Proprietà igroscopiche

7.2. Proprietà igroscopiche 69

con:

¯

η,i(x; y) = ∂η(x; y)

∂y_i χ,i(x; y) = ∂χ(x; y)

∂y_i (7.26)

Ricordando che nel modello MSG, la soluzione del problema stazionario si ottiene minimiz-zando la dierenza tra le energie del materiale nella forma eterogenea e quella del rispettivo materiale omogeneo, l'energia del materiale, considerando il termine relativo al materiale omogeneizzato invariate, risulta:

Π1 = 1

2Dijη,iη,j

(7.27) in cui Dij è il tensore del secondo ordine che contiene le componenti della diusività di umidità del materiale eterogeneo, mentre η,rappresenta il gradiente del campo di concen-trazione di umidità.

Sostituendo quanto ottenuto nella (7.25), posso riscrivere l'energia del materiale nella forma:

Π1 = 1

2Dij(¯η,i+ χ,i)(¯η,j+ χ,j)

(7.28) Il seguente metodo, come visto precedentemente, permette di risolvere il problema in modo eciente attraverso l'impiego di un modello di risoluzione ranato che utilizza modelli di calcolo di ordine elevato.

7.2.2 Implementazione FEM

Per risolvere il problema si introduce ancora una volta il metodo FEM.

La direzione della bra viene modellata attraverso elementi unidimensionali e interpolata con funzioni di forma LE nella coordinata della trave y1.

χ_τ(x; y₁) = N_i(y₁)χ_{τ i}(x) τ = 1, 2, ..., n (7.29) In cui χτ i è il vettore delle incognite nodali, mentre n il numero delle nodi del modello trave considerato. A questo punto è possibile introdurre il vettore gradiente del campo di temperatura globale come:

¯

η,^T= ¯η,1 η¯,2 η¯,3

(7.30)

Le relazioni geometriche si possono esprimere come:

η, = ¯η, +Bχ (7.31)

con B operatore dierenziale denito in (7.11) che per comodità in questo capitolo viene chiamato B. In questo modo la (7.28) si può riscrivere come:

Π^∗₁ = 1 2

Z

V

( ¯η, +Bχ)^TD( ¯η, +Bχ)dV (7.32) La matrice della diusività di umidità D nel caso generale di materiale anisotropo può essere denita come:

D =





D11 D12 K13

D₁₂ D₂₂ K₂₃ D₁₃ D₂₃ D₃₃



 (7.33)

Sostituendo quanto mostrato nella (7.32) e ricordando che χ = FτNiχτ i come visto nella (5.3), si ottiene:

Π^∗₁ = 1

2(χ^T_sjM^{τ sij}χ_{τ i}+ 2χ^T_sjD_hη^sjη, + ¯¯ η,^T K_ηηη, )¯ (7.34)

7.2. Proprietà igroscopiche 70

In cui:

M^{τ sij} = Z

Ω

Z

l

(B(FsNj))^TDB(FτNi)dΩdy1 (7.35) D_hη^{τ i} =

Z

Ω

Z

l

(B(F_sN_j))^TDdΩdy₁ D_ηη= Z

Ω

Z

l

DdΩdy₁ (7.36)

In cui M^{τ sij} di dimensioni 1 × 1 è tensore del quarto ordine, D^{τ i}_hη di dimensioni 1 × 3 è tensore del secondo ordine e sono entrambi nuclei fondamentali del problema RUC per le caratteristiche igroscopiche. Essi contengono le informazioni basilari del modello MSG. In aggiunta Dηη matrice di dimensioni 3 × 3. Con gli indici τ ed s si intende il ciclo fatto sulle funzioni di espansioni HLE relative alla sezione trasversale, mentre i e j al ciclo delle funzioni di espansione LE del modello beam lungo l'asse della bra.

Applicando il metodo VAM all'energia (7.34) si ricava la soluzione che minimizza il fun-zionale:

M^{τ sij}χτ i = −D_hη^sjη,¯ (7.37)

la linearità del problema impone che χτ i(x) = χτ i0η, (x)¯ con χτ i0 di dimensioni 1 × 3, contenente le soluzioni di uttuazione:

M^{τ sij}χτ i0= −D^sj_hη (7.38)

Risolvendo il sistema lineare in (7.37) si trovano le proprietà eettive di diusività di umidità del corrispondente materiale composito omogeneizzato, considerando che l'energia nel passaggio tra materiale eterogeneo e omogeneo rimanga invariata. Andando a sosti-tuire il sistema lineare (7.37) all'interno dell'equazione dell'energia in (7.34), attraverso l'equivalenza dell'energia è possibile ottenere l'eettiva matrice di conducibilità termica:

D^∗ = 1

V(χ^T_{τ i}D^sj_hη+ Dηη) (7.39) in cui D^∗ ha dimensioni 3 × 3.

