Modellazione del terreno come un mezzo pla-

Quando il carico applicato alla superficie del terreno supera un certo valore, il livello di sollecitazione entro un certo limite del terreno raggiunge quella indicata da A sulla relazione idealizzata sollecitazione-deformazione mostra- ta in figura 2.63. Un infinitamente piccolo aumento delle sollecitazioni oltre il punto A produce un rapido aumento della deformazione, che costituisce flusso plastico. Lo stato che precede il flusso plastico `e di solito indicato come equilibrio plastico. La transizione dallo stato di equilibrio plastico a quello di flusso plastico rappresenta il cedimento del terreno (Wong, 2008). Un certo numero di criteri sono stati proposti o sviluppati per definire il

Figura 2.72: Distribuzioni di pressione sulla superficie di contatto dei pneumatici per le diverse condizioni del terreno

Figura 2.73: Distribuzioni delle maggiori tensioni principali sotto un pneumatico per diverse condizioni del suolo

cedimento di suoli o altri tipi di terreno. Tra questi, il criterio di rottura di Mohr-Coulomb `e uno dei pi`u utilizzati. Si postula che il materiale ad un certo punto viene meno se la tensione tangenziale in quel punto soddisfa la seguente condizione:

τ = c + σtanφ (2.16)

dove τ `e lo sforzo di taglio, c `e la coesione, σ `e la tensione normale sulla superficie di taglio, e φ `e l’angolo di resistenza al taglio interno del materiale. La coesione `e il legame che cementa particelle del materiale insieme, indi- pendentemente dalla pressione normale tra le particelle. D’altra parte, le particelle di materiale frizionale possono essere tenute insieme solo quando una pressione normale `e presente tra di loro. Cos`ı, la resistenza al taglio dell’argilla satura e simili, non dipende dalla pressione normale, mentre la resistenza a taglio di sabbia asciutta o materiali similari aumenta con un aumento della pressione normale. Per l’argilla satura, la sua resistenza al taglio `e data da

τ = c (2.17)

e per la sabbia asciutta, la sua resistenza al taglio `e espressa da

τ = σtanφ (2.18)

I terreni che coprono la maggior parte della superficie terrestre carrabile, generalmente hanno sia propriet`a di coesione sia di attrito e di resistenza al taglio come descritto dalla eq 2.16. Il criterio di rottura di Mohr-Coulomb implica semplicemente che se un cerchio di Mohr che rappresenta lo stato di sollecitazione in un punto del terreno tocca la linea avvolgente, la rot- tura avr`a luogo in quel punto. I parametri di resistenza al taglio C e φ in eq (2.16) possono essere misurati da una variet`a di dispositivi. L’apparato triassiale e la scatola di taglio traslazionale sono comunemente utilizzati ne- gli studi di Soil Mechanics relativi all’ingegneria civile. Per il campo della terramechanics, tuttavia, piastre di contenimento rettangolari o anulari sono generalmente impiegate. La misurazione e la caratterizzazione del compor- tamento di tranciatura di vari tipi di terreno sono discussi nel Capitolo 5. La spinta (sforzo di trazione) di un veicolo di rotolamento, ad esempio una gomma o un cingolo, si sviluppa attraverso la sua azione di taglio sulla su- perficie del terreno, come mostrato nella figura 2.75. L’equazione (2.16) pu`o essere applicato per stimare la spinta massima che pu`o essere sviluppata da un veicolo in marcia (Micklethwaite, 1944). Ad esempio, se l’area di contatto di un pneumatico o di un cingolo sono noti e la pressione sulla superficie di

Figura 2.74: Criterio di rottura di Mohr-Coulomb

contatto `e uniforme, allora la sua massima spinta pu`o semplicemente essere prevista dalla seguente equazione:

Fmax = τ A = (c + σtanφ)A = cA + W tanφ (2.19)

dove A `e l’area di contatto di un pneumatico o di un cingolo; il prodotto della pressione di contatto per la superficie di contatto `e pari al carico normale sul pneumatico o sul cingolo W . L’equazione (2.19) indica che su un terreno ad elevata rugosit`a, come la sabbia secca del deserto e simili, la spinta massima di un veicolo in marcia dipende dal suo carico normale e dall’angolo di resistenza al taglio interno del terreno. Esso `e indipendente dalla sua area di contatto. Cos`ı, sulla sabbia secca del deserto e simili, la spinta massima sviluppata da un veicolo `e espresso da

Fmax = W tanφ (2.20)

