto o verso il basso. È inoltre interessante l’effetto dato dall’intersecarsi dei triangoli; utilizzando la sovrapposizione di un solo elemento si crea infatti una figura complessa, data da numerosi piccoli triangoli e rombi. Il cerchio è presente nella “recinzione” esterna dell’immagine. Un’altra figura largamente usata nella costruzione dei Mandala è il pentagono. Interessante, da un punto di vista matematico, è la sua inscrizione nella stella a cinque punte, come in alcuni Mandala aritmetici (Francaviglia, Lorenzi, Paese, 2007). In Fig. 6 è mostrata la sua realizzazione attraverso processi di inscrizione iterattiva (Fig. 6). Altri Mandala posseggono una simmetria pentagonale, e spesso sono Mandala che hanno proporzioni auree. Un esempio di Mandala con proporzioni auree è il Mandala architettonico di “Borobudur”(Doczi,1981), lo stupa buddista che sorge a Java.

L’immensa e suggestiva costruzione si erge, infatti, su una pianta di forma mandalica con rettangoli aurei.

Gli esempi fin qui illustrati hanno lo scopo di mostrare come il Mandala sia descrivibile attraverso categorie aritmetiche e geometriche. Poiché costruire mandala è altresì definibile come un gioco e come una forma d’Arte, e ancor più, come una forma di tecnologia del Sé, esso diventa uno strumento ottimale per potenziare lo sfondo motivazionale e per rendere il processo di apprendimento più facile e più efficace.

Fig 6: Esempio di Mandala realizzato mediante inscrizione iterativa di una stella a cinque punte in un pentagono

In particolare. nelle scuole elementari, il disegno ed il gioco con il Mandala può essere usato per far familiarizzare i bambini con concetti della Geometria in modo spontaneo e con un insegnamento informale. Disegnando Mandala, attraverso diversi supporti che vanno dalla matita e foglio, alla sabbia colorata, fino al computer, il bambino può essere condotto all’apprendimento delle figure dello spazio euclideo, così come può sperimentare la composizione di più figure, e giocare con concetti quali la Simmetria. È possibile introdurre in modo semplice, attraverso la rappresentazione visiva, anche concetti complessi quali le proprietà delle simmetrie, la rottura di simmetria, le simmetrie apparenti. In particolare l’utilizzo del computer per la realizzazione di Mandala può essere utile sia con i bambini per introdurre l’uso di software di grafica (Adobe Photoshop, Adobe Illustrator), sia con studenti delle scuole superiori e studenti universitari, per l’apprendimento di software più complessi quali, p.e., “Mathematica” o “MATLAB”.