A questo punto il gradiente del campo locale di concentrazione di umidità può essere ricavato semplicemente introducendo l'espressione di χ nella relazione geometrica in (7.31), ottenendo:

η, = ¯η, +B(F_τN_iχ) (7.40)

Inne, è possibile ricavare il usso di diusività attraverso la legge di Fick:

J_i= −D_ijη_,j (7.41)

in cui il segno negativo sta a rappresentare il fatto che il usso va dalle zone ad alta concentrazione verso quelle a bassa concentrazione. Ji rappresenta il vettore di usso di diusività ed ha dimensioni [kg/(mm²s)], Dij matrice della diusività di massa con dimen-sioni [mm²/s] ed η,jè il vettore contenente le componenti del gradiente della concentrazione di umidità con dimensioni [(kg/mm³)/mm].

Si noti che quando il materiale è esposto ad un ambiente umido, il parametro di interesse non è la concentrazione di umidità nella sua forma dimensionale, bensì il contenuto di umidità percentuale. La forma adimensionale del contenuto percentuale di umidità M, come mostrato nell'articolo [18]:

∇M = Wmoistmaterial− Wdrymaterial

Wdrymaterial

× 100 = η_,j

ρ_dry × 100 (7.42)

7.2. Proprietà igroscopiche 71

in cui ∇M è il gradiente percentuale di temperatura e ρdry rappresenta la densità del materiale omogeneizzato, ottenibile applicando la regola della miscela tra matrice e bra con la formula:

ρ_dry= ρ₁V₁+ ρ₂V₂ (7.43)

in cui 1 e 2 si riferiscono ai due costituenti del materiale composito.

Dall'espressione 7.42 è possibile ricavare il gradiente di concentrazione di umidità η,j a cui corrisponde un certo gradiente di umidità percentuale, così da poter trovare il usso di umidità locale Ji attraverso la (7.41). La formulazione mostrata è stata implementata nel codice di calcolo delle caratteristiche micromeccaniche basato sul metodo CUF-MSG.

7.2.3 Risultati numerici

Esistono svariati lavori che si propongono di valutare il comportamento dei materiali sotto-posti a diverse concentrazioni di umidità. Ad esempio, nel lavoro [18] viene svolta un'analisi termo-elastica su piastre multistrato in materiale composito sottoposte a carichi igro-termo-elastici, mentre in [40] è possibile vedere un'analisi per investigare le caratteristiche della diusività di umidità di un materiale composito 2D con bre di carbonio e matrice polimerica orientate con una particolare congurazione e ad elevato Vf.

Con il metodo sviluppato CUF-MSG è possibile condurre un'analisi microstrutturale sui modelli di RUC presentati nei precedenti capitoli, per ricavare le caratteristiche igrosco-piche eettive di un materiale composito. Successivamente, applicando la legge di Fick (7.41) si ricaverà il usso di diusività che si registra localmente tra matrice e bra.

L'esempio considerato di seguito riguarda un materiale composito in bra di carbonio con diusività di umidità pari a D = 0 mm²/s e matrice in resina poliimmidica con D = 2·10⁻⁷ mm²/s, da ora in poi ci si riferisce al materiale come C/polymide. I dati sono consultabili in [40].

In tabella 7.3 si riportano i valori della diusività di umidità eettiva per il composito C/polymide per i casi Hashin upper bound [21] e Springer-Tsai [19] rispetto al metodo CUF-MSG. L'analisi di omogeneizzazione è stata svolta considerando una microstruttura square-pack con un Vf = 0.3 e funzioni di espansione HLE di ottavo ordine. Osservando la tabella 7.3, si nota che nel caso longitudinale si ottengono buoni risultati anche con un basso ordine di HLE, mentre nel caso trasversale si nota una leggera convergenza al-l'aumentare dell'ordine del metodo. I due metodi Hashin upper bound e Springer-Tsai risultano in buon accordo con il metodo CUF-MSG longitudinale, mostrando un perfetto accordo con il metodo Springer-Tsai.

