In questo paragrafo saranno forniti alcuni cenni sulla teoria di Floquet volti a fornire solo le nozioni fondamentali per definire e comprendere la matrice monodroma, la quale ha un ruolo fondamentale nel calcolo delle varietà invarianti associate a un’orbita periodica del CRTBP (vedi Par. 3.5). Per una spiegazione più dettagliata si rimanda alla bibliografia[35,41,42,43].
obiettivo
C.I. approssimata al 3°ordine
X0=(x0, 0, z0 , 0, v0, 0) dell’orbita di
ampiezza Az0 sufficientemente
∆Az CORREZIONE DIFFERENZIALE , , , , , ; z0out<
?
X0new= X0out + (0, 0, ∆Az , 0, 0)
NO SI
INTEGRAZIONE NUMERICA DELLE EQUAZIONI DI MOTO DEL CRTBP a partire dalla C.I. X0out per un tempo T=4∆tout
OUTPUT: Orbita periodica Lyapunov verticale approssimata numericamente di ampiezza
La teoria di Floquet è una branca della teoria delle equazioni differenziali ordinarie che studia la ricerca delle soluzioni dei sistemi di n equazioni differenziali lineari del primo ordine, non autonomi (i.e. dipendenti esplicitamente dal tempo), a coefficienti periodici; ovvero del tipo(4):
, , ,
con matrice dei coefficienti, , , quadrata ( ) , continua e periodica di periodo T, cioè caratterizzata dalla condizione:
, ,
In generale, anche prescindendo dalla condizione di periodicità 3.38, una matrice , le cui colonne sono soluzioni , del sistema 3.37 soddisfacenti alle condizioni iniziali imposte , è detta
matrice di soluzioni del sistema e ha la forma(4):
, , , … , ,
Una matrice di soluzioni prende il nome di matrice fondamentale se le sue colonne sono linearmente indipendenti. In particolare, vale il Teorema 3.1(4).
Teorema 3.1 Una matrice di soluzioni di 3.37 è fondamentale se e solo se il suo determinante è diverso da zero per tutti i valori di t.
Per quanto detto, le matrici di soluzioni, e dunque le matrici fondamentali, verificano l’equazione matriciale:
, , ,
Le n soluzioni raggruppate nella matrice fondamentale, essendo linearmente indipendenti, costituiscono una base dello spazio lineare dell’insieme delle soluzioni del sistema 3.37, pertanto se C è una matrice
costante ed invertibile anche , , è soluzione di 3.37 che soddisfa alle condizioni iniziali . Inoltre, vale il Teorema 3.2(4):
(3.37)
(3.38)
(3.39)
Teorema 3.2 Data una matrice fondamentale , per il sistema 3.37 ed una matrice costante ed invertibile, anche
, è matrice fondamentale di 3.37. Viceversa, ogni matrice fondamentale di 3.37 ha questa forma.
Se al tempo iniziale è , , con matrice identità nхn, la matrice fondamentale delle soluzioni è detta matrice principale e una soluzione generica del sistema 3.41 può essere scritta come(4):
, ,
nella quale c è un vettore colonna costante di dimensione n.
Richiamati i risultati generali sui sistemi lineari, nel seguito del paragrafo la discussione sarà specializzata al caso in cui la matrice
, sia continua e periodica di periodo T , ovvero vale la 3.38. Dal Teorema 3.1 applicando la condizione di periodicità 3.38 si ottiene che: se , è matrice fondamentale di 3.37 allora anche
, lo è. Inoltre, usando il Teorema 3.2 si deduce che deve esistere una matrice costante ed invertibile tale che:
, ,
La matrice che soddisfa alla condizione di periodicità 3.38 prende il nome di matrice monodroma e nel presente lavoro è indicata con M. Ponendo 0 nella 3.42 e notando che la matrice , , essendo fondamentale, è invertibile , è possibile scrivere:
0, ,
Scegliendo, infine, come matrice delle soluzioni la matrice principale è 0, e quindi dalla 3.43 risulta:
,
Da quanto è stato spiegato e dai risultati ottenuti (e.g., 3.44) è possibile definire la matrice monodroma come la matrice principale di un sistema di n equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti periodici valutata alla fine del periodo.
