Abbiamo visto che al di sopra del valore di soglia λJ le perturbazioni di
densit`a possono crescere e iniziare il collasso gravitazionale. In tutti i casi analizzati finora si pu`o ricondurre la lunghezza di Jeans ad una forma
λJ ∼
v √
ρdom
,
nella quale ρdom`e la densit`a della componente dominante in una data epoca
possiamo definire una corrispondente massa critica detta massa di Jeans (MJ) per la componente considerata:
MJ ∼ ρiλ3J
∼ ρiv
3
ρ3/2dom .
Perturbazioni con massa M > MJ potranno collassare per instabilit`a
gravitazionale. Siamo interessati a studiare l’evoluzione di MJ nelle varie
epoche.
2.3.1
Massa di Jeans e meccanismi di dissipazione per
la materia oscura
Ricordiamo intando che l’andamento della densit`a della componente dominante `e
ρdom = ρrad ∼ a−4, prima dell’equivalenza,
ρdom = ρm ∼ a−3, dopo l’equivalenza.
Per la velocit`a, che nel caso della materia oscura (non collisionale) non rappresenta la velocit`a del suono ma `e legata alla dispersione di velocit`a delle particelle, dobbiamo invece considerare tre casi distinti. In primo luogo, particelle relativistiche hanno velocit`a costante v = c/√3 indipendentemente dalla temperatura. La velocit`a delle particelle non relativistiche invece dipende dalla radice quadrata della temperatura7.
Supponendo che la materia oscura sia accoppiata tramite interazione debole alla radiazione (e che ci sia quindi un momento in cui le due componenti si disaccoppiano, che denoteremo con adx) si avr`a:
v ∼ Trad1/2 ∼ a−1/2, per a < adx,
v ∼ Tm1/2 ∼ a−1, per a > adx.
A seconda della massa delle particelle possiamo quindi distinguere tra un tipo di materia oscura detto caldo (o hdm) ed un secondo tipo detto freddo (o cdm). Definiamo hdm la materia oscura che diventa non relativistica dopo il disaccoppiamento dalla radiazione e cdm la materia oscura che, al contrario,
7Dalla condizione di adiabaticit`a d(ρc2a3) = −P da3 si pu`o ottenere l’andamento temporale della temperatura a seconda della componente considerata. Risulta essere T ∼ a−2 per la materia e T ∼ a−1 per la radiazione.
`e gi`a non relativistica al disaccoppiamento dalla radiazione. Indicheremo con anr il momento in cui la materia oscura diventa non relativistica, con adx il
momento in cui essa si disaccoppia dalla radiazione e con aeq l’equivalenza
tra materia e radiazione. Materia oscura calda
Per la materia oscura calda possiamo identificare tre regimi (riportati a scopo illustrativo in Figura 2.1) d’evoluzione della massa di Jeans definita sopra:
MJ(a) ∼ a3, per a < anr cost, per anr < a < aeq a−3/2, per a > aeq .
Il valore massimo di MJ corrisponde al valore raggiunto all’equivalenza e
risulta essere ∼ 1016M .
Figura 2.1: Andamento qualitativo della massa di Jeans per la materia oscura calda. In questo caso MJ,max' 1016M .
Materia oscura fredda
Possiamo identificare regimi analoghi anche per la materia oscura fredda, con la differenza che in questo caso c’`e un periodo tra il momento in cui essa cessa d’essere relativistica e il disaccoppiamento in cui la massa di Jeans cresce pi`u lentamente (Figura 2.2). Avremo quindi
MJ(a) ∼ a3, per a < a nr a3/2, per a nr < a < adx cost, per adx < a < aeq a−3/2, per a > aeq .
In questo caso il valore massimo di MJ, corrispondente sempre a MJ(aeq),
risulta essere ∼ 105M .
Figura 2.2: Andamento qualitativo della massa di Jeans MJper la materia oscura fredda. In questo caso
MJ,max' 105M .
Cancellazione delle perturbazioni di materia oscura: free streaming
Esistono dei fenomeni che possono cancellare le perturbazioni di densit`a. Per la materia oscura il meccanismo responsabile della cancellazione delle perturbazioni `e detto free streaming ed `e dovuto alla viscosit`a termica della materia oscura [60]. In sostanza le onde di densit`a tendono a cancellare le perturbazioni di massa minore di una massa di soglia, che indicheremo con Mf s. Le perturbazioni che possono sopravvivere e quindi continuare
a crescere sono solamente quelle per le quali M `e maggiore Mf s ad ogni
tempo (altrimenti esister`a un tempo a tale per cui M < Mf s(a) ≤ Mf s,max al
quale la perturbazione viene cancellata). Siamo quindi interessati a conoscere quale sia il massimo valore di Mf s. Essendo il free-streaming generato dalla
propagazione stessa delle onde di densit`a si ha che Mf s,max = MJ,max = MJ(aeq).