Model D1110⁻⁷ [mm²/s] D22= D3310⁻⁷ [mm²/s]

Hashin upper bound [21] 1.22

-Springer-Tsai [19] 1.40

-CUF-MSG

HL2 1.40 1.08

HL4 1.40 1.07

HL8 1.40 1.07

Tabella 7.3: Risultati omogeneizzazione composito C/polymide con Vf = 0.3 square-pack per diversi ordini di funzioni di espansione HLE confrontati con i metodi presenti in letteratura.

In Figura 7.5 si riporta l'andamento del coeciente di diusività per il C/polymide, al variare della Vf considerata e con ottavo ordine di polinomio HLE. Dal graco è possibile osservare che, come previsto, il valore crolla all'aumentare della Vf, poiché la bra ha una

7.2. Proprietà igroscopiche 72

6.0E−01 8.0E−01 1.0E+00 1.2E+00 1.4E+00 1.6E+00 1.8E+00

10 20 30 40 50 60

Moisture diffusivity D11 10−7 [mm2 /s]

Fibre volume fraction [%]

CUF−MSG Hashin upper bound Springer−Tsai

Figura 7.5: Risultati analisi proprietà igrotermiche per composito C/polymide per dierenti volume fraction Vf e ordine di HLE 8 confrontati con i metodi presenti in letteratura.

diusività nulla. I valori ottenuti sono in perfetto accordo con il metodo analitico Springer [19], mentre la soluzione Hashin [21] risulta sottostimata, pur mantenendo un buon accordo nell'andamento.

Per recuperare il usso di umidità che si registra tra matrice e bra localmente, si introduce una variazione di concentrazione di umidità in direzione y2, pari a 1%, partendo da una concentrazione di umidità globale iniziale di 0%.

La densità della bra di carbonio asciutta è ρc= 1.77 · 10⁻⁶ kg/mm³, mentre quella della matrice ρp = 1.23 · 10⁻⁶ kg/mm³. Con la regola della miscela riportata in (7.43) si ricava una densità complessiva del materiale composito pari a ρp = 1.39 · 10⁻⁶ kg/mm³. Questo dato ci permette di ricavare attraverso la (7.42) il gradiente di concentrazione di umidità che corrisponde ad una variazione di umidità dell'1%. Si ottiene un valore di gradiente di concentrazione η,j = 1.39 · 10⁻⁸ (kg/mm³)/mm, che inserito nel codice di calcolo ci permette di ottenere il usso di umidità locale. I risultati sono mostrati in Figura 7.6. Si noti che il range ottenuto riguarda valori molto bassi, proprio a prova del fatto che una variazione di umidità dell'1% ha conseguenze trascurabili sul materiale.

In Figura 7.7 si riporta la visualizzazione del usso in direzione della bra tramite Abaqus e il graco dell'andamento del usso a y2 = 0in modo tale da apprezzare le variazioni re-pentine che si vericano localmente tra matrice e bra quando viene applicato un carico igroscopico.

Grazie all'analogia matematica che è presente tra il calcolo del usso di calore, il usso di umidità (diusività) e le caratteristiche elettrostatiche e magnetostatiche, il seguente me-todo può essere esteso al calcolo delle caratteristiche dielettriche e magnetiche di materiali compositi eterogenei.

7.2. Proprietà igroscopiche 73

-3.08e-15 1.48e-17 X Y

-4.63e-15

Z -1.53e-15

Figura 7.6: Andamento usso di umidità locale J22 per composito C/polymide con una Vf = 0.3 a seguito di una variazione di concentrazione di umidità in direzione y pari a 1%.

(a)

−5.0E−15

−4.0E−15

−3.0E−15

−2.0E−15

−1.0E−15 0.0E+00 1.0E−15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Local diffusion flux J22 [kg/mm2 s]

y₃

CUF−MSG

(b)

Figura 7.7: (a) Flusso di umidità J22(b) Distribuzione del usso di umidità J22 lungo la direzione y2= 0per il composito C/polymide.

Capitolo 8

Analisi multiscala

Nel seguente capitolo verrà presentato un approccio di modellazione multiscala per il calco-lo delle caratteristiche termo-elastiche di una struttura in materiale composito. Il problema multiscala è costituito da due analisi indipendenti atte a calcolare le caratteristiche del ma-teriale ad entrambi i livelli di analisi. La scala macroscopica e quella microscopica vengono collegate attraverso il trasferimento delle informazioni. La caratteristica principale della seguente tecnica di analisi è l'alto grado di adabilità delle simulazioni del comportamento termo-elastico dei materiali compositi, che porta ad una enorme riduzione dei costi legati ai test di caratterizzazione sica delle strutture.