dove Qmax `e la massima carica estraibile dalla cella all’istante t, mentre Qn `e la carica
nominale.
La stima di SOH risulta essere molto complessa a causa della dipendenza di tale parametro da molteplici fattori, primo fra tutti l’applicazione per cui la batteria `e usata. L’invecchia- mento della cella dipende, infatti, dal numero di cicli di scarica, dal tempo di inutilizzo in cui la cella `e in regime di autoscarica, dalla temperatura d’esercizio e da quella di riposo. Con l’invecchiamento si registra anche un aumento della resistenza interna della cella; que- sto fenomeno ha dato luogo a delle tecniche basate sulla stima di tale resistenza e ha con- sentito di definire lo stato di salute in una maniera alternativa rispetto all’equazione 2.4, ovvero:
SOH(t) = REOL−R(t)
REOL−RBOL
(2.5) dove REOL `e la resistenza a fine vita della batteria, R(t) `e la resistenza attuale (stimata online)
e RBOL `e la resistenza di una cella all’inizio del prorio ciclo di vita.
2.4
Metodi di stima del SOH
Come gi`a detto, la stima del SOH `e molto complessa, a causa del fatto che ci sono molti para- metri coinvolti. In particolare il SOH dipende dall’applicazione e dalle modalit`a di utilizzo della batteria: numero di cicli di scarica effettuati, tempo in cui la batteria resta inattiva (quindi avviene l’autoscarica), temperatura di riposo e temperatura di funzionamento etc., sono tutti parametri che condizionano il valore di Qmax(t) e/o R(t). Pi `u nello specifico, come
si pu `o facilmente intuire, con l’invecchiamento avviene un aumento della resistenza interna e una diminuzione della capacit`a, che appunto si traducono in una riduzione della carica massima estraibile. I metodi di stima del SOH sono sostanzialmente due.
Un primo metodo `e un metodo ad anello aperto che prevede direttamente la perdita di capacit`a totale e le variazioni di resistenza interna grazie all’impiego di un modello di in- vecchiamento della cella. Tale modello pu `o essere un modello chimico-fisico che stima lo stato delle reazioni interne basandosi su parametri come la resistenza dello strato di separa- zione, concentrazione degli ioni o altre quantit`a chimiche, oppure un modello matematico o circuitale empirico che si basa sulla misura dei parametri esterni della batteria (carica, corrente, tensione etc.).
Un secondo metodo `e un metodo ad anello chiuso basato su un modello della batteria, analogo a quelli utilizzati nella stima del SOC, che utilizza tecniche avanzate di stima come filtri di Kalman o il metodo di stima nel senso dei minimi quadrati (Least Square Method, LSM) per identificare i parametri di tale modello durante la vita della batteria e ottenere cos`ı una stima del SOH. `E importante sottolineare il fatto che una stima del SOH di questo tipo pu `o tenere conto di modifiche del SOH dovute non solo all’invecchiamento ma anche ad altri fattori, come ad esempio elevate temperature di funzionamento, urti meccanici, corto- circuiti etc.
Nel presente lavoro di tesi si considereranno algoritmi basati sulla teoria del filtraggio di Kalman per ottenere una stima dei parametri online del modello.
Capitolo 3
Background per lo sviluppo degli
algoritmi
Questo capitolo ha l’obiettivo di intodurre dal punto di vista teorico il problema generale della stima dello stato di un sistema dinamico. Verr`a presentata poi la teoria del filtro di Kalman e le sue varianti che saranno applicate per stimare lo stato di una cella al litio.
3.1
Introduzione alla stima model-based
”When the five senses fail to provide direct information, human beings rely on post-sensory cognitive function of the brain to interpret sensory inputs to derive new information. Fortunately for dynamic systems, this can be done more mathematically using modeling and
state-estimation.” [32]
In generale, un problema di stima ha l’obiettivo di determinare il valore di una grandezza incognita, sulla base di informazioni relative ad altre grandezze ad essa legate. Per gli scopi del presente elaborato si ha la necessit`a di conoscere lo stato di un sistema dinamico a par- tire da un insieme di misure rumorose.
Un sistema dinamico, senza scendere in definizioni matematiche troppo rigorose, pu `o ve- dersi come un oggetto in cui variabili di diversa natura interagiscono e producono segnali osservabili. I segnali di interesse pratico sono usualmente definiti uscite, mentre i segnali che stimolano il sistema dall’esterno sono definiti ingressi. A questi stimoli, tipicamente va- riabili nel tempo e desiderabili, si affiancano degli ingressi non voluti e su cui l’utente non ha alcuna possibilit`a di manipolazione detti disturbi.
Una tipica schematizzazione di tali concetti `e riassunta nella figura3.1. I disturbi che ven- gono inevitabilmente iniettati all’interno del sistema rappresentano un’ulteriore difficolt`a per realizzare stime accurate dello stato.