Per la materia oscura calda MJ(aeq) ' 1016M , mentre per la materia
oscura fredda MJ(aeq) ' 105M . Ogni perturbazione sopra questo valore
pu`o crescere, ogni perturbazione sotto questo valore viene cancellata.
Un modello composto da materia oscura calda prevede quindi una formazione delle strutture top-down: le perturbazioni che non vengono cancellate sono solamente quelle con M > 1016M , mentre le strutture pi`u
di materia oscura fredda che suggeriscono una formazione delle strutture gerarchica (o bottom-up): le perturbazioni crescono a partire da 105M
e le
strutture pi`u grandi si formano successivamente per aggregazione8.
2.3.2
Massa di Jeans e meccanismi di dissipazione per
la materia barionica
Il procedimento per ottenere la massa di Jeans per i barioni `e sostanzialmente identico a quanto descritto in precedenza per la materia oscura, con la differenza che ora la velocit`a caratteristica da considerare `e la velocit`a del suono. Anche in questo caso abbiamo tre regimi distinti. Prima dell’equivalenza la componente dominante `e la radiazione e la velocit`a del suono `e quella del fluido relativistico cs = c/
√
3. Tra l’equivalenza e il disaccoppiamento dalla radiazione (che indicheremo con adec) la
componente dominante `e la materia, ma l’accoppiamento tra materia e radiazione fa s`ı che c2s ∼ Pbar+ Prad ρbar+ ρrad ∼ Prad ρbar ∼ a−1.
Dopo il disaccoppiamento, infine, la velocit`a del suono torna ad essere c2
s ∼ Pbar/ρbar che evolve come a−2, tuttavia l’assenza ora della pressione di
radiazione9 genera una notevole discontinuit`a nella normalizzazione.
Qualitativamente l’andamento temporale della massa di Jeans (riportato in Figura 2.3) `e come segue:
MJ(a) ∼
a3, per a < aeq
cost, per aeq < a < adec
a−3/2, per a > adec
.
Analogamente a quanto visto per la materia oscura calda, che mostra un andamento molto simile, si nota che MJ,max ∼ 1016M .
8Da notare che questo non `e necessariamente in contrasto con il noto fenomeno del down-sizing [12], che registra una sistematica tendenza delle galassie pi`u massive a formare la gran parte della propria massa stellare in tempi pi`u antichi e pi`u brevi delle galassie meno massive. Qui stiamo infatti parlando solamente del comportamento della materia oscura e della conseguente formazione di aloni, all’interno dei quali solo successivamente i barioni collasseranno formando le strutture osservabili.
9Il disaccoppiamento `e definito come il momento in cui, venendo a mancare gli scattering tra materia e radiazione, la prima non `e pi`u influenzata dalla seconda. La pressione di radiazione `e quindi trascurabile, dopo il disaccoppiamento, per definizione.
Dissipazione delle perturbazioni barioniche: la massa di Silk
Per effetto di viscosit`a radiativa prima dell’equivalenza e di termoconduzione dopo, le perturbazioni dei barioni sotto una certa massa MD vengono dissipate. Tale massa `e detta anche massa di Silk, che ne
determin`o il valore nel 1968. Per una trattazione pi`u esauriente del problema si rimanda per esempio al libro di Coles e Lucchin [13]. Ci limiteremo qui ad illustrare i risultati. Prima dell’equivalenza la massa di Silk risulta evolvere come a9/2, mentre tra l’equivalenza ed il disaccoppiamento risulta MD ∼ a15/4. Dopo il disaccoppiamento, con il
contributo della radiazione che diviene trascurabile, la dipendenza segue quella di Jeans e diventa MD ∼ a3/2. Siamo quindi di nuovo interessati,
come nel caso precedente, a MD,max = MD(adec) ∼ 1012M , per
confrontarla con MJ,max ∼ 1016M : le perturbazioni di massa M < MD,max
vengono cancellate mentre le perturbazioni di massa ∈ [MD,max, MJ,max]
oscillano fino al disaccoppiamento per poi ricominciare a crescere.
Figura 2.3: In figura `e riportato in verde l’andamento qualitativo della massa di Jeans (MJ) ed in nero
l’andamento della massa di Silk (MD) per la materia barionica.