Metodo Monte Carlo

La determinazione dell’affidabilità dei sistemi elettrici di potenza tramite metodi probabilistici è stata ampliamente discussa in passato, e un’ampia gamma di indici appropriati sono stati definiti. L’approccio utilizzato e i risultati ottenuti dipendono dal problema in analisi e dalle ipotesi postulate, la validità dell’analisi è legata direttamente alla bontà del modello utilizzato e alla rappresentazione del sistema. L’apparente capacità di includere un elevato dettaglio di descrizione degli elementi e nei calcoli non deve mai trascurare le incertezze derivanti dall’imprecisione sui dati previsionali, come i valori di carico, i tassi di guasto, e i tempi di riparazione. L’affidabilità in termini assolutistici, anche se è un obiettivo ideale, è in sostanza impossibile da stimare a livello pratico. Il punto più importante su cui porre l’accento è che è assolutamente indispensabile avere una conoscenza profonda del sistema in analisi, poiché nessuna teoria probabilistica è in grado di aggirare tale importante caratteristica ingegneristica. La teoria della probabilità è semplicemente uno strumento che permette all’analista di trasfor- mare la conoscenza del sistema in una previsione del suo probabile comportamento futuro; solo dopo questa profonda comprensione può essere implementato un modello coerente con la tecnica più appropriata. I passaggi fondamentali da analizzare sono:

i. comprendere il modo in cui i componenti ed il sistema funzionano;

ii. identificare il modo con la quale falliscono;

iii. dedurre le conseguenze dei fallimenti;

iv. derivare un modello che rappresenti queste caratteristiche;

v. selezionare la giusta tecnica di analisi.

Ci sono due principali tecniche di analisi: una analitica e una che utilizza metodi di simulazione. Le tecniche analitiche rappresentano il sistema tramite dei modelli matematici, mediante i quali vengono determinati gli indici di affidabilità del sistema. I metodi di simulazione Monte Carlo, invece, stimano gli indici simulando il processo di sistema vero e proprio, unito al comporta- mento aleatorio degli elementi che lo compongono. Il metodo, dunque, tratta il problema come una serie di esperimenti. Esistono pregi e difetti di entrambi i metodi sopradescritti, e in generale se sono trascurate le condizioni operative più complesse e i tassi di guasto dei componenti sono piccoli (cioè il sistema ha una alta affidabilità), il metodo analitico è più efficiente. Viceversa, quando devono essere modellate condizioni operative complesse e il numero di eventi è relativamente grande, il metodo Monte Carlo è preferibile. I principali vantaggi di tale metodo sono:

i. la possibilità di modellare in maniera esaustiva comportamenti del sistema che, per via

analitica, dovrebbero essere semplificati;

ii. il numero di simulazioni richieste per determinare un appropriato livello di accuratezza

degli indici in uscita è indipendente dalle dimensioni del sistema, e quindi tale metodo si adatta bene alla presenza di sistemi ad elevate dimensioni;

iii. per ogni componente di sistema esiste la possibilità di simulare, con le proprie distri- buzioni di probabilità, gli stati di funzionamento e di non funzionamento. In generale non è possibile simulare tale caratteristica con i metodi analitici;

iv. esiste la possibilità di calcolare indici non solo mono-parametrici, ma anche multi-

parametrici;

v. possono essere simulati altri elementi di sistema, come le stime operative dei serbatoi

idrici (che determinano la disponibilità d’acqua per le centrali idroelettriche), le condi- zioni metereologiche nei vari punti del sistema (che possono influenzare i coefficienti di affidabilità degli elementi di sistema).