L’equazione (2.20) indica che su un terreno con attrito, maggiore `e il carico normale, maggiore `e la spinta massima di un veicolo in marcia che pu`o essere sviluppata. Su un terreno coeso, come l’argilla satura e simili, la spinta massima di un veicolo in marcia dipende dalla sua superficie di contatto e la coesione del terreno. Esso `e indipendente rispetto al suo carico normale. Cos`ı, su argilla satura e simili, la spinta massima di un veicolo in marcia `e data da

L’equazione (2.21) implica che su un terreno coeso, maggiore `e l’area di con- tatto, maggiore `e la spinta di un veicolo in marcia che pu`o essere sviluppata. Un altro esempio di applicazione del criterio di rottura di Mohr-Coulomb

Figura 2.75: Azione di taglio di un cingolo e di una ruota

pu`o essere illustrata esaminando l’equilibrio plastico di un prisma in una porzione di terreno semi-infinito mostrato in figura 2.76. Il prisma di ter- reno avente densit`a γs, avente profondit`a z e larghezza pari all’unit`a `e in

uno stato di rottura incipiente plastica a causa della pressione laterale. Non esistono sollecitazioni di taglio sui lati verticali del prisma; lo sforzo normale sulla base del prisma e lo sforzo sui lati verticali sono pertanto le tensioni principali. Il prisma pu`o essere portato ad uno stato di equilibrio plastico da due operazioni differenti : uno `e quello di allungarlo e l’altro `e quello di comprimerlo in direzione orizzontale . Se il prisma viene allungato , lo sforzo normale su entrambi i lati verticali diminuisce fino a quando le condizioni di equilibrio plastico sono soddisfatte , mentre lo sforzo normale al fondo rimane invariato . Qualsiasi ulteriore espansione semplicemente provoca un flusso plastico . In questo caso , il peso della massa di terreno assiste nella espansione e questo tipo di rottura viene definito rottura attiva . D’ altra parte, se il prisma `e compresso , lo sforzo normale su entrambi i lati verti- cale aumenta , mentre quello in basso rimane invariato . In questo caso , la compressione laterale del terreno si oppone al peso proprio e la rottura risultante `e chiamata rottura passiva . I due stati di sollecitazioni, prima di flusso plastico causati da espansione e poi dalla compressione del suolo sono generalmente indicate come stato attivo e passivo di Rankine, rispettivamen- te . Nella maggior parte dei problemi in terramechanics bisogna considerare la rottura passiva. L’applicazione del criterio di rottura di Mohr-Coulomb

per l’analisi di rottura passiva `e presentata di seguito . Come la rottura

Figura 2.76: Rottura attiva e passiva del suolo

passiva `e causata dalla compressione laterale, lo sforzo normale che agisce sul fondo di un elemento di terreno `e uguale a γsz ed `e lo sforzo minore

principale, come mostrato nella figura 2.76. Il cerchio Cp nella figura rap-

presenta lo stato di sollecitazioni di un elemento a rottura passiva incipiente. Il punto di intersezione tra il cerchio Cp e l’asse orizzontale del grafico di

Mohr determina la maggiore sollecitazione principale, che `e la sollecitazio- ne di compressione laterale su entrambi i lati verticali necessari per portare l’elemento in rottura passiva. Questo sforzo normale viene indicato come la pressione passiva della terra σp. Dai rapporti geometrici mostrate nella

figura 2.76, l’espressione per la pressione della terra passiva σp `e data da

dove rp `e il raggio del cerchio Cp ed `e espressa da rp = ccosφ + γszsinφ 1 − sinφ (2.23) Per cui, σp = γsz 1 + sinφ 1 − sinφ + 2c cosφ 1 − sinφ = γsztan 2₍₄₅◦_{+ φ/2) + 2ctan(45}◦_{+ φ/2)} (2.24) = γszNφ+ 2cpNφ

dove Nφ = tan2(45◦+ φ/2) e viene chiamato valore di flusso. Per rotture

passive, visto che le maggiori sollecitazioni principali σp sono orizzontali, le

linee di scorrimento (o superfici di scorrimento) su cui la rottura si svolge (o su cui la sollecitazione di taglio τ soddisfa il criterio di rottura di Mohr- Coulomb) sono inclinate di un angolo di (45◦− φ/2) con l’orizzontale, come mostrato in figura 2.76. Se la pressione q `e applicata alla superficie del ter- reno, che viene solitamente indicato come il supplemento, allora la tensione normale alla base dell’elemento in profondit`a z `e

σ = γsz + q (2.25)

Conseguentemente, la pressione passiva della terra σp `e data da

σp = γszNφ+ qNφ+ 2cpNφ (2.26)