Figura 5.5: Distribuzione dei domini di espansione sulla sezione trasversale per un composito rinforzato con bra con geometria di tipo square-pack. L'esatta geometria circolare della bra deriva dall'impiego della mappatura delle funzioni di blending.
L'ordine del modello strutturale, e quindi anche l'accuratezza dell'analisi, può essere sele-zionato tramite la scelta delle funzioni di espansione Fτ.
Dunque, un'accurata soluzione micromeccanica di materiali eterogenei richiede delle
speci- che caratteristiche dalle teorie unidimensionali. Ad esempio, la teoria utilizzata dovrebbe considerare il campo cinematico di ogni componente del RUC in modo indipendente, al ne di riuscire a catturare le discontinuità alle interfacce, così come la distribuzione dei gradi di libertà sulla sezione trasversale per ottenere un'adeguata applicazione delle condizioni al contorno (5.2). A questo ne, le funzioni di espansione HLE, sono accoppiate con le funzioni di blending in modo da descrivere precisamente la sezione trasversale consenten-do di condurre accurate ed a dabili analisi micromeccaniche. Nel modello presentato, le equazioni di governo si risolvono con modelli basati su HLE-CW.
5.4 Mappatura della sezione trasversale del RUC
Per consentire la rappresentazione di generiche geometrie della microstruttura, la sezione trasversale può essere suddivisa in più domini di espansione. Inoltre, i dierenti costi-tuenti del RUC possono essere modellati attraverso la compatibilità degli spostamenti alle interfacce dei domini, seguendo l'approccio CW, introdotto nei capitoli precedenti. Le condizioni al contorno periodiche nel piano y2-y3 possono essere modellate come:
χ+τ = χ−τ (5.4)
in cui χ sono le incognite primarie del problema e con + e − si intendono i lati opposti della sezione trasversale.
Grazie al fatto che i polinomi di espansione HLE consentono di arrivare ad ordini elevati, risulta conveniente introdurre dei domini della sezione trasversale più estesi possibile. Per fare ciò si introduce una tecnica di mappatura non iso-parametrica per consentire di adat-tare i contorni dei domini HLE alle caratteristiche geometriche dei dierenti costituenti della microstruttura. Questo si ottiene introducendo una parametrizzazione della geome-tria attraverso dei modelli numerici basati sul metodo delle funzioni di blending.
Per parametrizzare la geometria esatta del componente nel piano y2-y3 all'interno del
5.4. Mappatura della sezione trasversale del RUC 43
y
y₂
1
2 3
4
r
s
y₂ y
Q(r,s)
(A₂, B₂) (A, B)
(A, B) (A , B ) a (r) b (r)
a₂(s) b₂(s) a(s)
b(s)
a(r) b(r)
Figura 5.6: Mappatura della sezione trasversale del RUC attraverso le funzioni di blending.
modello blending si utilizzano le funzioni di mappatura Q:
y2 = Qa(r, s) = 12(1 − s)a1(r) +12(1 + r)a2(s) +12(1 + s)a3(r)12(1 − r)a4(s) − Fτ(r, s)rτ y3 = Qb(r, s) = 12(1 − s)b1(r) +12(1 + r)b2(s) + 12(1 + s)b3(r)12(1 − r)b4(s) − Fτ(r, s)sτ
(5.5) in cui τ = 1, ..4 e le aτ e bτ rappresentano le curve parametrizzate dei bordi dell'elemento, come illustrato dalla Figura 5.6. In questo modo la geometria del modello può essere introdotta all'inizio, determinando l'accuratezza dell'analisi micromeccanica attraverso la selezione dell'ordine del polinomio che si intende utilizzare senza la necessità di eseguire ogni volta una nuova mesh del modello. Grazie alle caratteristiche di questa tecnica è possibile costruire geometrie molto complesse.
Figura 5.7: Modello microstruttura hexagonal-pack.
Come già anticipato, le microstrutture prese in considerazione nei successivi esempi saranno quattro:
1. square-pack;
2. hexagonal-pack;
3. rectangular inclusion;
4. cylindrical inclusion.