In un sistema dinamico le uscite sono funzioni di tutti gli ingressi attuali e passati. L’effet- to di tutti gli input pregressi sul sistema possono essere tenuti in conto attraverso lo stato del sistema stesso. I valori assunti dalle variabili di stato in un generico istante di tempo contengono quindi, nel loro complesso, tutta l’informazione sulla storia passata del sistema necessaria per valutare l’andamento futuro sia delle stesse variabili di stato che di quelle di uscita, una volta noto l’andamento degli ingressi per tempi successivi all’istante consi- derato. L’uscita attuale del sistema pu `o essere calcolata quindi semplicemente attraverso lo stato e gli ingressi presenti del sistema, senza la necessit`a di dover memorizzare dati. Nel caso di celle al litio lo stato del sistema oltre al SOC potrebbe includere ad esempio, il valore
Figura 3.1:Schema di un sistema con ingressi (u), uscite (y) e disturbi (v) dell’isteresi, le tensioni ai capi dei gruppi RC e cosi via.
Figura 3.2: Problema della stima model-based. [5]
Come gi`a accennato nel precedente capitolo per lo sviluppo dell’elaborato si utilizzeran- no tecniche di stima basate sull’adozione di un modello che rappresenti il pi `u fedelmente possibile la realt`a da osservare. Dalla figura3.2si evince che, per poter procedere alla stima con tecniche model-based `e necessario avere conoscenza di :
• Un modello dinamico del sistema;
• Conoscenze sulle caratteristiche del rumore di modello (process noise) e del rumore di misura (sensor noise) e sulla loro correlazione;
• Alcune informazioni iniziali.
Affinch´e i calcoli possano essere eseguiti in maniera efficace su un qualunque sistema di calcolo elettronico, occorre prendere in considerazione un modello dinamico nel dominio tempo-discreto.
Un sistema dinamico tempo-discreto `e un oggetto che evolve dall’istante k all’istante k+1; ad ogni misurazione quindi, il modello aggiorna il suo stato ed i valori di uscita in base ai propri ingressi. Sistemi di questo tipo vengono descritti solitamente attraverso due equazio- ni: una per l’aggiornamento dello stato ed una per il calcolo dell’uscita. Dal punto di vista generale le due equazioni possono essere sintetizzate nel modo seguente:
Equazione di stato.
xk+1= f (xk, uk, wk) (3.1)
Equazione d’uscita.
yk = g(xk, uk, vk) (3.2)
dove xk rappresenta il vettore di stato, uk il vettore degli ingressi del sistema, wk codifica
il rumore di processo , yk `e il vettore delle uscite e vk rappresenta il rumore di misura;
f() e g() indicano generiche funzioni (anche non lineari) per l’aggiornamento dello stato e per la misura dell’uscita.
3.1.1
L’errore di modello
Come gi`a asserito pi `u volte, per gli algortimi di stima ”model-based” `e richiesta l’adozione di un modello fisico/matematico dell’oggetto reale; quest’ultimo ha come scopo principale quello di descrivere l’entit`a che si vuole controllare e/o osservare.
Per quanto ci si sforzi bisogna per `o sempre ”accontentarsi” di descrivere un’entit`a fisica formulando ipotesi semplificative poich´e la realt`a risulta comunque troppo complessa per essere ritratta fedelmente in ogni suo aspetto. Un modello fisico/matematico quindi, per quanto scrupoloso possa essere, `e sempre impreciso e differisce dal mondo reale di una quantit`a che si pu `o definire errore di modello.
L’errore di modello non `e una quantit`a deterministica in quanto non `e possibile stabilirne il valore a priori; presentando caratteristiche di aleatoriet`a, spesso ci si riferisce ad esso anche col termine rumore di processo.
In pratica nel rumore di processo sono presenti tutti gli effetti degli errori di modellazione ( imprecisioni nella redazione delle equazioni ) e dell’incertezza parametrica ( non conoscen- za esatta delle grandezze fisiche).
Il concetto basico `e quindi che il rumore di modello non ha necessariamente un legame sem- plice e diretto con le incertezze fisiche ma `e uno strumento efficace per considerare l’effetto globale di queste incertezze sulle variabili di stato e, di conseguenza, anche sull’uscita del sistema.
3.1.2
Il rumore di misura
Il rumore di misura `e qualcosa di pi `u fisiologico da descrivere ed intuire. Infatti, chiunque abbia osservato un segnale proveniente da un dispositivo elettronico con un semplice oscil- loscopio avr`a certamente notato la tipologia dei disturbi. Chiaro quindi che anche il rumore di misura debba essere modellato come una variabile casuale che si sovrappone al segnale utile che costituirebbe la misura ideale.