(3.41)
(3.42)
(3.43)
È dimostrabile[43] che gli autovalori della matrice monodroma sono una caratteristica invariante del sistema 3.37. Essi prendono il nome di
moltiplicatori caratteristici o di Floquet del sistema.
Di grande importanza per le applicazioni è il Teorema di Floquet, il quale afferma che(4):
Teorema 3.3 (Teorema di Floquet) Sia , una matrice fondamentale di 3.37 sotto la condizione di periodicità 3.38. Esistono allora una matrice periodica non singolare P(t) di periodo T ed una matrice costante B tali che:
, , .
Utilizzando il Teorema 3.3 nel caso della matrice monodroma risulta(4):
, ,
ma, poiché , è periodica di periodo T, , 0, e, poiché deve essere anche 0, , risulta 0, e quindi:
Inoltre, studiando la stabilità di un’orbita periodica si può dimostrare[35,42] che selezionando un punto dell’orbita la matrice monodroma è la matrice che moltiplicata per la perturbazione iniziale imposta dà il valore al primo ordine della perturbazione dopo una rivoluzione, ovvero incorpora l’evoluzione della perturbazione su un periodo[35]:
,
In particolare, se è un punto appartenente all’orbita periodica, la
matrice monodroma rappresenta l’approssimazione al primo ordine per mappare il flusso di un punto , nelle immediate vicinanze di , dopo un periodo T [27,19]:
(3.47)
(3.48) (3.45)
quest’ultima relazione (3.48) si ottiene dalla 3.47 ponendo ,
e .
Quindi, la matrice monodroma è la matrice di transizione di stato (o matrice principale) del sistema , valutata a un tempo uguale a un periodo (t=T)[35]. Pertanto, per il calcolo della matrice monodroma è necessario determinare l’espressione dell’evoluzione nel tempo della matrice di transizione di stato[35]:
, , ,
La 3.49 rappresenta un sistema di n2 equazioni differenziali, lineari, non autonome del primo ordine, che descrive l’evoluzione temporale della matrice principale. Per ottenere una soluzione di tale sistema è necessario conoscere ad ogni istante lo stato , . Quest’ultimo risulta dall’integrazione delle n equazioni del moto 2.9 e, poiché il problema del CRTBP non è integrabile in forma chiusa, tale processo richiede un’integrazione numerica.
Quindi, per calcolare la matrice monodroma è necessario integrare simultaneamente, per un tempo pari al periodo T, il sistema di n2+n equazioni differenziali del primo ordine 3.50[35]:
, ,
con condizioni iniziali:
0,
Nel caso delle orbite periodiche del CRTBP il sistema 3.50 è costituito da 42 (6+36) equazioni per orbite Halo, Lissajous e Lyapunov verticali, mentre è costituito da 20 (4+16) equazioni per orbite Lyapunov planari. E’ possibile calcolare la matrice monodroma per ogni punto sull’orbita periodica risolvendo il sistema 3.50 con le opportune condizioni iniziali
corrispondenti al punto selezionato. Così facendo risulta che ai punti
appartenenti all’orbita sono associate matrici monodrome differenti (3.50)
(3.51) (3.49)
legate, però, da relazioni di similitudine, quindi tutte possiedono gli stessi autovalori (ma diversi autovettori!). Ciò conferma quanto già detto in precedenza per una matrice monodroma.
Inoltre, nel caso di un sistema hamiltoniano, la matrice monodroma M presenta le seguenti proprietà[35]:
• Det(M)=1;
• Se è un autovolare della matrice M allora anche 1/ lo è. In particolare, per un’orbita periodica tridimensionale del CRTBP la matrice M è quadrata 6 6, quindi possiede sei autovalori con
1, … ,6 il cui prodotto deve essere pari a uno, dato che:
det 1
Più precisamente risulta che gli autovalori di M sono(5): due unitari, due complessi coniugati (giacciono sul cerchio unitario nel piano complesso) e due reali reciproci.