Finora abbiamo trattato metodi che permettono di simulare un sistema fisico in cui la gravit`a `e l’unica forza in atto. Questo pu`o essere sufficiente se si intende studiare la dinamica di un sistema non collisionale, come ad esempio l’interazione su grande scala di galassie e ammassi di galassie. Qualunque informazione sullo stato idrodinamico delle particelle della simulazione `e in questo scenario del tutto trascurata.
Per includere l’idrodinamica `e necessario considerare, oltre alla gravit`a, anche la fisica del gas di barioni in modo da poter associare ad ogni particella le proprie funzioni di stato. Posti v la velocit`a di ogni elemento di fluido, P la sua pressione e ρ la sua densit`a, oltre alle equazioni del moto sar`a quindi necessario implementare e integrare ad ogni intervallo di tempo l’equazione di Eulero
∂v
∂t + (v · ∇)v = − ∇P
ρ − ∇φ,
l’equazione di continut`a3, che in condizioni di omogeneit`a e isotropia (∇P =
∇ρ = 0) diventa ∂ρ ∂t + ρ + P c2 ∇v = 0,
ed infine un’equazione di stato che leghi, per esempio, pressione a densit`a ed entropia S
P = P (ρ, S).
Le equazioni sopra descritte vanno risolte, ad ogni intervallo temporale, assieme alle equazioni della gravit`a. Ci sono almeno due approcci all’introduzione della fisica dei gas nelle simulazioni N -body.
Approccio euleriano
In questo approccio si utilizza una griglia di punti per risolvere le equazioni del fluido considerato. Le interazioni idrodinamiche sono a corto raggio e di conseguenza per integrare le equazioni, in ogni cella, sono sufficienti come
3Nel caso di un fluido non relativistico l’unico contributo alla densit`a `e dato dalla densit`a di massa ρ, la densit`a di pressione `e invece trascurabile.
condizioni al contorno le informazioni provenienti soltanto dai punti griglia adiacenti. La risoluzione spaziale di questo tipo di codice pu`o essere raffinata infittendo la griglia od utilizzando una griglia dinamica che si adatti automaticamente campionando meglio le zone a densit`a pi`u elevata. In ambito cosmologico `e importante, tuttavia, migliorare di pari passo con la risoluzione di griglia anche la risoluzione in massa delle particelle di materia oscura [2]. Questo tipo di approccio `e particolarmente efficiente per rappresentare shock e discontinuit`a e pu`o facilmente essere adattato per includere anche altri fenomeni come ad esempio la magnetoidrodinamica (si veda ad esempio Stone & Norman (1992) [67]).
Questo approccio, che prevede l’inserimento di una griglia sulla quale mediare le propriet`a idrodinamiche del fluido considerato, si accoppia bene agli approcci che, analogamente, introducono una griglia per la trattazione del potenziale gravitazione (come il pm).
Approccio lagrangiano
Un approccio completamente differente, detto lagrangiano, `e invece quello della Smoothed particle hydrodinamics (o sph)4. Le propriet`a
termodinamiche del fluido, come pressione e temperatura, possono essere trovate in ogni punto mediando sulle particelle della simulazione opportunamente pesate. Smoothed `e da intendersi in questo senso: da una distribuzione discreta di particelle si passa, interpolando, ad un fluido con propriet`a continue. Chiaramente tale interpolazione rende difficoltosa la trattazione di shocks e/o discontinuit`a. Per questo motivo tale approccio si accoppia bene con approcci che modellino il potenziale gravitazionale direttamente, come il pp. Oltre a questo `e necessaria una certa accortezza nello stabilire la risoluzione spaziale e di massa per un codice sph, in particolar modo se si considerano fluidi autogravitanti, come mostrato da Bate & Burkert (1997) [4]. In ogni caso se la risoluzione `e sufficiente i due approcci descritti danno risultati comparabili5 [33] [22], rendendo preferibile
l’utilizzo di codici sph per via della loro maggior facilit`a d’implementazione.
4.2.1
Altri fenomeni, non prettamente idrodinamici
All’interno di simulazioni idrodinamiche, siano esse euleriane o sph, `e possibile tener conto anche di altri fenomeni di fisica dei gas oltre alla
4Per una trattazione pi`
u dettagliata dei codici sph si veda Gingold & Monaghan (1977) [23] ed in particolare Monaghan (1992) [46].
5Eccezion fatta per la rappresentazione della discontinuit`a, pi`u complicata nell’approccio sph.
trattazione sopra descritta. Tali fenomeni spesso comprendono meccanismi in atto su scali inferiori alla risoluzione della simulazione e comportano quindi, per essere implementati, assunzioni a priori ed una trattazione cosiddetta sotto-griglia. I principali fenomeni da includere nel caso di una simulazione astrofisica e le relative difficolt`a sono i seguenti:
Formazione stellare e feedback. La formazione stellare pu`o essere un punto chiave, fungendo da criterio di selezione, per discriminare i vari tipi di oggetti che popolano la simulazione. Tuttavia tracciare le singole nubi di gas che poi producono fenomeni di formazione stellare richiederebbe una notevole risoluzione in massa6 ed `e quindi necessario modellare i meccanismi di formazione stellare attraverso assunzioni a priori. Un discorso analogo vale anche per meccanismi d’accrescimento dei buchi neri, che coinvolgono regioni non risolte n´e spazialmente n´e in massa.
Anche i meccanismi di feedback, che siano dovuti all’esplosione di supernove o ad attivit`a di agn, hanno origine in regioni non risolte spazialmente e devono essere implementati con modelli analitici o semi-analitici a priori.
Evoluzione chimica. L’evoluzione chimica ha effetti locali e globali molto rilevanti, per esempio perch´e influenza il tasso di raffreddamento radiativo e quindi la formazione stellare. Essendo tuttavia l’arricchimento chimico il risultato di processi complessi che agiscono su scale molto piccole, quindi non risolte, `e necessario assumere un modello di arricchimento a priori.
Trasporto radiativo. Il trasporto radiativo `e un effetto non locale, a differenza per esempio dell’evoluzione chimica, ed `e quindi risolto spazialmente. `E tuttavia complicato introdurre un modello per l’origine e l’evoluzione di campi di radiazione, dato che questi provengono generalmente da sorgenti luminose non risolte. In genere i campi di radiazione inclusi nelle simulazioni sono di due tipi: campi omogenei (per esempio il fondo cosmico a microonde), oppure campi generati da alcuni degli oggetti della simulazione7.
6Le particelle di massa barionica della simulazione Magneticum, ad esempio, hanno una massa dell’ordine delle 1010M , ben superiore della massa tipica delle nubi molecolari dalle quali si formano le stelle.
7
Per esempio un fondo x o uv originato da quasar e galassie star-forming. Questo rende necessario riconoscere e risolvere spazialmente tali sorgenti, oppure modellarne la distribuzione non risolta all’interno delle particelle di massa simulate.