5.4. Mappatura della sezione trasversale del RUC 44
Le prime due, mostrate in Figura 5.5 e 5.7, sono dei modelli di RUC in cui l'inclusione è costituita da una bra continua di forma cilindrica, il cui asse longitudinale è y1, mentre la terza e la quarta sono dei modelli di RUC in cui l'inclusione si presenta sotto forma di particella rettangolare e particella cilindrica contenuta dello spazio 3D del blocco, come apprezzabile da Figura 5.8 e Figura 5.9. Si noti che anche nel caso di inclusione l'asse di riferimento del modello trave è y1 ma la lunghezza dell'inclusione Li non coincide più con il lato del modello RUC. I domini della sezione trasversale cambiano a seconda che si consideri l'inclusione o la bra. Per la bra la sezione trasversale è modellata solo con il dominio in cui sono presenti contemporaneamente entrambi gli elementi, mostrato in 5.5.
Al contrario per le inclusioni si utilizzano due modelli di sezione trasversale: il primo in cui è presente solo la fase della matrice e il secondo con entrambe le fasi, rappresentati nelle gure 5.8 e Figura 5.9, determinando l'aumento del costo computazionale dato dal modello 3D.
Figura 5.8: Modello trave HLE di un RUC rinforzato da particella rettangolare.
y3
y3
y1
y3
y2
y2
y2
Figura 5.9: Modello trave HLE di un RUC rinforzato da particella cilindrica. Li rappresenta la lunghezza dell'inclusione.
Nelle tabelle 5.1 e 5.2 si riporta il numero dei gradi di libertà per ogni microstruttura in base all'ordine di polinomi HLE selezionato per il caso termo-elastico e per il caso di conducibilità/igroscopico.
Per quanto appena detto, i gradi di libertà legati ai modelli con le inclusioni sono molto superiori rispetto a quelli con la bra e in tutti i casi aumentano all'aumentare del grado del polinomio, consentendo di ottenere delle analisi più accurate. In ne, si noti che per i problemi di conducibilità termica e igroscopici i gradi di libertà risultano inferiori rispetto ai problemi termo-elastici poiché diminuiscono le dimensioni delle matrici fondamentali del problema e di conseguenza i costi computazionali.
5.4. Mappatura della sezione trasversale del RUC 45
MICROSTRUCTURE DOFs HL2 HL3 HL4 HL5 HL6 HL7 HL8
Square-pack 240 384 582 834 1140 1500 1914
Hexagonal-pack 372 600 918 1326 1824 2412 3090
Rectangular inclusion 2280 3648 5529 7923 10830 14250 18183 Cylindrical inclusion 2280 3648 5529 7923 10830 14250 18183 Tabella 5.1: Gradi di libertà delle diverse microstrutture per il problema termo-elastico, conside-rando diversi gradi p delle HLE.
MICROSTRUCTURE DOFs HL2 HL3 HL4 HL5 HL6 HL7 HL8
Square-pack 80 128 194 278 380 500 638
Hexagonal-pack 124 200 306 442 608 804 1030 Rectangular inclusion 760 1216 1843 2641 3610 4750 6061 Cylindrical inclusion 760 1216 1843 2641 3610 4750 6061
Tabella 5.2: Gradi di libertà delle diverse microstrutture per il problema conducibilità termica e proprietà igroscopiche, considerando diversi gradi p delle HLE.
Capitolo 6
Analisi micromeccanica termo-elastica
Molti materiali compositi sono coinvolti in ambienti caratterizzati da temperature estreme.
Per questo motivo è importante condurre accurate analisi sulle proprietà termiche del materiale, come calore speci co e coe ciente di espansione termica. Nel seguente capitolo si presenterà un nuovo approccio per condurre analisi termo-elastiche micromeccaniche di materiali compositi, attraverso il metodo CUF-MSG presentato nel precedente capitolo.
Per prima cosa si introduce il metodo VAM relativo alle proprietà termo-elastiche in modo da ottenere l'energia di deformazione del materiale, successivamente con l'implementazione FEM si arriva alla de nizione dei nuclei fondamentali del problema che rendono possibile la risoluzione. In ne, il metodo è stato convalidato attraverso dei casi pratici.