Il problema del calcolo delle derivate

Abbiamo gi`a osservato che, come tutte le misure sperimentali, anche gli sposta- menti calcolati per correlazione delle immagini numeriche sono inevitabilmente affetti da rumore. L’obiettivo di questa tecnica non si limita alla valutazione dei campi di spostamenti, ma consiste anche nella stima dei campi di velocit`a, di deformazione e di velocit`a di deformazione. Tali grandezze cinematiche si ottengono per derivazione spaziale o temporale dei dati di spostamento. Gli operatori di derivazione comporta- no lo svantaggio di amplificare il rapporto rumore/segnale, riducendo drasticamente la possibilit`a di interpretare il segnale utile rispetto al disturbo generato dal rumore. Quindi i segnali, che rappresentano i dati di spostamento, devono essere opportuna- mente trattati prima di procedere al calcolo delle derivate. Tale trattamento `e noto in letteratura come filtering. Di seguito sono rapidamente esposte le tecniche pi`u comuni.

Interpolazione del segnale Con questa tecnica il campo di spostamenti `e in- terpolato con una funzione polinomiale. L’operatore di derivazione `e poi applicato direttamente alla funzione polinomiale. Questa tecnica `e molto rapida ed `e anche molto utilizzata, tuttavia non risulta idonea a ridurre il rumore afferente gli sposta- menti, pertanto `e una tecnica inadatta ad individuare l’attivazione dei fenomeni di localizzazione nei materiali.

La proiezione del segnale su una base di funzioni Con questa tecnica i segnali di spostamento sono proiettati su una base di funzioni e gli operatori di derivazione sono applicati direttamente alle funzioni della base. Le operazioni di proiezione ri- chiedono tempi di calcolo maggiori rispetto a quelle di derivazione. Esistono diversi metodi di proiezione del segnale, che differiscono tra loro per la scelta della base di proiezione utilizzata. Le basi comunemente incontrate sono: base di funzioni trigono- metriche, base di onde (Wavelet ) o base spettrale associata all’operatore differenziale. Queste tecniche presentano lo svantaggio di essere molto lente e delicate da implemen- tare, ma permettono di troncare la decomposizione del segnale ad un ordine dato o di attenuare alcune componenti del segnale. Risultano quindi adatte nello studio dei fe- nomeni di localizzazione. Tuttavia gli algoritmi di proiezione del segnale, utilizzando la trasformata veloce di Fourier (F.F.T.), rendono il segnale periodico e richiedono un campionamento regolare dei dati. Quando si manifestano fenomeni locali, l’aspetto dei materiali in superficie subisce una drastica trasformazione che diventa responsa- bile di un calcolo di correlazione difettivo e inaccurato. Nelle condizioni sperimentali

1.8 Il problema del calcolo delle derivate

in cui sono effettuate le prove, i punti interessati da una correlazione difettiva sono meno dello 0.5%. Si `e scelto di ignorare questi punti e quindi di non utilizzare la trasformata veloce di Fourier.

Il metodo utilizzato per questo lavoro di tesi `e un metodo di approssimazione, messo a punto ed implementato presso il Laboratoire de M´ecanique et G´enie Civil di Montpellier. Questo metodo si basa su una tecnica di approssimazione locale ai

minimi quadrati del campo di spostamenti. Il segnale `e approssimato mediante una funzione in prossimit`a di un punto all’interno di una regione che prende il nome di

“zona di approssimazione” (ZA). La forma della funzione di approssimazione `e scelta in funzione del fenomeno fisico osservato e, dunque, dell’operatore differenziale asso- ciato. Nel calcolo delle derivate spaziali sono scelte funzioni di approssimazione lineari che corrispondono a deformazioni costanti sulla zona di approssimazione, mentre per il calcolo delle derivate temporali sono scelte delle funzioni di approssimazione qua- dratiche che corrispondono ad un’accelerazione localmente costante. L’operatore di derivazione `e applicato alla funzione di approssimazione e il risultato di questa opera- zione `e assegnato al punto ubicato al centro della zona di approssimazione. Il rumore viene cos`ı, in parte, filtrato, scegliendo una funzione di approssimazione adatta al fenomeno fisico osservato. Effettuando questo calcolo per ogni punto della griglia si ottiene il campo delle grandezze derivate. Questo procedimento permette il filtraggio dei dati sperimentali di spostamento senza richiedere maglie regolari di spostamento [Wattrisse et al., 2001a].

f

x

Z

f

f

x

Z

f

Figura 1.6: Influenza della ZA sul filtering.

locale. Le dimensioni della zona di approssimazione corrispondono al grado locale di approssimazione e da esse possono dipendere eventuali errori nella stima delle deformazioni. La scelta del valore da assegnare a ZA rappresenta un compromesso tra regolarit`a ed accuratezza dei dati filtrati. In particolare scegliendo grandi valori di ZA si riduce la deviazione standard delle misure di deformazione; con una scelta di questo tipo si aumenta l’accuratezza dei calcoli di deformazione, quando tali misure sono omogenee. Inoltre, in presenza di deformazioni localizzate, valori elevati di ZA rendono il campo di deformazione uniforme. In figura 1.6 si illustra un esempio di segnale unidimensionale fd, filtrato con una funzione di approssimazione fa, in cui x `e la variabile rispetto alla quale si esegue l’operazione di derivazione. All’interno della

ZA, a sinistra del punto xn, la funzione di approssimazione fa risulta adeguata alle variazioni del segnale fd. Nel caso di segnali eterogenei, illustrati nella ZA a destra del punto xn, la funzione di approssimazione fa sottostima le variazioni del segnale

fd. In prossimit`a dei bordi delle immagini l’approssimazione avviene su un numero

sp

o

st

am

en

ti

f

il

tr

at

i

spazio o

tempo

Z

Z

punti interni punti per

prolungamento

fa₁

2

a f

Figura 1.7: Prolungamento degli spostamenti oltre il bordo delle immagini.

ridotto di punti, con conseguente perdita di precisione nelle misure filtrate. Per evitare questo inconveniente si prolunga il segnale filtrato, conservandone la continuit`a fino all’ordine desiderato. Il prolungamento del segnale oltre il bordo delle immagini ne