Le parti principali che compongono una simulazione tramite metodo Monte Carlo possono essere riassunte sotto i seguenti punti:

i. il generatore di numeri casuali: necessario a creare numeri pseudo-casuali con distru-

zioni uniformi, gaussiane o Weibull. L’importanza di tale elemento riveste un ruolo fondamentale, poiché grazie ad esso sono determinate le transizioni fra i vari stati di funzionamento dei singoli elementi che compongono il sistema. Ovvio dedurre che l’intera simulazione può essere affetta da errore se tal elemento non è ben calibrato (di- stribuzioni non uniformi, periodi di sequenza troppo brevi rispetto al numero di campioni necessario);

ii. la modellazione degli elementi: ogni componente deve essere rappresentato con il mo-

dello matematico più appropriato per le analisi da effettuare. Questo implica l’utilizzo di rappresentazioni che non siano troppo raffinate (e computazionalmente pesanti e inutili allo scopo), e troppo semplicistiche (che porterebbero a risultati inesatti);

iii. il funzionamento degli elementi: deve essere rappresentato secondo stati di funziona-

mento ben precisi (funzionante, non funzionante, funzionante in parte, …), dove le transizioni da uno stato all’altro sono determinate da specifici coefficienti (tassi di gua- sto e di riparazione), che devono rappresentare il più fedelmente possibile l’elemento al quale fanno riferimento (tali coefficienti sono determinati mediante analisi statisti- che). Per esempio se un elemento è completamente descritto da due stati (“Disponibile” e “Non disponibile”), la Figura 3-1 mostra un esempio di tempo medio di rottura e di riparazione. Mean Time to Failure (MTTF), Mean Time To Repair (MTTR) e Mean Time Between Failures (MTBF) sono legati dalla seguente relazione:

MTBF=MTTF+MTTR 3-1

Figura 3-1 Sequenza di eventi di rottura e riparazione

Il reciproco del MTTR è conosciuto come il “Tasso di riparazione” µ, mentre il reci- proco del MTTF è il “Tasso di guasto” λ. Ovvero:

t MTBF MTTF MTTR Rot tura Rip araz ione Disponibile (1) Indisponibile (0)

1 MTTF λ= 3-2 1 MTTR µ= 3-3

Per ogni intervallo di tempo della simulazione e per ogni componente è estratto un numero casuale r con distribuzione uniforme tra 0 ed 1. Lo stato del componente per l’instante successivo sarà:

(

)

(

)

S(t) è lo stato del componente al tempo t; S = 1 disponibile, S = 0 indisponibi-

le;

S(t+∆t) è lo stato del componente all’istante successivo; r è il numero casuale estratto;

λ è il tasso di guasto; µ è il tasso di riparazione.

Questa procedura stabilisce la disponibilità di ogni componente per ogni intervallo di tempo;

iv. analisi del sistema: il funzionamento del sistema deve poter essere implementato, alla

luce dello scopo dell’analisi, nel miglior modo possibile;

v. indici di output: sono i parametri di uscita, che descrivono il comportamento medio

delle simulazioni effettuate;

vi. criteri di stop: le simulazioni Monte Carlo sono processi che hanno una convergenza

fluttuante. Con il procedere della simulazione gli indici convergono verso quelli reali, e la simulazione deve essere interrotta quando tali indici soddisfano determinate rego- le; queste regole di arresto devono essere rappresentate con un giusto compromesso fra l’accuratezza dei dati in uscita, e il costo computazione della simulazione. Normal- mente sono utilizzati due tipi di criteri: il primo fa terminare la simulazione quando la varianza sugli indici di uscita è inferiore di una certa tolleranza definita a priori; il se- condo ferma la simulazione dopo un certo numero d’iterazioni e verifica, come la prima regola, se la tolleranza è accettabile. Se così non fosse la simulazione ripartireb- be dal punto in cui è stata interrotta.

Una volta studiati e chiariti i punti menzionati è possibile compiere una simulazione che dia in uscita dei risultati attendibili; quindi, è possibile affermare che la buona riuscita di una simula- zione Monte Carlo dipende in maniera non trascurabile dall’abilità dell’operatore nel maneggiare propriamente i punti sopradescritti.