Il metodo dei campi virtuali

Questo metodo si basa su un’opportuna scelta dei campi virtuali all’interno del principio dei lavori virtuali. Esso richiede comunque di conoscere le misure cinemati-

2.4 Il problema dell’identificazione

che full-field e nei casi di elasticit`a lineare conduce a formule esplicite.

Il metodo dei campi virtuali, noto con l’acronimo VFM, `e applicabile in qualsiasi condizione di carico, nonch`e nelle situazioni in cui il campo di deformazione `e speri- mentalmente noto su tutto il dominio di osservazione Ω: ε = ˆε, in cui ˆε `e noto per differenziazione dei campi di spostamento ottenuti dalle misure a tutto campo. I pa- rametri costitutivi ϑ sono identificati utilizzando un modello costiutivo A(ϑ) assunto a priori, che utilizza i dati sovradeterminati nella forma di una distribuzione nota di deformazioni ˆε. Ipotizzando l’assenza di forze di massa e che le condizioni al contorno

siano del tipo (2.11), (2.12), il principio dei lavori virtuali assume la forma seguente: − Z Ω σ : ε[u ˜ ∗ ] dV + Z Sf T · u ˜ ∗ dS = Z Ω %¨u ˜· u˜ ∗ dV (2.40)

per qualsiasi campo continuo di spostamenti u ˜

∗_{. Il metodo consiste nello sfruttare le}

potenzialit`a dell’espressione (2.40), per mezzo della quale ogni opportuna scelta dei campi virtuali consente di risolvere uno specifico problema di identificazione. Doven- do identificare dei moduli elastici, viene inizialmente scelto un modello costitutivo, permettendo di esprimere il campo tensionale σ in funzione dei parametri costitutivi

ϑ, e quindi di esprimere in maniera completa il primo integrale della (2.40). A tal

uopo occorre ricordare che, come gi`a discusso nel capitolo precedente, i metodi di misura a tutto campo forniscono delle componenti di deformazione misurate su un piano, ed in particolare sulla sola superficie esterna dei solidi. La scelta dei provini utilizzabili `e quindi limitata a quelli in cui le deformazioni all’interno del solido siano facilmente collegabili alle deformazioni in superficie. Casi particolari di questo genere si hanno soltanto in situazioni di stato piano di tensione, di stato piano di deforma- zione o di flessione di piastre sottili. Di conseguenza il primo integrale della (2.40) `

e calcolabile come funzione di ϑ per qualsiasi scelta del campo virtuale. In lettera- tura sono disponibili applicazioni all’elasticit`a anisotropa lineare e non lineare, alla viscoelasticit`a ed all’elasto-plasticit`a in condizioni statiche di carico, per cui il terzo integrale all’interno della (2.40) scompare.

Dopo avere scelto i campi virtuali, ognuno di esso conduce, attraverso la (2.40), ad un’equazione scalare. I parametri costitutivi sono ricercati come soluzione di un insieme di equazioni scalari. Naturalmente il numero delle equazioni scalari ricavate deve essere almeno pari al numero M dei parametri costitutivi ϑi da identificare. Un aspetto cruciale dell’efficacia del metodo `e rappresentato dalla costruzione dei campi virtuali. A tal proposito, fino ad oggi, sono stati proposti tre approcci.

Il pi`u semplice consiste nel costruire dei campi virtuali arbitrari analiticamente, utilizzando delle funzioni polinomiali. Essi devono essere definiti sull’intero dominio

di osservazione e devono rispettare le condizioni sul bordo vincolato Su. Se la para- metrizzazione `e lineare si perviene ad un sistema lineare invertibile di M equazioni in M incognite della forma:

M X j=1 Cijϑj = Z S_f T · u∗i dS in cui Cij = Z Ω Aj : ε[u∗i] dV (1 ≤ i ≤ M ) (2.41)

Un miglioramento a questa procedura `e stato apportato grazie ad una procedura che permette di costruire dei campi virtuali automaticamente. Una procedura di questo tipo consente di pervenire a sistemi di equazioni (2.41), quando sono possibili parametrizzazioni lineari del tipo (2.27a). I campi virtuali u∗i, detti campi speciali, sono determinati in modo tale che la matrice Cijsia una matrice identit`a di dimensioni

M × M . L’equazione (2.41) permette di ricavare direttamente i parametri costitutivi ϑi come lavoro virtuale del carico esterno su u∗i. Per una data configurazione e per un certo modello costitutivo, esistono infiniti campi speciali. Pertanto fra tutti `e possibile scegliere un campo speciale che sia meno sensibile al rumore nel particolare problema di identificazione affrontato.

Solitamente i campi virtuali sono definiti utilizzando la stessa espressione sull’inte- ro dominio di osservazione. Questo richiede l’utilizzo di polinomi di grado elevato, che hanno lo svantaggio di amplificare l’effetto del rumore all’interno della procedura di identificazione. Tuttavia gli effetti di questo fenomeno possono essere contenuti utiliz- zando campi virtuali continui a tratti. In questo modo `e possibile scegliere polinomi di approssimazione di grado inferiore, riducendo l’effetto del rumore, e nel contempo si pu`o contare su una maggiore flessibilit`a, perch`e il problema dell’identificazione pu`o essere risolto per vari sottodomini del dominio di osservazione.

Esistono tre aspetti riguardanti la costruzione dei campi virtuali, che meritano di essere evidenziati. Il primo riguarda la distribuzione dei carichi, che entra in gioco nell’identit`a dei lavori virtuali. Essa `e in pratica difficile da misurare e solitamente se ne conosce soltanto la risultante applicata. In questo caso i campi virtuali sono scelti in modo tale che l’identit`a dei lavori virtuali utilizzi soltanto la risultante dei carichi e non la loro distribuzione, mentre ai punti del contorno caricato, sui quali non `e appli- cata la risultante, si impone uno spostamento costante. Il secondo aspetto riguarda il problema dell’identificazione su sottodomini locali molto ristretti. In questo caso si utilizzano campi virtuali che si annullano sul bordo caricato Sf, annullando il lavoro virtuale compiuto dai carichi esterni T , e riducendo, in condizioni statiche, l’identit`a dei lavori virtuali al primo integrale della (2.40). In questo caso `e necessario conoscere a priori almeno un parametro costitutivo, per evitare che il sistema finale di equazioni diventi omogeneo, e che il risultato del calcolo si riduca ad una mera estrapolazione

2.4 Il problema dell’identificazione

dei rapporti di rigidezza. Infine l’esigenza di calcolare gli integrali tripli richiederebbe la conoscenza dei campi di spostamento e di deformazione all’interno del solido e non soltanto in superficie. Questo problema si pu`o superare con delle ipotesi sulla distri- buzione degli spostamenti, che permettano di connettere gli spostamnti misurati in superficie agli spostamenti interni al solido osservato. Recenti applicazioni del meto- do VFM, disponibili in letteratura, hanno riguardato l’identificazione dei parametri materiali associati a modelli costitutivi non lineari.